1993年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题及答案.docx
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1993年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案
1993年普通高等学校招生全国统一考试
数学(文史类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至9页,共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题共68分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.
3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题:
本大题共18小题;每小题4分,共72分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
(1)如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率为:
( )
(A)
(B)
(C)3/2 (D)2
(2)函数y=(1-tg22x)/(1+tg22x)的最小正周期是:
( )
(A)π/4 (B)π/2 (C)π (D)2π
(3)当圆锥的侧面积和底面积的比值是
时,圆锥的轴截面顶角是:
( )
(A)45° (B)60° (C)90° (D)120°
(4)当z=
时,z100+z50+1的值是:
( )
(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i
(5)若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是:
( )
(A)三棱锥 (B)四棱锥
(C)五棱锥 (D)六棱锥
(6)在直角三角形中两锐角为A和B,则sinAsinB:
( )
(A)有最大值1/2和最小值0
(B)有最大值1/2,但无最小值
(C)既无最大值也无最小值
(D)有最大值1,但无最小值
(7)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a5a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10的值为:
( )
(A)12 (B)10 (C)8 (D)2+log35
(8)当F(x)=[1+2/(2x-1)]f(x) (x≠0)是偶函数,且f(x)不恒等于零,则f(x):
( )
(A)是奇函数
(B)是偶函数
(C)可能是奇函数也可能是偶函数
(D)不是奇函数也不是偶函数
(9)设直线2x-y-
=0与y轴的义点为P,把圆(x+1)2+y2=25的直径分为两段,则其长度之比为:
( )
(A)7/3或3/7 (B)7/4或4/7
(C)7/5或5/7 (D)7/6或6/7
(10)若a、b是任意实数,且a>b,则:
( )
(A)a2>b2 (B)b/a<1
(C)lg(a-b)>0 (D)(1/2)a<(1/2)b
(11)已知集合E={θ│cosθ ( ) (A)(π/2,π) (B)(π/4,3π/4) (C)(π,3π/2) (D)(3π/4,5π/4) (12)一动圆与两圆: x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为: ( ) (A)抛物线 (B)圆 (C)双曲线的一支 (D)椭圆 (13)若直线ax+by+c=0在第一、二、三象限,则: ( ) (A)ab>0,bc>0 (B)ab>0,bc<0 (C)ab<0,bc>0 (D)ab<0,bc<0 (14)如果圆柱轴截面的周长L为定值,那么圆柱体积的最大值是: ( ) (A)(L/6)3π (B)(L/3)3π (C)(L/4)3π (D)[(L/4)3π]/4 (15)展开所得的x多项式中,系数为有理数的共有: ( ) (A)50项 (B)17项 (C)16项 (D)15项 (16)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么: ( ) (A)1/c=1/a+1/b (B)2/c=2/a+1/b (C)1/c=2/a+2/b (D)2/c=1/a+2/b (17)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分 配方式有: ( ) (A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种 (18)在正方体A1B1C1D1-ABCD中,M、N分别为棱A1A和B1B的中点(如图).若θ为直线CM与D1N所成的角,则sinθ 的值为: ( ) (A)1/9 (B)2/3 (C) (D) 二、填空题: 把答案填在题中横线上. (19)抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴,若AB的长为 ,则焦点到AB的距离为________。 (20)在半径为30m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为 120°。 若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为________m(精确到0.1m)。 (21)在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共______种(用数字作答)。 (22)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那 么水池的最低总造价为______元。 (23)设f(x)=4x-2x+1,则f-1(0)=________。 (24)设a>1,则 __________。 三、解答题: 解答应写出文字说明、演算步骤. (25)解方程lg(x2+4x-26)-lg(x-3)=1。 (26)已知数列(8×2)/(12×32),(8×2)/(32×52),(8×n)/[(2n-1)2×(2n+1)2],……Sn为其前n项和。 计算 得S1=8/9,S2=24/25,S3=48/49,S4=80/81,观察上述结果,推测出计算Sn的公式,并用数学归纳法加以证明。 (27)如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作l. (Ⅰ)判定直线A1C1和l的位置关系,并加以证明; (Ⅱ)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点A1到直线l的距离. (28)在面积为l的△PMN中tgM=1/2,tgN=-2,建立适当的坐标系,求出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程. (29)设复数z=cosθ+isinθ (0<θ<π) ,argω<π/2,求θ。 1993年试题(文史类)答案 一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算. (1)C (2)B (3)C (4)D (5)D (6)B (7)B (8)A (9)A (10)D (11)A (12)C (13)D (14)A (15)B (16)B (17)B (18)D 二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算. (19)2 (20)17.3 (21)4186 (22)1760 (23)1 (24)-1 三、解答题. (25)本小题考查对数方程的解法及运算能力. 解: 原方程可化为: 解得: x1=3- ;x2=3+ 检验x1=3- 时,x-3=- <0;负数的对数没有意义, 所以x=3- 不是原方程的根, x=3+ 时,原方程的左边=lg10 -lg =lg10=1=右边 所以原方程的根是: x=3+ (26)本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法. 解Sn=[(2n+1)2-1]/(2n+1)2 (n∈N) 证明如下: (Ⅰ)当n=1时,S1=[32-1]/32=8/9,等式成立。 (Ⅱ)设当n=k时等式成立,即 由此可知,当n=k+1时等式也成立. 根据(Ⅰ)、(Ⅱ)可知,等式对任何n∈N都成立. (27)本小题主要考查空间图形的线面关系、三棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力. 解: (Ⅰ)l∥A1C1.证明如下: 根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行. 由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1,直线l=平面A1BC1∩平面ABC. 根据两平面平行的性质定理有l∥A1C1. (Ⅱ)解法一: 过点A1作A1E⊥L于E,则A1E的长为点A1到l的距离. 连结AE.由直棱柱的定义知A1A⊥平面ABC. ∴直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影. 又 l在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有: AE⊥l. 由棱柱的定义知A1C1∥AC,又l∥A1C1, ∴l∥AC. 作BD⊥AC于D,则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE, 从而AE=BD=(AE×BC)/AC=(4×3)/5=12/5 在Rt△A1AE中, ∵A1A=1,∠A1AE=90°, ∴ 故点A1到直线l的距离为13/5。 解法二: 同解法一得l∥AC. 由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE, 从而有Rt△ABC∽Rt△BEA,AE: BC=AB: AC, ∴AE=(BC×AB)/AC 以下同解法一。 (28)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用的能力. 解法一: 建立直角坐标系如图: 以MN所在直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴。 设椭圆方程为: x2/a2+y2/b2=1 分别记M、N、P点的坐标为(-c,0)、(c,0)和(x0,y0). ∵tgα=tg(π-∠N)=2, ∴由题设知 在△MNP中,MN=2c,MN上的高为4c/3 ∴ ∴a=(│PM│+│PN│)/2= 从而b2=a2-c2=3. 解法二: 同解法一得: ∵点P在椭圆上,且a2=b2+c2. 解得b2=3 或 b2=-1/3(舍去) a2=b2+c2=15/4. 故所求椭圆的方程为: 4x2/15+y2/3=1 (29)本小题考查复数的基本概念和运算,三角函数式的恒等变形及综合解题能力. 解 因0<θ<π,故有 当tg2θ=- 时,得θ=5π/12或θ=11π/12,这时都有: ω= [(cos11π/6)+(isin11π/6)], 得: argω=(11π/6)>π/2不适合题意,舍去, 综合(Ⅰ)、(Ⅱ)可知: θ=π/12或θ=7π/12
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