高等数学典型例题与解法二02第86讲 曲线积分与路径无关115.docx
- 文档编号:7212402
- 上传时间:2023-01-21
- 格式:DOCX
- 页数:6
- 大小:16.09KB
高等数学典型例题与解法二02第86讲 曲线积分与路径无关115.docx
《高等数学典型例题与解法二02第86讲 曲线积分与路径无关115.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高等数学典型例题与解法二02第86讲 曲线积分与路径无关115.docx(6页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高等数学典型例题与解法二02第86讲曲线积分与路径无关115
高等数学典型例题与解法
(二)
第86讲曲线积分与路径无关
理学院朱健民教授
主要内容
内容提要
典型例题解析
1、保守场
设有平面向量场
为场中任意两点,和为场中任意两
条同时以为起点、为终点的光滑或分段光滑
曲线,若
则称为保守场.
2、曲线积分与路径无关
定理设为平面上的单连通区域,函数在内有连
续的一阶偏导数,则下面的四种说法等价:
(1)在区域内存在可微函数,使得
(2)在区域内成立
(3)对于任何一条完全落在区域内的光滑或分段光滑的闭曲线,有
2、曲线积分与路径无关
定理设为平面上的单连通区域,函数在内有连
续的一阶偏导数,则下面的四种说法等价:
(4)对于区域内的任何两点,积分
⌢
的值只与两点的位置有关,而与在区域内的路径无关.
注:
此定理可用来判断曲线积分是否与路径无关,是否为保守场,是否为
全微分,是否存在原函数或势函数.
3、原函数
对于单连通区域上的微分式,若存在上的
可微函数使得
,或者 ,
则称函数为微分式的原函数(或势函数).
y
y,
y
0
O
x
0
x
x
4、全微分方程
若存在函数使得,则称方程
为全微分方程.方程的通解为,其中为任意常数.
若函数在单连通区域上有一阶连续偏导数,则方程
在区域上为全微分方程,当且仅当在内成立
例86.1计算对坐标的曲线积分
,其中为以为起点、为终点的半圆 .
【解】令
由于所以积分与路径无关,
L
取有向线段作为积分路径,则有
A
⋅
例86.2设质点受力场
作用,将其沿曲线由点
移动到,求力场对质点所做的功,其中.
y
【解】力场对质点所做的功
A
令
则有
L
ox
B
于是,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
例86.2设质点在力场
作用下沿曲线由点
运动到,求力场对质点所做的功,其中.
y
【续解】取圆弧
A
有
⌢
L
ox
B
例86.3已知 求.
【解】
等价于所以
例86.4验证
为保守力场,并计算沿以为起点、为终点的路径所做的功.
【解】(方法一)令
,由于
所以,为保守力场.沿所做的功为
,
,
例86.4验证
为保守场,并计算沿以为起点、为终点的路径所作的功.
【解】(方法二)
,,,
,,,
,
,
例86.5求下列微分方程的通解:
(1),
(2)
【解】
(1)设,因为
所以,方程为全微分方程.
(方法一)
因此,原方程的通解为
例86.5求下列微分方程的通解:
(1),
(2)
【续解】(方法二)
将方程适当分组,使得每一组恰好是某个函数的全微分,得到如下形式
即d所以,原方程的通解为
例86.5求下列微分方程的通解:
(2)
【续解】
(2)此方程不是全微分方程.
分项组合得
即
选择积分因子
同乘方程两边得即有
因此方程通解为:
即
因也是方程的解,所以为任意常数.
再见
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高等数学典型例题与解法二02第86讲 曲线积分与路径无关115 高等数学 典型 例题 解法 02 86 曲线 积分 路径 无关 115