算法设计与分析资料.docx
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算法设计与分析资料
习题1.1
5..证明等式gcd(m,n)=gcd(n,mmodn)对每一对正整数m,n都成立.
Hint:
根据除法的定义不难证明:
●如果d整除u和v,那么d一定能整除u±v;
●如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.
对于任意一对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=mmodn=m-qn;显然,若d能整除n和r,也一定能整除m=r+qn和n。
数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限非空集,其中也包括了最大公约数。
故gcd(m,n)=gcd(n,r)
6.对于第一个数小于第二个数的一对数字,欧几里得算法将会如何处理?
该算法在处理这种输入的过程中,上述情况最多会发生几次?
Hint:
对于任何形如0<=m gcd(m,n)=gcd(n,m) 并且这种交换处理只发生一次. 7.a.对于所有1≤m,n≤10的输入,Euclid算法最少要做几次除法? (1次) b.对于所有1≤m,n≤10的输入,Euclid算法最多要做几次除法? (5次) gcd(5,8) 习题1.2 1.(农夫过河) P—农夫W—狼G—山羊C—白菜 2.(过桥问题) 1,2,5,10---分别代表4个人,f—手电筒 4.对于任意实系数a,b,c,某个算法能求方程ax^2+bx+c=0的实根,写出上述算法的伪代码(可以假设sqrt(x)是求平方根的函数) 算法Quadratic(a,b,c) //求方程ax^2+bx+c=0的实根的算法 //输入: 实系数a,b,c //输出: 实根或者无解信息 Ifa≠0 D←b*b-4*a*c IfD>0 temp←2*a x1←(-b+sqrt(D))/temp x2←(-b-sqrt(D))/temp returnx1,x2 elseifD=0return–b/(2*a) elsereturn“norealroots” else//a=0 ifb≠0return–c/b else//a=b=0 ifc=0return“norealnumbers” elsereturn“norealroots” 5.描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法 a.用文字描述 b.用伪代码描述 解答: a.将十进制整数转换为二进制整数的算法 输入: 一个正整数n 输出: 正整数n相应的二进制数 第一步: 用n除以2,余数赋给Ki(i=0,1,2...),商赋给n 第二步: 如果n=0,则到第三步,否则重复第一步 第三步: 将Ki按照i从高到低的顺序输出 b.伪代码 算法DectoBin(n) //将十进制整数n转换为二进制整数的算法 //输入: 正整数n //输出: 该正整数相应的二进制数,该数存放于数组Bin[1...n]中 i=1 whilen! =0do{ Bin[i]=n%2; n=(int)n/2; i++; } whilei! =0do{ printBin[i]; i--; } 9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.(算法略) 对这个算法做尽可能多的改进. 算法MinDistance(A[0..n-1]) //输入: 数组A[0..n-1] //输出: thesmallestdistancedbetweentwoofitselements 习题1.3 1.考虑这样一个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每一个元素,计算比它小的元素个数,然后利用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去. a.应用该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序 b.该算法稳定吗? c.该算法在位吗? 解: a.该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序的过程如下所示: b.该算法不稳定.比如对列表”2,2*”排序 c.该算法不在位.额外空间forSandCount[] 4.(古老的七桥问题) 习题1.4 1.请分别描述一下应该如何实现下列对数组的操作,使得操作时间不依赖数组的长度. a.删除数组的第i个元素(1<=i<=n) b.