相似三角形拓展含答案.docx
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相似三角形拓展含答案
1.如图,在平行四边形ABCD中,连接对角线AC,延长AB至点E,使BE=AB,连接DE,分别交BC,AC交于点F,G.
(1)求证:
BF=CF;
(2)若BC=6,DG=4,求FG的长.
2.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=12,点E在AD边上,且AE=8,EF⊥BE交CD于F.
(1)求证:
△ABE∽△DEF;
(2)求EF的长.
3.如图,∠ABD=∠BCD=90°,DB平分∠ADC,过点B作BM∥CD交AD于M.连接CM交DB于N.
(1)求证:
BD2=AD•CD;
(2)若CD=6,AD=8,求MN的长.
4.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P为△ABC内部一点,且∠APB=∠BPC=135°.
(1)求证:
△PAB∽△PBC;
(2)求证:
PA=2PC;
(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证h12=h2•h3.
5.已知:
如图,正方形ABCD中,P是边BC上一点,BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分别是点E、F.
(1)求证:
EF=AE﹣BE;
(2)连接BF,如果=.求证:
EF=EP.
6.如图,已知B、C、E三点在同一条直线上,△ABC与△DCE都是等边三角形,其中线段BD交AC于点G,线段AE交CD于点F,求证:
(1)△ACE≌△BCD;
(2)=.
7.如图,正方形ABCD中,E、F分别是边AD、CD上的点,DE=CF,AF与BE相交于O,DG⊥AF,垂足为G.
(1)求证:
AF⊥BE;
(2)试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系;
(3)若GO:
CF=4:
5,试确定E点的位置.
8.
(1)问题背景
如图1,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∠ABC的平分线交直线AC于D,过点C作CE⊥BD,交直线BD于E.请探究线段BD与CE的数量关系.(事实上,我们可以延长CE与直线BA相交,通过三角形的全等等知识解决问题.)
结论:
线段BD与CE的数量关系是 (请直接写出结论);
(2)类比探索
在
(1)中,如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线,其他条件均不变(如图2),
(1)中的结论还成立吗?
若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由;
(3)拓展延伸
在
(2)中,如果AB≠AC,且AB=nAC(0<n<1),其他条件均不变(如图3),请你直接写出BD与CE的数量关系.
结论:
BD= CE(用含n的代数式表示).
1.如图,在平行四边形ABCD中,连接对角线AC,延长AB至点E,使BE=AB,连接DE,分别交BC,AC交于点F,G.
(1)求证:
BF=CF;
(2)若BC=6,DG=4,求FG的长.
【分析】
(1)根据平行四边形的性质得到AD∥CD,AD=BC,得到△EBF∽△EAD,根据相似三角形的性质证明即可;
(2)根据相似三角形的性质列式计算即可.
【解答】
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴△EBF∽△EAD,
∴==,
∴BF=AD=BC,
∴BF=CF;
(2)解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥CF,
∴△FGC∽△DGA,
∴=,即=,
解得,FG=2.
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
2.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=12,点E在AD边上,且AE=8,EF⊥BE交CD于F.
(1)求证:
△ABE∽△DEF;
(2)求EF的长.
【分析】
(1)由四边形ABCD是矩形,易得∠A=∠D=90°,又由EF⊥BE,利用同角的余角相等,即可得∠DEF=∠ABE,则可证得△ABE∽△DEF;
(2)由
(1):
△ABE∽△DEF,根据相似三角形的对应边成比例,即可得,又由AB=6,AD=12,AE=8,利用勾股定理求得BE的长,由DE=AB﹣AE,求得DE的长,继而求得EF的长.
【解答】
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=90°,
∴∠AEB+∠ABE=90°,
∵EF⊥BE,
∴∠AEB+∠DEF=90°,
∴∠DEF=∠ABE,
∴△ABE∽△DEF;
(2)解:
∵△ABE∽△DEF,
∴,
∵AB=6,AD=12,AE=8,
∴BE==10,DE=AD﹣AE=12﹣8=4,
∴,
解得:
EF=.
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理等知识.此题难度不大,注意掌握有两角对应相等的三角形相似定理的应用是解此题的关键.
3.如图,∠ABD=∠BCD=90°,DB平分∠ADC,过点B作BM∥CD交AD于M.连接CM交DB于N.
(1)求证:
BD2=AD•CD;
(2)若CD=6,AD=8,求MN的长.
【分析】
(1)通过证明△ABD∽△BCD,可得,可得结论;
(2)由平行线的性质可证∠MBD=∠BDC,即可证AM=MD=MB=4,由BD2=AD•CD和勾股定理可求MC的长,通过证明△MNB∽△CND,可得,即可求MN的长.
【解答】证明:
(1)∵DB平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB,且∠ABD=∠BCD=90°,
∴△ABD∽△BCD
∴
∴BD2=AD•CD
(2)∵BM∥CD
∴∠MBD=∠BDC
∴∠ADB=∠MBD,且∠ABD=90°
∴BM=MD,∠MAB=∠MBA
∴BM=MD=AM=4
∵BD2=AD•CD,且CD=6,AD=8,
∴BD2=48,
∴BC2=BD2﹣CD2=12
∴MC2=MB2+BC2=28
∴MC=2
∵BM∥CD
∴△MNB∽△CND
∴,且MC=2
∴MN=
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理,直角三角形的性质,求MC的长度是本题的关键.
