高三数学第一轮复习单元讲座 第33讲 圆锥曲线方程及性质教案.docx
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高三数学第一轮复习单元讲座第33讲圆锥曲线方程及性质教案
普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]
高三新数学第一轮复习教案(讲座33—圆锥曲线方程及性质
一.课标要求:
1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;
2.经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程,掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质;
3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的有关性质。
二.命题走向
本讲内容是圆锥曲线的基础内容,也是高考重点考查的内容,在每年的高考试卷中一般有2~3道客观题,难度上易、中、难三档题都有,主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质,从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。
圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例,且选择题、填空题和解答题都涉及到,客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法。
对于本讲内容来讲,预测07年:
(11至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题,主要是求值问题;(2可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用,结合三种形式的圆锥曲线的定义。
三.要点精讲
1.椭圆
(1椭圆概念
平面内与两个定点1F、2F的距离的和等于常数(大于21||FF的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦距。
若M为椭圆上任意一点,则有21||||2MFMFa+=。
椭圆的标准方程为:
22221xyab+=(0ab>>(焦点在x轴上或1
22
22=+b
xay(0ab>>(焦点在y轴上。
注:
①以上方程中,ab的大小0ab>>,其中222
cab=-;②在22221xyab+=和22
221yxab
+=两个方程中都有0ab>>的条件,要分清焦点的位
置,只要看2x和2
y的分母的大小。
例如椭圆
221xymn
+=(0m>,0n>,mn≠当mn>时表示焦点在x轴上的椭圆;当mn<时表示焦点在y轴上的椭圆。
(2椭圆的性质
①范围:
由标准方程22
221xyab
+=知||xa≤,||yb≤,说明椭圆位于直线xa=±,
yb=±所围成的矩形里;
②对称性:
在曲线方程里,若以y-代替y方程不变,所以若点(,xy在曲线上时,点(,xy-也在曲线上,所以曲线关于x轴对称,同理,以x-代替x方程不变,则曲线关于y轴对称。
若同时以x-代替x,y-代替y方程也不变,则曲线关于原点对称。
所以,椭圆关于x轴、y轴和原点对称。
这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心;
③顶点:
确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中,令0x=,得yb=±,则1(0,Bb-,2(0,Bb是椭圆与y轴的两个交点。
同理令0y=得xa=±,即1(,0Aa-,2(,0Aa是椭圆与x轴的两个交点。
所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时,线段21AA、21BB分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知:
椭圆的短轴端点到焦点的距离为a;在22RtOBF∆中,
2||OBb=,2||OFc=,22||BFa=,且2222222||||||OFBFOB=-,即222cac=-;
④离心率:
椭圆的焦距与长轴的比c
ea
=叫椭圆的离心率。
∵0ac>>,∴01e<<,
且e越接近1,c就越接近a,从而b就越小,对应的椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越接近于0,从而b越接近于a,这时椭圆越接近于圆。
当且仅当ab=时,0c=,两焦点重合,图形变为圆,方程为222xya+=。
2.双曲线
(1双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(12||||||2PFPFa-=。
注意:
①(*式中是差的绝对值,在1202||aFF<<条件下;12||||2PFPFa-=时为双曲线的一支(含2F的一支;21||||2PFPFa-=时为双曲线的另一支(含1F的一支;②当122||aFF=时,12||||||2PFPFa-=表示两条射线;③当122||aFF>时,
12||||||2PFPFa-=不表示任何图形;④两定点12,FF叫做双曲线的焦点,12||FF叫做
焦距。
①范围:
从标准方程122
22=-b
yax,看出曲线在坐标系中的范围:
双曲线在两条直线
ax±=的外侧。
即22ax≥,ax≥即双曲线在两条直线ax±=的外侧。
②对称性:
双曲线122
22=-b
yax关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是
双曲线的对称轴,原点是双曲线122
22=-b
yax的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线
