小站教育GRE数学排列组合公式及例题讲解.docx

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小站教育GRE数学排列组合公式及例题讲解

GRE数学—排列组合公式及例题讲解

排列A------和顺序有关

组合C-------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分

例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法."排列"

把5本书分给3个人,有几种分法"组合"

1．排列及计算公式

从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A（n,m）表示.

A（n,m）=n（n-1）（n-2）„„（n-m+1）=n!

/（n-m）!

（规定0!

=1）.

2．组合及计算公式

从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素

的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号

c（n,m）表示.

c（n,m）=A（n,m）/m!

=n!

/（（n-m）!

*m!

）；c（n,m）=c（n,n-m）;

3．其他排列与组合公式

从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝A（n,r）/r=n!

/r（n-r）!

.

n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为

n!

/（n1!

*n2!

*...*nk!

）.

k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c（m+k-1,m）.

排列（Anm（n为下标，m为上标））

Anm=n×（n-1）....（n-m+1）；Anm=n！

/（n-m）！

（注：

！

是阶乘符号）；

Ann（两个n分别为上标和下标）=n！

；0！

=1；An1（n为下标1为上标）

=n

组合（Cnm（n为下标，m为上标））

Cnm=Anm/Amm；Cnm=n！

/m！

（n-m）！

；Cnn（两个n分别为上标和下标）

=1；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m

2008-07-0813:

30

公式A是指排列，从N个元素取R个进行排列。

公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。

N-元素的总个数

R参与选择的元素个数

！

-阶乘，如9！

＝9*8*7*6*5*4*3*2*1

从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1）*（n-2）..（n-r+1）;

因为从n到（n-r+1）个数为n－

（n-r+1）＝r

举例：

Q1:

有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位

数？

A1:

123和213是两个不同的排列数。

即对排列顺序有要求的，既属于“排列A”计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现

988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。

计算公式＝A（3，9）＝9*8*7,（从9倒数3个的乘积）

Q2:

有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？

A2:

213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。

即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C（3,9）=9*8*7/3*2*1

排列、组合的概念和公式典型例题分析

例1设有3名学生和4个课外小组．

（1）每名学生都只参加一个课外小组；

（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多

有一名学生参加．各有多少种不同方法？

解

（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．

（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．

点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．

例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？

解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：

∴符合题意的不同排法共有9种．

点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．

例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？

并计算出结果．

（1）高三年级学生会有11人：

①每两人互通一封信，共通了多少

封信？

②每两人互握了一次手，共握了多少次手？

（2）高二年级数学课外小组共10人：

①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？

②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：

①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？

②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

（4）有8盆花：

①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？

②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？

分析

（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．

（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．

（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．

（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不

同的积．

（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．

例４证明．证明左式

右式．

∴等式成立．

点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．

例5化简．解法一原式

解法二原式

点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．

例6解方程：

（1）；

（2）．

解

（1）原方程

解得．

（2）原方程可变为

∵，，

∴原方程可化为．即，解得

第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求

1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.

2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.

3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简

单问题.

二、知识结构

三、知识点、能力点提示

（一）加法原理乘法原理

说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.

例15位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?

解：

5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有

3×3×3×3×3=35（种）

（二）排列、排列数公式

说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽

象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题

或填空题考查.

例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于

50000的偶数共有（）

A.60个B.48个C.36

个D.24个

2

3

解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有A1；小于50000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有A1;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有A3，得A1A3A1＝36（个）

3332

由此可知此题应选C.

例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?

解：

将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即2143，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为

3

3A1=9（种）.

例四例五可能有问题，等思考

三）组合、组合数公式、组合数的两个性质

说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.

例4从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）

A.140种B.84种C.70种D.35

种

解：

抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C1·C2

种；甲

45

型2台乙型1台的取法有C2·C1种

45

根据加法原理可得总的取法有

C2221

4·C5+C4·C5=40+30=70（种）

可知此题应选C.

例5甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙

公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式?

8

解：

甲公司从8项工程中选出3项工程的方式C3种；

5

乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C1种；

4

丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C2

种；

丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的

2

方式有C2种.

根据乘法原理可得承包方式的种数有C38×C1×C2×C2=×1=1680（种）.

542

（四）二项式定理、二项展开式的性质

说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.

