二次函数知识点汇总全.docx
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二次函数知识点汇总全.docx
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二次函数知识点汇总全
二次函数知识点(第一讲)
、二次函数概念:
1.二次函数的概念:
一般地,形如y=aχ2∙bx∙c(a,b,C是常数,a=O)的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:
和一元二次方程类似,二次项系数a=0,而b,c可以为零•二次函数的定义域是全体实数.
2.二次函数y=aχ2∙bxC的结构特征:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量X的二次式,X的最高次数是2.
⑵a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,C是常数项.
二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式:
y=aχ2的性质:
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
aAO
向上
(0,0)
y轴
xa0时,y随X的增大而增大;xv0时,y随
X的增大而减小;X=0时,y有最小值0.
ac0
向下
(0,0)
y轴
x>0时,y随X的增大而减小;xv0时,y随
X的增大而增大;X=0时,y有最大值0.
2.y=aχ2C的性质:
(上加下减)
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
(0,c)
y轴
XA0时,y随X的增大而增大;XV0时,y随
X的增大而减小;X=0时,y有最小值C.
aV0
向下
(0,C)
y轴
x>0时,y随X的增大而减小;xc0时,y随
X的增大而增大;X=0时,y有最大值C.
2
3.y=a(x—h)的性质:
(左加右减)
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
(h,0)
X=h
x>h时,y随X的增大而增大;Xeh时,y随
X的增大而减小;X=h时,y有最小值0.
acθ
向下
(h,0)
X=h
x>h时,y随X的增大而减小;XVh时,y随
X的增大而增大;X=h时,y有最大值0.
2
4.y=a(x—h)+k的性质:
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
(h,k)
X=h
x>h时,y随X的增大而增大;XCh时,y随
X的增大而减小;x=h时,y有最小值k.
av0
向下
(h,k)
X=h
XAh时,y随X的增大而减小;XVh时,y随
X的增大而增大;X=h时,y有最大值k.
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤:
方法一:
⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=aX-∙hj亠k,确定其顶点坐标h,k;
y=ax2
*y=ax2+k
向上(k>0)【或下(k<0)]
y=a(x-h)2
向右(h>0)【或左(h<0)]
平移|k|个单位
y=a(x-h)2+k
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移Ikl个单位
向上(k>0)【或下(k<0)]平移|k个单位
向右(h>0)【或左(h<0)]平移Kl个单位
向右(h>0)【或左(*0)]
平移Ikl个单位
平移∣k∣个单位
⑵保持抛物线y=aχ2的形状不变,将其顶点平移到h,k处,具体平移方法如下:
2.平移规律
在原有函数的基础上h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”概括成八个字“左加右减,上加下减”.
方法二:
⑴y=ax2bxc沿y轴平移:
向上(下)平移m个单位,y=ax2∙bx∙c变成
2卜2
y=axbxCm(或y=axbxc-m)
⑵y=ax2∙bxC沿轴平移:
向左(右)平移m个单位,y=ax2bxC变成
2卜2
y=a(xm)b(xm)c(或y=a(x_m)b(x_m)c)
四、二次函数y=aX_hi亠k与y=aχ2bxc的比较
2
从解析式上看,y=aX_h]亠k与y=aχ2∙bxC是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到
五、二次函数y=aχ2bxc图象的画法
五点绘图法:
利用配方法将二次函数y=aχ2bxC化为顶点式y=a(x-h)2∙k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图•一般我们选取的五点为:
顶点、与y轴的交点O,c、以及O,c关于对称轴对称的点2h,C、与X轴的交点x1,0,
X2,O(若与X轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点)
画草图时应抓住以下几点:
开口方向,对称轴,顶点,与X轴的交点,与y轴的交点•
六、二次函数y=ax2bxc的性质
2.当a:
:
:
0时,抛物线开口向下,
X=-b,顶点坐标为
(
b4ac-b2
•当X:
:
」时,
I■—
2a
2a4a
2a
对称轴为
y
y有最大值
4ac-b2
4a
随X的增大而增大;当^-―时,y随X的增大而减小;当Xb时,
2a2a
七、二次函数解析式的表示方法
1.一般式:
y=axbxc(a,b,C为常数,a=O);
2.顶点式:
y=a(x-h)k(a,h,k为常数,a=O);
3.两根式:
y=a(x-xι)(x-X2)(a=O,Xi,X2是抛物线与X轴两交点的横坐标)
注意:
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,
只有抛物线与X轴有交点,即b2_4ac_o时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化•
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数a
二次函数y=aχ2∙bx∙c中,a作为二次项系数,显然a厂0.
⑴当a0时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大;
⑵当a:
:
:
0时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大.
总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大
小.
2.一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.⑴在a0的前提下,
当b0时,一卫:
:
:
0,即抛物线的对称轴在y轴左侧;
2a
当b=0时,一丄=0,即抛物线的对称轴就是y轴;
2a
当b<0时,—b.0,即抛物线对称轴在y轴的右侧.