删除有序数组的第i个元素(依然有序) hints: a.Replacetheithelementwiththelastelementanddecreasethearraysizeof1 b.Replacetheithelementwithaspecialsymbolthatcannotbeavalueofthearray’selement(e.g.,0foranarrayofpositivenumbers)tomarktheithpositionisempty. (“lazydeletion”) 第2章 习题2.1 7.对下列断言进行证明: (如果是错误的,请举例) a.如果t(n)∈O(g(n),则g(n)∈Ω(t(n)) b.α>0时,Θ(αg(n))=Θ(g(n)) 解: a.这个断言是正确的。 它指出如果t(n)的增长率小于或等于g(n)的增长率,那么g(n)的增长率大于或等于t(n)的增长率 由t(n)≤c·g(n)foralln≥n0,wherec>0 则: foralln≥n0 b.这个断言是正确的。 只需证明 。 设f(n)∈Θ(αg(n)),则有: foralln>=n0,c>0 foralln>=n0,c1=cα>0 即: f(n)∈Θ(g(n)) 又设f(n)∈Θ(g(n)),则有: foralln>=n0,c>0 foralln>=n0,c1=c/α>0 即: f(n)∈Θ(αg(n)) 8.证明本节定理对于下列符号也成立: a.Ω符号 b.Θ符号 证明: a。 weneedtoproofthatift1(n)∈Ω(g1(n))andt2(n)∈Ω(g2(n)),thent1(n)+t2(n)∈Ω(max{g1(n),g2(n)})。 由t1(n)∈Ω(g1(n)), t1(n)≥c1g1(n)foralln>=n1,wherec1>0 由t2(n)∈Ω(g2(n)), T2(n)≥c2g2(n)foralln>=n2,wherec2>0 那么,取c>=min{c1,c2},当n>=max{n1,n2}时: t1(n)+t2(n)≥c1g1(n)+c2g2(n) ≥cg1(n)+cg2(n)≥c[g1(n)+g2(n)] ≥cmax{g1(n),g2(n)} 所以以命题成立。 b.t1(n)+t2(n)∈Θ( 证明: 由大Ⓗ的定义知,必须确定常数c1、c2和n0,使得对于所有n>=n0,有: 由t1(n)∈Θ(g1(n))知,存在非负整数a1,a2和n1使: a1*g1(n)<=t1(n)<=a2*g1(n)----- (1) 由t2(n)∈Θ(g2(n))知,存在非负整数b1,b2和n2使: b1*g2(n)<=t2(n)<=b2*g2(n)----- (2) (1)+ (2): a1*g1(n)+b1*g2(n)<=t1(n)+t2(n)<=a2*g1(n)+b2*g2(n) 令c1=min(a1,b1),c2=max(a2,b2),则 C1*(g1+g2)<=t1(n)+t2(n)<=c2(g1+g2)-----(3) 不失一般性假设max(g1(n),g2(n))=g1(n). 显然,g1(n)+g2(n)<2g1(n),即g1+g2<2max(g1,g2) 又g2(n)>0,g1(n)+g2(n)>g1(n),即g1+g2>max(g1,g2)。 则(3)式转换为: C1*max(g1,g2)<=t1(n)+t2(n)<=c2*2max(g1,g2) 所以当c1=min(a1,b1),c2=2c2=2max(c1,c2),n0=max(n1,n2)时,当n>=n0时上述不等式成立。 证毕。 习题2.4 1.解下列递推关系(做a,b) 当n>1时 a. 解: 当n>1时 b. 解: 2.对于计算n! 的递归算法F(n),建立其递归调用次数的递推关系并求解。 解: 3.考虑下列递归算法,该算法用来计算前n个立方的和: S(n)=13+23+…+n3。 算法S(n) //输入: 正整数n //输出: 前n个立方的和 ifn=1return1 elsereturnS(n-1)+n*n*n a.建立该算法的基本操作次数的递推关系并求解 b.如果将这个算法和直截了当的非递归算法比,你做何评价? 解: a. 7.a.请基于公式2n=2n-1+2n-1,设计一个递归算法。 当n是任意非负整数的时候,该算法能够计算2n的值。 b.建立该算法所做的加法运算次数的递推关系并求解 c.为该算法构造一棵递归调用树,然后计算它所做的递归调用次数。 d.对于该问题的求解来说,这是一个好的算法吗? 解: a.算法power(n) //基于公式2n=2n-1+2n-1,计算2n //输入: 非负整数n //输出: 2n的值 Ifn=0return1 Elsereturnpower(n-1)+power(n-1) c. 8.考虑下面的算法 算法Min1(A[0..n-1]) //输入: 包含n个实数的数组A[0..n-1] Ifn=1returnA[0] Elsetemp←Min1(A[0..n-2]) Iftemp≤A[n-1]returntemp ElsereturnA[n-1] a.该算法计算的是什么? b.建立该算法所做的基本操作次数的递推关系并求解 解: a.计算的给定数组的最小值 foralln>1 n=1 b. 9.考虑用于解决第8题问题的另一个算法,该算法递归地将数组分成两半.