最新全国考研数学历年真题数学一打印版.docx

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最新全国考研数学历年真题数学一打印版

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学

（一）试卷

一、选择题：

1~8

小题，每小题

4分，共32

分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的

1cos

x

（1）若函数f（x）

ax

x0在x

0处连续，则（）

b,x

0

1

（B）ab

1

0（D）ab2

（A）ab

（C）ab

2

2

（2）设函数fx可导，且fxfx0则（）

（A）f1f1（B）f1f1

（C）f1f1（D）f1f1

（3）函数fx,y,zx2yz2在点1,2,0处沿向量n1,2,2的方向导数为（）

（A）12（B）6（C）4（D）2

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:

m）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线vv1t（单

位:

m/s）虚线表示乙的速度曲线vv2t，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时

刻记为t0（单位:

s）,则（）

（A）t010

（B）15t020（C）t025

（D）t025

v（m/s）

10

20

051015202530t（s）

（5）设

为n维单位列向量，

E为n阶单位矩阵，则（

）

（A）

E

T不可逆

（B）E

T不可逆

（C）

E

2

T

不可逆

（D）E

2

T

不可逆

2

0

0

2

1

0

1

0

0

（6）已知矩阵A

0

2

1

B0

2

0C

0

2

0

，则（

）

0

0

1

0

0

1

0

0

2

1

（A）A与C相似，B与C相似

（B）A与C相似，B与C不相似

（C）A与C不相似，B与C相似

（D）A与C不相似，B与C不相似

（7）设A,B为随机事件，若0

P（A）1,0

P（B）

1,则P

ABPAB的充分必要条件是（

）

A.PBAPBA

BPBAPBA

C.

PBAPBA

D.PBAPBA

（8）设X1,X2

......Xn（n

2）来自总体

N（

1

n

则下列结论中不正确的是：

（

）

1）的简单随机样本，记X

Xi

ni1

（A）

（Xi

）2服从

2分布

（B）

2（Xn

X1）2服从

2分布

n

X）2服从

2分布

）2

2分布

（C）

（Xi

（D）

n（X

服从

i1

二、填空题：

9~14

小题，每小题

4分，共

24

分。

（9）已知函数f（x）

1

则f（3）（0）

1

x2

__________

（10）微分方程y

2y

3y

0的通解为y

__________

（11）若曲线积分

xdx

dydy在区域D

x,y

x2

y2

1内与路径无关，则

a

L

x2

y2

1

（12）幂级数

1

n1

）内的和函数S（x）

n1

nxn1在区间（-1,1

1

0

1

（13）设矩阵A

1

1

2，

1,

2,3为线性无关的3维列向量组，则向量组

A1,A2,A3的秩为

0

1

1

（14）设随机变量

X的分布函数为

F

x

0.5

x

0.5

x4

x

为标准正态分布函数，则EX=

，其中

2

三、解答题：

15~23小题，共94分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（15）（本题满分10分）

设函数fu,v具有2阶连续偏导数，yfex,cosx,求dy

dx

d2y

，

2

x0dx

x0

2

（16）（本题满分10分）

求lim

n

k2ln1

k

nk

k

1n

n

（17）（本题满分10分）

已知函数yx由方程x3

y3

3x3y20确定，求y

x得极值

（18）（本题满分10分）

设函数

f（x）在0,1

上具有2阶导数，f

（1）0,lim

f（x）

0

x0

x

证

（1）方程f（x）

0在区间（0,1）

至少存在一个根；

（2）方程f（x）f

（x）[f（x）]2

0在区间（0,1）

内至少存在两个不同的实根.

（19）（本题满分10

分）

设薄片型物体

S是圆锥面

Zx2

y2

被柱面Z2

2x

割下的有限部分，其上任一点弧度为

u（x,y,z）

2

2

y

2

9x

。

z记圆锥与柱面的交线为C

（1）求C在xOy平面上的投影曲线的方程

（2）求S的质量M

（20）（本题满分

11分）

设三阶行列式A

（1,2,3）有3个不同的特征值，且3122

（1）

证明r（A）

2

（2）如果123求方程组Ax的通解

3

（21）（本题满分11分）

设二次型f（x,x

x）2x2

x2

ax2

2xx

8xx

3

2xx

3

在正交变换

xQy

下的标准型为

1y12

2y22求

12

3

1

2

3

12

1

2

，

a的值及一个正交矩阵

Q.