的中心。
③顶点:
双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。
在双曲线122
22=-b
yax的方程里,
对称轴是,xy轴,所以令0=y得ax±=,因此双曲线和x轴有两个交点0,(0,(2aAaA-,他们是双曲线122
22=-b
yax的顶点。
令0=x,没有实根,因此双曲线和y轴没有交点。
1注意:
双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点,双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2实轴:
线段2AA叫做双曲线的实轴,它的长等于2,aa叫做双曲线的实半轴长。
虚轴:
线段2BB叫做双曲线的虚轴,它的长等于2,bb叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线:
注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称
为双曲线的渐近线。
从图上看,双曲线122
22=-b
yax的各支向外延伸时,与这两条直线逐
渐接近。
⑤等轴双曲线:
1定义:
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
定义式:
ab=;2等轴双曲线的性质:
(1渐近线方程为:
xy±=;(2渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。
亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其他几个亦成立。
3注意到等轴双曲线的特征ab=,则等轴双曲线可以设为:
0(2
2
≠=-λλyx,当0>λ时交点在x轴,当0<λ时焦点在y轴上。
⑥注意
191622=-yx与22
1916
yx-=的区别:
三个量,,abc中,ab不同(互换c相同,还有焦点所在的坐标轴也变了。
3.抛物线
(1抛物线的概念
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上。
定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线。
方程(022
>=ppx
y叫做抛物线的标准方程。
注意:
它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标是F(
2
p
0,它的准线
方程是2
p
x-
=;(2抛物线的性质
一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其他几种形式:
pxy22-=,pyx22=,pyx22-=.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表:
何性质的特点:
有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线;(3注意强调p的几何意义:
是焦点到准线的距离。
四.典例解析
题型1:
椭圆的概念及标准方程
例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1两个焦点的坐标分别是(4,0-、(4,0,椭圆上一点P到两焦点距离的和等于
10;
(2两个焦点的坐标分别是(0,2-、(0,2,并且椭圆经过点35(,22
-;(3焦点在x轴上,:
2:
1ab=,c=
(4焦点在y轴上,2
2
5ab+=,且过点(;(5焦距为b,1ab-=;(6椭圆经过两点35
(,22
-
。
解析:
(1∵椭圆的焦点在x轴上,故设椭圆的标准方程为22
221xyab
+=(0ab>>,
∵210a=,4c=,∴222
9bac=-=,
所以,椭圆的标准方程为
22
1259
xy+=。
(2∵椭圆焦点在y轴上,故设椭圆的标准方程为22
221yxab
+=(0ab>>,
由椭圆的定义知,
2a===
∴10a=,又∵2c=,∴222
1046bac=-=-=,
所以,椭圆的标准方程为
22
1106
yx+=。
(3
∵c=
2226abc-==,①
又由:
2:
1ab=代入①得2
2
46bb-=,∴2
2b=,∴2
8a=,又∵焦点在x轴上,
所以,椭圆的标准方程为22
182xy+=。
(4设椭圆方程为22
221yxab
+=,
∴221b=,∴2
2b=,
又∵225ab+=,∴2
3a=,
所以,椭圆的标准方程为22
132
yx+=.(5∵焦距为6,∴3c=,∴222
9abc-==,又∵1ab-=,∴5a=,4b=,
所以,椭圆的标准方程为
2212516xy+=或22
12516yx+=.(6设椭圆方程为22
1xymn
+=(,0mn>,由2
235((1351mnmn
⎧-⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩得6,10mn==,
所以,椭圆方程为
22
1106
yx++=.点评:
求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义,还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系。
例2.(1(06山东已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2,0,且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是。
(2(06天津理,8椭圆的中心为点(10E-,,它的一个焦点为(30F-,,相应于焦点F的准线方程为7
2
x=-
则这个椭圆的方程是(A.
22
2(121213xy-+=B.
22
2(121213xy++=C.
2
2(115
xy-+=D.