我们将它称为Min2(A[0..n-1]) 算法Min(A[r..l]) Ifl=rreturnA[l] Elsetemp1←Min2(A[l..(l+r)/2]) Temp2←Min2(A[l..(l+r)/2]+1..r) Iftemp1≤temp2returntemp1 Elsereturntemp2 a.建立该算法所做的的操作次数的递推关系并求解 b.算法Min1和Min2哪个更快? 有其他更好的算法吗? 解: a. 习题2.6 1.考虑下面的排序算法,其中插入了一个计数器来对关键比较次数进行计数. 算法SortAnalysis(A[0..n-1]) //input: 包含n个可排序元素的一个数组A[0..n-1] //output: 所做的关键比较的总次数 count←0 fori←1ton-1do v←A[i] j←i-1 whilej>0andA[j]>vdo count←count+1 A[j+1]←A[j] j←j+1 A[j+1]←v returncount 比较计数器是否插在了正确的位置? 如果不对,请改正. 解: 应改为: 算法SortAnalysis(A[0..n-1]) //input: 包含n个可排序元素的一个数组A[0..n-1] //output: 所做的关键比较的总次数 count←0 fori←1ton-1do v←A[i] j←i-1 whilej>0andA[j]>vdo count←count+1 A[j+1]←A[j] j←j+1 ifj>=0count=count+1 A[j+1]←v returncount 习题3.1 4.a.设计一个蛮力算法,对于给定的x0,计算下面多项式的值: P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 并确定该算法的最差效率类型. b.如果你设计的算法属于Θ(n2),请你为该算法设计一个线性的算法. C.对于该问题来说,能不能设计一个比线性效率还要好的算法呢? 解: a.AlgorithmsBruteForcePolynomialEvaluation(P[0..n],x) //由高幂到低幂用蛮力法计算多项式p在给定点x的值 //输入: P[0..n]是多项式按低幂到高幂的常系数,以及定值x //输出: 多项式p在给定点x的值 p=0.0 fori=nto0do power=1 forj=1toido power=power*x p=p+P[i]*power returnp 算法效率分析: 基本操作: 两个数相乘,且M(n)仅依赖于多项式的阶n b.thaabovealgorithmsisveryinefficient,becausewerecomputepowersofxagainandagainasiftherewerenorelationshipamongthem.Infact,wecanmovefromthelowesttermtothehighestandcomputexibyusingxi-1. AlgorithmsBetterBruteForcePolynomialEvaluation(P[0..n],x) //由高幂到低幂用蛮力法计算多项式p在给定点x的值 //输入: P[0..n]是多项式按低幂到高幂的常系数,以及定值x //输出: 多项式p在给定点x的值 P=P[0] power=1 fori←1tondo power←power*x p←p+P[i]*power returnp 基本操作乘法运算总次数M(n): c.不行.因为计算任意一个多项式在任意点x的值,都必须处理它的n+1个系数.例如: (x=1,p(x)=an+an-1+..+a1+a0,至少要做n次加法运算) 5.应用选择排序对序列example按照字母顺序排序. 6.选择排序是稳定的吗? (不稳定) 7.用链表实现选择排序的话,能不能获得和数组版相同的Θ(n2)效率? Yes.Bothoperation—findingthesmallestelementandswappingit–canbedoneasefficientlywiththelinkedlistaswithanarray. 9.a.请证明,如果对列表比较一遍之后没有交换元素的位置,那么这个表已经排好序了,算法可以停止了. b.结合所做的改进,为冒泡排序写一段伪代码. c.请证明改进的算法最差效率也是平方级的. Hints: a.第i趟冒泡可以表示为: 如果没有发生交换位置,那么: b.AlgorithmsBetterBubblesort(A[0..n-1]) //用改进的冒泡算法对数组A[0..n-1]排序 //输入: 数组A[0..n-1] //输出: 升序排列的数组A[0..n-1] count←n-1//进行比较的相邻元素对的数目 flag←true//交换标志 whileflagdo flag←false fori=0tocount-1do
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