2a
⑵在a<0的前提下,结论刚好与上述相反,即
当b0时,—卫∙0,即抛物线的对称轴在y轴右侧;
2a
当b=0时,—b=O,即抛物线的对称轴就是y轴;
2a
当b<0时,一P:
:
:
0,即抛物线对称轴在y轴的左侧.
2a
总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置.
K
ab的符号的判定:
对称轴X—在y轴左边则ab•0,在y轴的右侧则ab:
:
:
0,概括的说就
2a
是“左同右异”
总结:
3.
⑶当C<0时,抛物线与
y轴的交点在X轴下方,即抛物线与
y轴交点的纵坐标为负.
常数项C
总结起来,C决定了抛物线与y轴交点的位置.
总之,只要a,b,C都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法•用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便•一般来说,有如下几种情况:
1.已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
3.已知抛物线与X轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
1.关于X轴对称
y=aX∙bx关于X轴对称后,得到的解析式是y--aχ2-bx-C;
22
y=ax-h]亠k关于X轴对称后,得到的解析式是y--aX-hk;
2.关于y轴对称
^aXbx关于y轴对称后,得到的解析式是y=aχ2-bx∙c;
22
y=ax-h「k关于y轴对称后,得到的解析式是y=aX^i^k;
3.关于原点对称
y=ax2bxC关于原点对称后,得到的解析式是y=-aχ2∙bx-c;
22
y=aX-h■关于原点对称后,得到的解析式是y--aX∙hk;
4.关于顶点对称(即:
抛物线绕顶点旋转180°)
y=aX∙bx关汙顶点对称后,得到的解析式是
y»bxc卫;
2a
2
y=ax-hk关于顶点对称后,得到的解析式是
2
y=-aX-hj亠k•
5.关于点m,n对称
22
y=aX-hi亠k关于点m,n对称后,得到的解析式是y=-ax■h—2mi亠2n—k
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a永远不
变•求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
十、二次函数与一元二次方程:
1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与X轴交点情况):
一元二次方程ax2bxC0是二次函数y=aχ2bxG当函数值y=O时的特殊情况•图象与X轴的交点个数:
AB=X2-XiI=
b4ac
①当厶-b2-4ac0时,图象与X轴交于两点Axl,0,BX2,0(X^-X2),其中的Xi,X2是一元
次方程ax2bxC=0a十0的两根.这两点间的距离
2当=0时,图象与X轴只有一个交点;
3当.—:
:
0时,图象与X轴没有交点•
1'当a0时,图象落在X轴的上方,无论X为任何实数,都有y∙0;
2'当a:
:
:
0时,图象落在X轴的下方,无论X为任何实数,都有y:
:
:
0.
2.抛物线y=aχ2bxC的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,C);
3.二次函数常用解题方法总结:
⑴求二次函数的图象与X轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶根据图象的位置判断二次函数y=aχ2∙bx∙c中a,b,C的符号,或由二次函数中a,b,C的
符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与X轴
的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标
⑸与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax2bxC(^--=0)本身就是所含字母X的二次函
数;下面以a0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:
Δ>0
抛物线与X轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
A=0
抛物线与X轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根
A<0
抛物线与X轴无交占
八、、
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
二次函数考查重点与常见题型
1.考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:
已知以X为自变量的二次函数y=(m「2)x2∙m2「m「2的图像经过原点,则m的值是
2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如:
2..
y=kx∙bx-1的图像大致是
如图,如果函数y=kx∙b的图像在第一、二、三象限内,那么函数
3.考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如:
5
已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为X,求这条抛物线的解析式。
3
4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如:
3
已知抛物线y=aχ2Fx∙c(a≠0)与X轴的两个交点的横坐标是一1、3,与y轴交点的纵坐标是一-
(1)确定抛物线的解析式;
(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标
5•考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。
【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1
(1)二次函数y=aχ2∙bx∙c的图像如图1,则点M(b,卫)在()
a
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
(2)
A.1个
(1)
B.2个
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示,?
则下列结论:
①a、b同号;②当
x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,X的值只能取0.其中正确的个数是()
【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b,C之间的关系,是解决问题的关键.