2
2(115
xy++=解析:
(1
已知222222242,161(babcyxaabc
F=⎧⎪==⎧⎪⎪⇒=⇒+=⎨
⎨-=⎪⎪⎩-⎪⎩为所求;(2椭圆的中心为点(1,0,E-它的一个焦点为(3,0,F-
∴半焦距2c=,相应于焦点F的准线方程为7
.2
x=-
∴252ac=,22
5,1ab==,则这个椭圆的方程是
22(115
xy++=,选D。
点评:
求椭圆方程的题目属于中低档题目,掌握好基础知识就可以。
题型2:
椭圆的性质
例3.(1(06山东理,7在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为(
(A2(B
22(C21(D4
2
(2(1999全国,15设椭圆22
22b
yax+=1(a>b>0的右焦点为F1,右准线为l1,
若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离,则椭圆的离心率是。
解析:
(1不妨设椭圆方程为22221xyab
+=(a>b>0
则有22
21bacac=-=,据此求出e=
2
2
选B。
(221;解析:
由题意知过F1且垂直于x轴的弦长为a
b2
2,
∴cc
aab-=222,∴ca12=,∴21=ac,即e=21。
点评:
本题重点考查了椭圆的基本性质。
例4.(1(2000京皖春,9椭圆短轴长是2,长轴是短轴的2倍,则椭圆中心到其准线距离是(
A.
4
3
B.
5
4
C.
5
8
D.
33
4(2(1998全国理,2椭圆3
122
2yx+
=1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的(
A.7倍B.5倍C.4倍
D.3倍
解析:
(1D;由题意知a=2,b=1,c=,准线方程为x=±c
a2
∴椭圆中心到准线距离为
3
3
4.(2A;不妨设F1(-3,0,F2(3,0由条件得P(3,±
23,即|PF2|=2
|PF1|=
2
因此|PF1|=7|PF2|,故选A。
点评:
本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想,具有较强的思辨性,是高考命题的方向。
题型3:
双曲线的方程
例5.(1已知焦点12(5,0,(5,0FF-,双曲线上的一点P到12,FF的距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程;
(2求与椭圆
22
1255
xy+=
共焦点且过点的双曲线的方程;(3已知双曲线的焦点在y轴上,并且双曲线上两点12,PP坐标分别
为
9
(3,,54
-,求双曲线的标准方程。
解析:
(1因为双曲线的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为
22
2
21xyab
-=(0,0ab>>,∵26,210ac==,∴3,5ac==,∴222
5316b=-=。
所以所求双曲线的方程为
22
1916
xy-=;(2椭圆22
1255
xy+=
的焦点为0,(5,0-,可以设双曲线的方程为2222
1xyab
-=,则22
20ab+=。
又∵过点,∴22182
1ab
-=。
综上得,22
20ab=-=
221=。
点评:
双曲线的定义;方程确定焦点的方法;基本量,,abc之间的关系。
(3因为双曲线的焦点在y轴上,所以设所求双曲线的标准方程为22
2
21(0,0yxabab
-=>>①;∵点12,PP在双曲线上,∴点12,PP的坐标适合方程①。
将9(3,,54-
分别代入方程①中,得方程组:
22
2
22
22(319(
251
aba
b⎧--=⎪⎪
⎨⎪-=⎪⎩
将21a和21b看着整体,解得221116
11
9
ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴22169
ab⎧=⎪
⎨=⎪⎩即双曲线的标准方程为
221169yx-=。
点评:
本题只要解得22,ab即可得到双曲线的方程,没有必要求出,ab的值;在求解
的过程中也可以用换元思想,可能会看的更清楚。
例6.(06上海卷已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0,且焦距与虚轴长之比为5:
4,则双曲线的标准方程是____________________.
