三湘名校教育联盟高三第三次大联考理科数学试题含答案优选.docx
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三湘名校教育联盟高三第三次大联考理科数学试题含答案优选
三湘名校教育联盟·2017届高三第三次大联考
理科数学
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则()
A.B.C.D.
2.已知命题中,若,则,则下列命题为真命题的是()
A.的逆命题B.的否命题C.的逆否命题D.的否定
3.已知函数是定义在上周期为4的奇函数,当时,,则()
A.1B.-1C.0D.2
4.执行如图所示的程序框图,如输入的值为1,输出的值为,则在区间上随机选取一个数,的概率为()
A.B.C.D.
5.欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,表示的复数在复平面中位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
6.函数的图象大致是()
A.B.C.D.
7.若的展开式中的系数为()
A.36B.-144C.60D.-60
8.如图是一个四面体的三视图,三个正方形的边长均为2,则四面体外接球的体积为()
A.B.C.D.
9.体育课的排球发球项目考试的规则是:
每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为,发球次数为,若的数学期望,则的取值范围是()
A.B.C.D.
10.一个等比数列的前三项的积为2,最后三项的积为4,且所有项的积为64,则该数列的项数是()
A.13B.12C.11D.10
11.如图,抛物线和圆,直线经过抛物线的焦点,依次交抛物线与圆于,,,四点,,则的值为()
A.B.1C.D.
12.已知函数在上的最大值为3,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷:
非选择题(共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
13.已知正项等差数列的前项和为,,则的最大值为.
14.已知实数,满足,则的最小值为1,则.
15.以40向北偏东航行的科学探测船上释放了一个探测气球,气球顺风向正东飘去,3后祈求上升到1处,从探测船上观察气球,仰角为,求气球的水平飘移速度是.
16.已知平面向量,满足,存在单位向量,使得,则的取值范围是.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知函数.
(1)若在上的值域为,求的取值范围;
(2)若在上单调,且,求的值.
18.为了研究一种昆虫的产卵数和温度是否有关,现收集了7组观测数据列于下表中,并作出了散点图,发现样本点并没有分布在某个带状区域内,两个变量并不呈线性相关关系,现分别用模型①:
与模型②:
作为产卵数和温度的回归方程建立两个变量之间的关系.
温度
20
22
24
26
28
30
32
产卵数/个
6
10
21
24
64
113
322
400
484
576
676
784
900
1024
1.79
2.30
3.04
3.18
4.16
4.73
5.77
26
692
80
3.57
1157.54
0.43
0.32
0.00012
其中,,,,
附:
对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,.
(1)在答题卡中分别画出关于的散点图、关于的散点图,根据散点图判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型?
(给出判断即可,不必说明理由).
(2)根据表中数据,分别建立两个模型下建立关于的回归方程;并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数.(与估计值均精确到小数点后两位)(参考数据:
,,)
(3)若模型①、②的相关指数计算得分分别为,,请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.
19.已知三棱台中,,,,平面平面,
(1)求证:
平面;
(2)点为上一点,二面角的大小为,求与平面所成角的正弦值.
20.一张半径为4的圆形纸片的圆心为,是圆内一个定点,且,是圆上一个动点,把纸片折叠使得与重合,然后抹平纸片,折痕为,设与半径的交点为,当在圆上运动时,则点的轨迹为曲线,以所在直线为轴,的中垂线为轴建立平面直角坐标系,如图.
(1)求曲线的方程;
(2)曲线与轴的交点为,(在左侧),与轴不重合的动直线过点且与交于、两点(其中在轴上方),设直线、交于点,求证:
动点恒在定直线上,并求的方程.
21.已知函数.
(1)若在定义域上为单调递减函数,求实数的取值范围;
(2)是否存在实数,使得恒成立且有唯一零点,若存在,求出满足,的的值;若不存在,请说明理由.
请考生在22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中,已知曲线(为参数),在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线,曲线.
(1)求曲线与的交点的直角坐标;
(2)设点,分别为曲线,上的动点,求的最小值.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知函数.
(1)当时,求的最小值;
(2)存在时,使得不等式成立,求实数的取值范围.
数学(理科)参考答案、提示及评分细则
一、选择题:
1-5CDABB6-10DDBCB11、12:
DB
二、填空题
13.1614.115.2016.
三、解答题
17.解答:
.
(1)由,在上的值域为.
即最小值为,最大值为,则,得.
综上:
的取值范围是.
(2)由题意在上单调,得.
由,得或,,
或,,又,所以或;
当时,,在上单调递增,符合题意,
当时,,在上不单调,不符合题意,
综上:
.
18.解答
(1)画出关于的散点图,如图:
关于的散点图,如图.
根据散点图可判断模型②更适宜作为回归方程类型.
(2)对于模型①:
设,则,
其中,,
所以,
当时,估计温度为.
对于模型②:
,
其中,.
所以,
当时,估计温度为.
(3)因为,所以模型②的拟合效果更好.
19.
(1)延长,,交于点.
及棱台性质得,所以.
因为平面平面平面.
所以平面,平面,所以,
又,所以,,所以平面.
(2)由于,由知,,所以,且,
以为坐标原点,,,为,,轴的正方向建立空间直角坐标系,如图:
则,,,,.
设.
设平面的法向量为,
由,可取.
是平面的个法向量,
由二面角的大小为得:
.
所以为中点,,,
设与平面所成角为,则.
所以与平面所成角为正弦值为.
20.解
(1)由题意垂直平分,所以
所以的轨迹为以,为焦点、长轴长为的椭圆,焦距,所以,
所以动点的轨迹为曲线的方程是:
.
(2),,设的方程是,设,,,
由得,
所以,,.
因为在轴上方,∴,.
直线、的方程分别是:
,,
联立得:
.
∴动点恒在定直线:
上.
21.解
(1)由已知,函数的定义域为,
由在定义域上单调递减,则恒成立,
,所以,
当时,,单调递增,当时,,单调递减.
即在内单调递增,内单调递减,
所以.
(2)当时,,∴恒成立,
当时,由
(1)知,在内单调递减,
(i)若,
由
(1)知,在内单调递减,
则,无零点,不符合题意;
(ii)若,
设,,
所以,又,
所以存在,使得,即,①
且当故当时,有,当时,有,
则在内单调递增,内单调递减,
由于恒成立,且有唯一零点,∴.②
结合①,②知,③
联立得
设,则,,
且当时,,所以在上有唯一零点.
即满足方程组③的唯一,且.
设,,所以在上单调递增,
,
即满足方程组③的,所以.
综上所述,存在即,使得恒成立且有唯一零点.
22.解答
(1)曲线:
,消去参数,得,.①
曲线:
,②
联立①②,消去可得:
或(舍去),
所以.
(2)曲线:
,是以为圆心,半径的圆.
设圆心为,点,到直线的距离分别为,,
则,,
所以的最小值为.
23.解答
(1)当时,,
∴在单调递减,在上单调递增,
∴时,取得最小值.
(2)
①当时,,符合题意:
②当时,,的解集为,
所以,从而,得,
③当时,,的解集为,
所以,从而或,得,
综上:
符合题意要求的实数的取值范围是.
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