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与X轴交于点(-2,O)、(X1,0),且1 的交点在点(O,2)的下方.下列结论: ①aO③4a+c A1个B.2个C.3个D.4个答案: D 例3.已知: 关于X的一元二次方程 aχ2+bx+c=3的一个根为x=-2 且二次函数y=aχ2+bx+c的对称轴是 直线x=2,则抛物线的顶点坐标为() 例4、(2006年烟台市)如图(单位: m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动, (1)写出y与X的关系式; (2)当x=2,3.5时,y分别是多少? (3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半三角形移动了多长时间? 求抛物线顶点坐标、对称轴• 125 例5、已知抛物线y=—X+x-—. 22 (1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴. (2)若该抛物线与X轴的两个交点为AB,求线段AB的长.【点评】本题 (1)是对二次函数的“基本方法”的考查,第(程的关系. 2)问主要考查二次函数与一元二次方 例6.已知: 二次函数y=ax2-(b+1)x-3a 的图象经过点 P(4,10),交X轴于A(x1,0),B(x2,0)两点 A(2, 答案: C -3)B.(2 ,1)C(2,3)D.(3,2) 直到AB与CD重合.设X秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为ym2. 时, 会用待定系数法求二次函数解析式 M,使锐角∠MCQ∠ACOl若存在,请你 (X1: : X2),交y轴负半轴于C点,且满足3AO=OB (1)求二次函数的解析式; (2)在二次函数的图象上是否存在点求出M点的横坐标的取值范围;若不存在,请你说明理由. (1)解: 如图T抛物线交X轴于点A(X1,0),B(x2,O),则X1∙X2=3<0,又VX1 二X2>QX1 22 二X1∙X2=-3x1=-3.∙°∙X1=1. X1<0,∙X1=-1.∙.X2=3. ∙点A(-1,O),P(4,10)代入解析式得解得a=2b=3∙.二次函数的解析式为y-2x2-4x-6. ⑵存在点M使∠MC0∠ACO ⑵解: 点A关于y轴的对称点A'(1,Q), ∙直线AC解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0,-6),(5,24).∙符合题意的X的范围为-1 当点M的横坐标满足-IvXvO或Qvχ<5时,∠MCQ∠ACO 例7、"已知函数y=1X2bxc的图象经过点A(C,—2),I 2 求证: 这个二次函数图象的对称轴是x=3。 题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字 (1)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式? 若能,请写出求解过 程,并画出二次函数图象;若不能,请说明理由。 (2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整点评: 对于第 (1)小题,要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原来 的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用,再结合条件“图象经过点A(c,—2)”,就可以 列出两个方程了,而解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数解析式。 对于第 (2) 小题,只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第 (1)小题中的解析式就可以了。 而从不同 的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标,可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 12 [解答] (1)根据yXbxc的图象经过点A(C,—2),图象的对称轴是x=3,得 2 C=2. 所以所求二次函数解析式为y=丄X2—3x•2.图象如图所示。 2 1 (2)在解析式中令y=0,得χ2-3χ∙2=0,解得x^^,5,x^^5. 2 所以可以填"抛物线与X轴的一个交点的坐标是(3+、..5,0)"或"抛物线与X轴的一个交点的坐 标是(3-.5,0). 令x=3代入解析式,得y=「5, 2 所以抛物线y=lχ2-3x2的顶点坐标为(3,-§), 22 5 所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3,-5)等等。 2 函数主要关注: 通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征;借助多种现实背景理解函数;将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;渗透函数的思想;关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图),其中AF=2BF=1.试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积. 【评析】本题是一道代数几何综合题,把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起,能很好考查学生的综合应用能力•同时,也给学生探索解题思路留下了思维空间• 例2某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价X(元)? 与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表: X(元) 15 20 30 5 y(件) 25 20 10 5 若日销售量y是销售价X的一次函数. (1)求出日销售量y(件)与销售价X(元)的函数关系式; (2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元? ? 此时每日销售利润是多少元? p"15k+b=25 【解析】 (1)设此一次函数表达式为y=kx+b.贝U,解得k=-1,b=40,? 即一次函数 ∣2k+b=20 表达式为y=-x+40. (2)设每件产品的销售价应定为X元,所获销售利润为W元 W=(x-10)(40-x)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225. 产品的销售价应定为25元,此时每日获得最大销售利润为225元. 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有两点: (1)设未知数 在“当某某为何值时,什么最大(或最小、最省)”的设问中,? “某某”要设为自变量,“什么”要设为函数; (2)? 问的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程. 例3.你知道吗? 平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示,正在 甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m距地面均为Im学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平 距离1m2.5m处•绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶•已知学生丙的身高是1.5m,则学 生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) () A.1.5mB.1.625m C.1.66mD.1.67m 分析: 本题考查二次函数的应用 答案: B 知识点一、平面直角坐标系 1,平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。 其中,水平的数轴叫做X轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正 方向;两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被X轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第 一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意: X轴和y轴上的点,不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。 平面内点的坐标是有序实数对,当a=b时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限=X0,y0 点P(x,y)在第二象限=X<0,y0 点P(X,y)在第三象限=X: : 0,y: 0 点P(X,y)在第四象限=X0,y: : : 0 2、坐标轴上的点的特征 点P(X,y)在X轴上=Y=O,X为任意实数 点P(x,y)在y轴上=x=0,y为任意实数 点P(x,y)既在X轴上,又在y轴上=x,y同时为零,即点P坐标为(0,0) 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上=X与y相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上=X与y互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于X轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同 5、关于X轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征 点P与点p'关于X轴对称: =横坐标相等,纵坐标互为相反数 点P与点p'关于y轴对称纵坐标相等,横坐标互为相反数 点P与点p'关于原点对称=横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离: (1)点P(x,y)到X轴的距离等于y (2)点P(x,y)到y轴的距离等于X 3)点P(x,y)到原点的距离等于「厂y 知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。 一般地,在某一变化过程中有两个变量X与y,如果对于X的每一个值,y都有唯一确定的值与 它对应,那么就说X是自变量,y是X的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点O,其中正确结论的个数为()
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- 二次 函数 知识点 汇总