解析:
双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0,则焦点在x轴上,且a=3,焦距与虚轴长之比为5:
4,即:
5:
4cb=,解得5,4cb==,则双曲线的标准方程是
22
1916
xy-=;点评:
本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。
充分挖掘双曲线几何性质,数形结合,更为直观简捷。
题型4:
双曲线的性质
例7.(1(06福建卷已知双曲线122
22=-b
yax(a>0,b<0的右焦点为F,若过点F
且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范
围是(
A.(1,2B.(1,2C.[2,+∞]D.(2,+∞
(2(06湖南卷过双曲线M:
2
2
21yxb
-=的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双
曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是(
(3(06陕西卷已知双曲线x2
a2-y2
22π
3则双曲线的
离心率为(
A.2B.3C.263D.3
3
解析:
(1双曲线22
221(0,0xyabab
-=>>的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60o
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的
斜率
ba
∴ba≥3,离心率e2=2
2222
cabaa+=
≥4,∴e≥2,选C。
(2过双曲线1:
222
=-b
yxM的左顶点A(1,0作斜率为1的直线l:
y=x-1,若
l与双曲线M的两条渐近线22
20yxb
-=分别相交于点1122(,,(,BxyCxy,联立方程
组代入消元得22
(1210bxx-+-=,
∴122
1222111xxbxxb⎧
+=⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩
x1+x2=2x1x2,
又||||BCAB=,则B为AC中点,2x1=1+x2,代入解得1214
12
xx⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,
∴b2=9,双曲线M的离心率
e=c
a
=A。
(3双曲线22212xya-=(a>2的两条渐近线的夹角为π3
则2tan6aπ==,
∴a2
=6,双曲线的离心率为
3
3
选D。
点评:
高考题以离心率为考察点的题目较多,主要实现cba,,三元素之间的关系。
例8.(1(06江西卷P是双曲线22
xy1916
-=
的右支上一点,M、N分别是圆(x+52
+y2
=4和(x-52
+y2
=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为(A.6B.7C.8D.9
(2(06全国卷I双曲线2
2
1mxy+=的虚轴长是实轴长的2倍,则m=A.14-
B.4-C.4D.1
4
(3)(06天津卷)如果双曲线的两个焦点分别为F1(-3,0、F2(3,0,一条渐近线方程为y=2x,那么它的两条准线间的距离是()A.63B.4C.2D.1解析:
(1)设双曲线的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),则这两点正好是两圆的圆心,当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大,此时|PM|-|PN|=(|PF1|-2)-(|PF2|-1)=10-1=9故选B。
(2)双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,∴m<0,且双曲线方程为x2-+y2=1,∴4m=-1,选A。
4(3)如果双曲线的两个焦点分别为F1(-3,0、F2(3,0,一条渐近线方程为y=2x,ìa2+b2=9ìa2=3a2ï=2,选C。
∴íb,解得í2,所以它的两条准线间的距离是2×c=2îb=6ïîa点评:
关于双曲线渐近线、准线及许多距离问题也是考察的重点。
题型5:
抛物线方程例9.
(1)焦点到准线的距离是2;
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2,求它的标准方程。
解析:
(1)y=4x,y=-4x,x=4y,x=-4y;2222方程是x=-8y。
点评:
由于抛物线的标准方程有四种形式,且每一种形式中都只含一个系数p,因此只要给出确定p的一个条件,就可以求出抛物线的标准方程。
当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后,它的标准方程就唯一确定了;若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定,则所求的标准方程就会有多解。
题型6:
抛物线的性质2例10.(06安徽卷)若抛物线y=2px的焦点与椭圆
(1)2x2y2+=1的右焦点重62合,则p的值为(A.-2)B.22C.-4)D.4
(2)(浙江卷)抛物线y=8x的准线方程是((Ax=-2(Bx=-4(Cy=-2(Dy=-4(3)(06上海春)抛物线y2=4x的焦点坐标为(专心爱心用心11
(A)(0,1.解析:
椭圆
(1)(B)(1,0.(C)(0,2.(D)(2,0则p=4,故选D;
(2)2p=8,p=4,故准线方程为x=-2,选A;2x2y2+=1的右焦点为(2,0,所以抛物线y2=2px的焦点为(2,0,62(3)(直接计算法)因为p=2,所以抛物线y=4x的焦点坐标为。
应选B。
点评:
考察抛物线几何要素如焦点坐标、准线方程的题目根据定义直接计算机即可。
例11.(全国卷I)抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值
(1)是()A.43B.75C.85D.3
(2)(2002全国文,16)对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:
①焦点在y轴上;②焦点在x轴上;③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;④抛物线的通径的长为5;⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1)。
2(3)(2001广东、河南,10)对于抛物线y=4x上任意一点Q,点P(a,0)都满足
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