4.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P为△ABC内部一点,且∠APB=∠BPC=135°.
(1)求证:
△PAB∽△PBC;
(2)求证:
PA=2PC;
(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证h12=h2•h3.
【分析】
(1)利用等式的性质判断出∠PBC=∠PAB,即可得出结论;
(2)由
(1)的结论得出,进而得出,即可得出结论;
(3)先作出两个直角三角形,再判断出Rt△AEP∽Rt△CDP,得出,即h3=2h2,再由△PAB∽△PBC,判断出,即可得出结论.
【解答】解:
(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC
又∠APB=135°,
∴∠PAB+∠PBA=45°
∴∠PBC=∠PAB
又∵∠APB=∠BPC=135°,
∴△PAB∽△PBC
(2)∵△PAB∽△PBC
∴
在Rt△ABC中,AC=BC,
∴
∴
∴PA=2PC
(3)如图,过点P作PD⊥BC于D,PE⊥AC于E,PF⊥AB于点F,
∴PF=h1,PD=h2,PE=h3,
∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°
∴∠APC=90°,
∴∠EAP+∠ACP=90°,
又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°
∴∠EAP=∠PCD,
∴Rt△AEP∽Rt△CDP,
∴,即,
∴h3=2h2
∵△PAB∽△PBC,
∴,
∴
∴.
即:
h12=h2•h3.
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,判断出∠EAP=∠PCD是解本题的关键.
5.已知:
如图,正方形ABCD中,P是边BC上一点,BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分别是点E、F.
(1)求证:
EF=AE﹣BE;
(2)连接BF,如果=.求证:
EF=EP.
【分析】
(1)利用正方形的性质得AB=AD,∠BAD=90°,根据等角的余角相等得到∠1=∠3,则可判断△ABE≌△DAF,则BE=AF,然后利用等线段代换可得到结论;
(2)利用=和AF=BE得到=,则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA,所以∠4=∠3,再证明∠4=∠5,然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP.
【解答】证明:
(1)∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°,
∵BE⊥AP,DF⊥AP,
∴∠BEA=∠AFD=90°,
∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3,
在△ABE和△DAF中
,
∴△ABE≌△DAF,
∴BE=AF,
∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE;
(2)如图,∵=,
而AF=BE,
∴=,
∴=,
∴Rt△BEF∽Rt△DFA,
∴∠4=∠3,
而∠1=∠3,
∴∠4=∠1,
∵∠5=∠1,
∴∠4=∠5,
即BE平分∠FBP,
而BE⊥EP,
∴EF=EP.
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质:
在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用.也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质.
6.如图,已知B、C、E三点在同一条直线上,△ABC与△DCE都是等边三角形,其中线段BD交AC于点G,线段AE交CD于点F,求证:
(1)△ACE≌△BCD;
(2)=.
【分析】
(1)由三角形ABC与三角形CDE都为等边三角形,利用等边三角形的性质得到两对边相等,一对角相等,利用等式的性质得到夹角相等,利用SAS即可得证;
(2)由
(1)得出的三角形全等得到对应角相等,再由一对角相等,且夹边相等,利用ASA得到三角形GCD与三角形FCE全等,利用全等三角形对应边相等得到CG=CF,进而确定出三角形CFG为等边三角形,确定出一对内错角相等,进而得到GF与CE平行,利用平行线等分线段成比例即可得证.
【解答】证明:
(1)∵△ABC与△CDE都为等边三角形,
∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠ACE=∠BCD,
在△ACE和△BCD中,
,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
(2)∵△ACE≌△BCD,
∴∠BDC=∠AEC,
在△GCD和△FCE中,
,
∴△GCD≌△FCE(ASA),
∴CG=CF,
∴△CFG为等边三角形,
∴∠CGF=∠ACB=60°,
∴GF∥CE,
∴=.
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,以及等边三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.
7.如图,正方形ABCD中,E、F分别是边AD、CD上的点,DE=CF,AF与BE相交于O,DG⊥AF,垂足为G.
(1)求证:
AF⊥BE;
(2)试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系;
(3)若GO:
CF=4:
5,试确定E点的位置.
【分析】
(1)由DE=CF及正方形的性质,得出AE=DF,AB=AD,∠BAE=∠ADF=90°,证明△ABE≌△DAF,得出∠ABE=∠DAF,而∠ABE+∠AEB=90°,利用互余关系得出∠AOE=90°即可;
(2)由
(1)的结论可证△ABO≌△DAG,得BO=AG=AO+OG;
(3)过E点作EH⊥DG,垂足为H,则EH=OG,由DE=CF,GO:
CF=4:
5,得EH:
ED=4:
5,而AF⊥BE,AF⊥DG,则OE∥DG,∠AEB=∠EDH,△ABE∽△HED,利用相似比得出AB:
BE,由勾股定理得出AE:
AB,从而得出AE:
AD.
【解答】
(1)证明:
∵ABCD为正方形,且DE=CF,
∴AE=DF,AB=AD,∠BAE=∠ADF=90°,
在△ABE和△DAF,
∵,
∴△ABE≌△DAF,
∴∠ABE
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