（22）（本题满分11分）

设随机变量X，Y互独立，且

的概率分布为PX0PX2

1

2y,0y1

，Y概率密度为f

y

2

0,其他

（1）求PYEY

（2）求Z

XY的概率密度

（23）（本题满分

11分）

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做

n次测量，该物体的质量

是已知的，设n次测量结

果x1,x2,

xn相互独立，且均服从正态分布N

2

，该工程师记录的是n次测量的绝对误差

zixi

i

1,2,n,，利用z1,z2,,zn估计

（I）求z1的概率密度

（II）利用一阶矩求的矩估计量

（III）求的最大似然估计量

4

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学

（一）试卷

一、选择题：

1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将

所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

．．．

（1）若反常积分

1

bdx收敛，则（

）

0

xa1x

Aa1且b1

Ba1且b1

Ca1且ab1Da

1且ab1

（2）已知函数f

x

2x

1,x

1

x的一个原函数是（

lnx,x

1

，则f

）

x

2

x

1

2

1

AFx

1

x1

BFx

x

xlnx

1,x

1

x

lnx

1

1,x1

x

1

2

1

x

2

x1

CF

x

x

DF

x

1

x

lnx

1

1,x

1

xlnx

1

1,x

1

（3）若y

1

x2

2

1x2,y

1

x2

2

1

x2

是微分方程

y

p

xyq

x的两个解，则qx

（

）

A3x1x2

B3x1x2

C

1

x

D

1

x

x2

x2

x,x

0

（4）已知函数f

x

1,

1

x

1,n

1,2,

，则（

）

nn

1

n

（A）x

0是f

x

的第一类间断点

（B）x

0是f

x

的第二类间断点

（C）f

x在x

0

处连续但不可导

（D）f

x在x

0

处可导

（5）设A，B是可逆矩阵，且

A与B相似，则下列结论错误的是（

）

（A）AT与BT相似

（B）A1与B1相似

（C）AAT与BBT相似

（D）AA1与BB1相似

（6）设二次型fx1,x2,x3

x1

2

x2

2

x3

2

4x1x24x1x3

4x2x3，则f

x1,x2,x3

2在空间直角坐标下表示的

二次曲面为（

）

（A）单叶双曲面

（B）双叶双曲

（C）椭球面

（D）柱面

（7）设随机变量

X~N,

2

0

，记p

PX

2，则（

）

（A）p随着

的增加而增加

（B）p随着

的增加而增加

（C）p随着

的增加而减少

（D）p随着

的增加而减少

5

（8）随机试验E有三种两两不相容的结果

A1,A2,A3，且三种结果发生的概率均为

1，将试验E独立重复做2次，

3

X表示2次试验中结果

A1发生的次数，Y表示2次试验中结果

A2发生的次数，则

X与Y的相关系数为（

）

（A）

1

1

1

1

2

（B）

（C）

（D）

3

2

3

二、填空题：

9

14

小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸

指定位置上.

．．．

x

tsintdt

tln1

（9）lim0

1

cosx

2

__________

x0

（10）向量场Ax,y,z

x

yzi

xyj

zk的旋度rotA

_________

（11）设函数

f

u,v可微，z

zx,y

由方程x

1z

y2

x2fx

z,y

确定，则dz0,1_________

（12）设函数f

x

arctanx

x

，且f（0）

1

，则a

________

1

ax2

1

0

0

（13）行列式

0

1

0

____________.

0

0

1

4

3

2

1

（14）设x1,x2,...,

xn为来自总体N

2

的简单随机样本，样本均值

x

9.5，参数

的置信度为0.95

的双侧置

信区间的置信上限为

10.8，则

的置信度为

0.95的双侧置信区间为______.

三、解答题：

15—23小题，共

94分.请将解答写在答题纸

指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

．．．

（15）（本题满分

10分）已知平面区域

D

r,

2

r21cos

2

2

，计算二重积分

xdxdy.

D

（16）（本题满分10分）设函数y（x）满足方程y2yky0其中0k1.

证明：

反常积分

y（x）dx收敛；

0

若y（0）1,y（0）

1，求

y（x）dx的值.

0

6

（17）（本题满分10分）设函数

f（x,y）满足f（x,y）

（2x1）e2xy,且f（0,y）

y1,Lt是从点（0,0）到点（1,t）

x

的光滑曲线，计算曲线积分I（t）

f（x,y）dx

f（x,y）dy，并求I（t）的最小值

Lt

x

y

（18）设有界区域由平面2xy2z2与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分

Ix21dydz2ydzdx3zdxdy

（19）（本题满分10分）已知函数f（x）可导，且f（0）

1，0f'（x）

1

xn满足xn1

f（xn）（n1,2...），

，设数列

2

证明：

（I）级数

（xn1xn）绝对收敛；

n1

（II）limxn

存在，且0limxn2.

n

n

1

1

1

2

2

（20）（本题满分

11分）设矩阵A2

a

1

B

1

a

1

1

a

a1

2

当a为何值时，方程

AXB无解、有唯一解、有无穷多解？

011

（21）（本题满分11分）已知矩阵A230

000

（I）求A99

7

（II）设3阶矩阵B

（,2,3）满足B2

BA，记B100

（1,2,3）将

1,2,3分别表示为

1,2,3的线性组

合。

（

22）（本题满分

11分）设二维随机变量

（X,Y）在区域D

x,y0x1,x2

yx上服从均匀分布，令

U

1,X

Y

0,X

Y

（I）写出（X,Y）的概率密度；

（II）问U与X是否相互独立？

并说明理由；

（III）求ZUX的分布函数F（z）.

3x2

x

（23）设总体

X

的概率密度为

fx,

3,0

0

X1,X2,X3

X

，其中

为未知参数，

为来自总体

，

0,其他

的简单随机样本，令TmaxX1,X2,X3。

（1）求T的概率密度

（2）确定a，使得aT为的无偏估计

8

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学

（一）试卷

一、选择题

（1）设函数

f（x）（-

+）

阶导函数

f（x）

的图形如下图所示，则曲线

yf（x）

的拐点个数为（

）

在

连续，其2

（A）0（B）1（C）2（D）3

（2）设y

1e2x

x1

ex是二阶常系数非齐次线性微分方程y

aybycex的一个特解，

（

）

2

3

则：

（A）a

3,b

1,c

1.

（B）a

3,b

2,c

1.

（C）a3,b2,c1.

（D）a3,b2,c1.

（3）若级数an条件收敛，则x3与x3依次为幂级数nanx1n的：

n1n1

（A）收敛点，收敛点.

（B）收敛点，发散点.（）

（C）发散点，收敛点.

（D）发散点，发散点.

（4）设D是第一象限中曲线2xy1,4xy1与直线yx,y3x围成的平面区域，函数f（x,y）在D上连续，则

f（x,y）dxdy

（

）

D

1

1

（A）

3

d

sin2

f（