例6在（x-）10的展开式中，x6的系数是（）

10

A.-27C6

B.27C4

C.-9C6

10

10

10

D.9C4

解设（x-）10的展开式中第γ+1项含x6，

10x

因Tγ+1=Cγ

10-γ（-）

γ，10-γ=6,γ=4

于是展开式中第5项含x6，第5项系数是C4

（-）4=9C4

1010

故此题应选D.

例7（x-1）-（x-1）2＋（x-1）3-（x-1）+（x-1）５的展开式中的x２的系数等于

解：

此题可视为首项为x-1，公比为-（x-1）的等比数列的前5项的和，

则其和为

6

在（x-1）6中含x3的项是C3x3（-1）3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-20.（五）综合例题赏析

例8若（2x+）4=a+ax+ax2+ax3+ax4，则（a+a+a）2-（a+a）2的值为

01234

02413

（）

A.1B.-1

C.0D.2

解：

A.

例92名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1

名医生和2名护士，不同的分配方法共有（）

A.6种B.12种C.18

种D.24种

解分医生的方法有A2＝2种，分护士方法有C2=6种，所以共有6×2

24

＝12种不同的分配方法。

应选B.

例10从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同取法共有（）.

A.140种B.84种C.70

种D.35种

解：

取出的3台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形.

∵C2·+C2·C1=5×6+10×4=70.

454

∴应选C.

例11某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同选法有（）

A.27种B.48种C.21种D.24

种

解：

分恰有1名女生和恰有2名女生代表两类：

∵C1·C17+C2=3×7+3=24，

33

∴应选D.

例12由数学0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）.

A.210个B.300个C.464个D.600个解：

先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?

应有A1·A5=600个.

55

由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各

占一半.

∴有×600=300个符合题设的六位数.

应选B.

例13以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（）.A.70个B.64个

8

C.58个D.52个解：

如图，正方体有8个顶点，任取4个的组合数为C4=70个.

其中共面四点分3类：

构成侧面的有6组；构成垂直底面的对角面的有

2组；形如（ADB1C1）的有4组.

∴能形成四面体的有70-6-2-4=58（组）

应选C.

例14如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的

12条直线中，异面直线共有（）.

A.12对B.24对C.36对D.48对解：

设正六棱锥为O—ABCDEF.

6

任取一侧棱OA（C1）则OA与BC、CD、DE、EF均形成异面直线对.

∴共有C16×4=24对异面直线.

应选B.

例15正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共个（以数字作答）.

7

解：

7点中任取3个则有C3=35组.

其中三点共线的有3组（正六边形有3条直径）.

∴三角形个数为35-3=32个.

例16设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为。

解10个元素的集合的全部子集数有：

S＝C0

+C1

+C2

+C3

+C4

+C5

+C6

+C7

+C8

+C9

+C10

=210=1024

1010

101010

1010

10101010

其中，含3个元素的子集数有T=C3

=120

10

故=

例17在50件产品n中有4件是次品，从中任意抽了5件，至少有

3件是次品的抽法共

种（用数字作答）.

解：

“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.

∴C3·C2

+C4·C1

=4186（种）

446446

例18有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承

担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（）.

A.1260种B.2025种

C.2520种D.5040种

解：

先从10人中选2个承担任务甲（C2）

10

再从剩余8人中选1人承担任务乙（C18）

又从剩余7人中选1人承担任务乙（C17）

∴有C2

·C18C17=2520（种）.

10

应选C.

例19集合｛1，2，3｝子集总共有（）.

A.7个B.8个C.6个D.5个

解三个元素的集合的子集中，不含任何元素的子集有一个，由一个元素组成的子集数

C12

3，由二个元素组成的子集数C3。

3

由3个元素组成的子集数C3。

由加法原理可得集合子集的总个数是

C123

3+C3+C3+1=3+3+1+1＝8

故此题应选B.

例20假设在200件产品中有3件是次品，现在从中任意抽取5件，

其中至少有两件次品的抽法有（）.

A.C2C3

种B.C2C3

+C3C2

3197

3197

3197

C.C5

-C5

D.C5

-C1C4

200

197

200

3197

解：

5件中恰有二件为次品的抽法为C2C3，

3197

5件中恰三件为次品的抽法为C3C2，

3197

∴至少有两件次品的抽法为C2C3

+C3C2.

3197

3197

应选B.

例21两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人一个座位），则不同座法的总数是（）.

A.C5C3

B.A1C5C3

C.A5A3

8828888