圆轴扭转应力.docx

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圆轴扭转应力

授课日期

学时

2

课次

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．装．．．．．．．．．．．．．订．．．．．．．．．．线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

授课班级

授课教师

授课题目

（教学章、节或主题）

第十一章扭转第二节扭转时横截面上的应力第四节圆轴扭转时的变形

教学目的、要求

（分掌握、熟悉、了解三个层次）

掌握圆轴扭转时横截面上的应力和变形

教学重、难点

重点与难点：

圆轴扭转时横截面上的应力和变形

参考资料

（含参考书、文献等）

河南省高等职业技术学院教材《工程力学》徐广民中国铁道出版社

21世纪高职高专系列教材《工程力学》杨玉贵机械工业出版社

授课类型（请打√）

理论课√讨论课□实验课□练习课□其他□

教学过程设计（请打√）

复习□授新课√安排讨论□布置作业□

教学方式（请打√）

讲授√讨论□示教□指导□其他□

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基础部主任签字

年月日

教研室组长签字：

年月日

课时分配

教学内容、方法、步骤

附记

§11-2圆轴扭转时的应力

一、圆轴扭转时横截面上的剪应力

1．平面假设

如图11-9a所示受扭圆轴，与薄圆筒相似，如用一系列平行的纵线与圆周线将圆轴表面分成一个个小方格，可以观察到受扭后表面变形有以下规律：

11-9

（1）各圆周线绕轴线相对转动一微小转角，但大小，形状及相互间距不变；

（2）由于是小变形，各纵线平行地倾斜一个微小角度

，认为仍为直线；因而各小方格变形后成为菱形。

平面假设：

变形前横截面为圆形平面，变形后仍为圆形平面，只是各截面绕轴线相对“刚性地”转了一个角度。

2．变形几何关系

从图11-9a取出图11-9b所示微段dx,其中两截面pp,qq相对转动了扭转角d

纵线ab倾斜小角度

成为ab’，而在半径

（

）处的纵线cd根据平面假设，转过d

后成为cd’（其相应倾角为

，见图11-9c）由于是小变形，从图11-9c可知：

。

于是

（a）

对于半径为R的圆轴表面（见图11-9b），则为

（b）

3．物理关系

与受扭薄壁圆筒相同，在半径为

处截出厚为d

的薄圆筒（图11-9b），用一对相距dy而相交于轴线的径向面取出小方块（正微六面体）如图11-9c此为受纯剪切单元体。

由剪切胡克定理和式（a）得

（c）

这表明横截面上任意点的剪应力

与该点到圆心的距离

成正比，即

当

；当

，

取最大值。

由剪应力互等定理，则在径向截面和横截面上，沿半径剪应力的分布如图11-10。

4．静力平衡关系

在图11-11所示平衡对象的横截面内，有

，扭矩

，由力偶矩平衡条件

，得

令

（11-9）

此处d

/dx为单位长度上的相对扭角，对同一横截面，它应为不变量。

为几何性质量，只与圆截面的尺寸有关，称为极惯性矩；单位为m4或cm4。

则

或

（11-10）

（11-10）式代回（c）式，得

（11-11）

则在圆截面边缘上，

为最大值

时，得最大剪应力为

（11-12）

此处

（11-13）

称为抗扭截面系数，单位为m3或cm3。

二、圆轴扭转时横截面上的剪应力

5.

、

计算

对实心圆轴

（11-15）

对空心圆轴

（11-16）

例11-2AB轴传递的功率为

，转速

。

如图11-12所示，轴AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面。

已知

，

。

试计算AC以及CB段的最大与最小剪应力。

解：

（1）计算扭矩轴所受的外力偶矩为

由截面法

（2）计算极惯性矩AC段和CB段轴横截面的极惯性矩分别为

（3）计算应力AC段轴在横截面边缘处的剪应力为

CB段轴横截面内、外边缘处的剪应力分别为

§11-4圆轴扭转时的变形

扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。

对于圆轴，由式（11-10）

所以

（rad）（11-17）

式中

称为圆轴的抗扭刚度，它为剪切模量与极惯性矩乘积。

越大，则扭转角

越小。

让

，为单位长度相对扭角，则有

（rad/m）

扭转的刚度条件：

（rad/m）（11-18）

或

（°/m）（11-19）

例11-3如图11-14所示等直圆杆，已知

KN·m，试绘扭矩图。

解：

设两端约束扭转力偶为

，

（1）由静力平衡方程

得

（a）

此题属于一次超静定。

（2）由变形协调方程（可解除B端约束），用变形叠加法有

（b）

（3）物理方程

，

，

（c）

由式（c），（b）得

即

并考虑到（a），结果

假设的力偶转向正确，绘制扭矩图如图11-14c所示。

小结

1.极惯性矩和抗扭截面系数

2.圆轴扭转时横截面上的应力计算

3.相对扭转角和单位长度扭转角

4.

复习思考题、作业题

1.扭转的概念

2.扭矩的正负号规定及扭矩图的绘制规律

11－3，4，5

下次课预习要点

圆轴扭转时的强度计算和刚度计算

实施情况及分析