全等三角形中辅助线的添加.docx
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全等三角形中辅助线的添加
全等三角形中辅助线的添加
一.教学内容:
全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。
二.知识要点:
1、添加辅助线的方法和语言表述
(1)作线段:
连接……;
(2)作平行线:
过点……作……∥……;
(3)作垂线(作高):
过点……作……⊥……,垂足为……;
(4)作中线:
取……中点……,连接……;
(5)延长并截取线段:
延长……使……等于……;
(6)截取等长线段:
在……上截取……,使……等于……;
(7)作角平分线:
作……平分……;作角……等于已知角……;
(8)作一个角等于已知角:
作角……等于……。
2、全等三角形中的基本图形的构造与运用
常用的辅助线的添加方法:
(1)倍长中线(或类中线)法:
若遇到三角形的中线或类中线(与中点有关的线段),通常考虑倍长中线或类中线,构造全等三角形。
(2)截长补短法:
若遇到证明线段的和差倍分关系时,通常考虑截长补短法,构造全等三角形。
①截长:
在较长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条;②补短:
将一条较短线段延长,延长部分等于另一条较短线段,然后证明新线段等于较长线段;或延长一条较短线段等于较长线段,然后证明延长部分等于另一条较短线段。
(3)一线三等角问题(“K”字图、弦图、三垂图):
两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。
(4)角平分线、中垂线法:
以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。
(5)角含半角、等腰三角形的(绕顶点、绕斜边中点)旋转重合法:
用旋转构造三角形全等。
(6)构造特殊三角形:
主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。
三、基本模型:
(1)
△ABC中AD是BC边中线
方式1:
延长AD到E,使DE=AD,连接BE
方式2:
间接倍长,作CF⊥AD于F,作BE⊥AD的延长线于E,连接BE
方式3:
延长MD到N,使DN=MD,连接CD
(2)
由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出
BC=BE+ED=AB+CDED=AE-CDEC=AB-CD
(3)角分线,分两边,对称全等要记全
角分线+垂线,等腰三角形必呈现(三线合一)
(4)
①旋转:
方法:
延长其中一个补角的线段(延长CD到E,使ED=BM,连AE或延长CB到F,使FB=DN,连AF)
结论:
①MN=BM+DN②③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM
②翻折:
思路:
分别将△ABM和△ADN以AM和AN为对称轴翻折,但一定要证明M、P、N三点共线.(∠B+∠D=且AB=AD)
(5)手拉手模型
①△ABE和△ACF均为等边三角形
结论:
(1)△ABF≌△AEC;
(2)∠B0E=∠BAE=60°(“八字型”模型证明);(3)OA平分∠EOF
拓展:
条件:
△ABC和△CDE均为等边三角形
结论:
(1)、AD=BE
(2)、∠ACB=∠AOB(3)、△PCQ为等边三角形
(4)、PQ∥AE(5)、AP=BQ(6)、CO平分∠AOE(7)、OA=OB+OC
(8)、OE=OC+OD((7),(8)需构造等边三角形证明)
②△ABD和△ACE均为等腰直角三角形
结论:
(1)、BE=CD
(2)BE⊥CD
③ABEF和ACHD均为正方形
结论:
(1)、BD⊥CF
(2)、BD=CF
变形一:
ABEF和ACHD均为正方形,AS⊥BC交FD于T,
求证:
①T为FD的中点.②
方法一:
方法二:
方法三:
变形二:
ABEF和ACHD均为正方形,M为FD的中点,求证:
AN⊥BC
④当以AB、AC为边构造正多边形时,总有:
∠1=∠2=.
四、典型例题:
考点一:
倍长中线(或类中线)法:
核心母题已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_________.
练习:
1、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.
2、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:
AD平分∠BAE.
3、如图,CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线,且∠ACB=∠ABC,求证:
CD=2CE。
考点二:
截长补短法:
核心母题如图,AD∥BC,EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA,CD过点E,求证:
AB=AD+BC.
练习:
1、在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q,求证:
AB+BP=BQ+AQ。
2、如图,在中,,AD,CE分别为的平分线,求证:
AC=AE+CD
3、如图,在△ABC中,AB=AC,D是△ABC外一点,且∠ABD=60°,∠ACD=60°
求证:
BD+DC=AB
4、已知:
如图在△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点,∠ABD=60°,∠ADB=90°-∠BDC,求证:
AB=BD+DC。
考点三:
一线三等角问题(“K”字图)
核心母题已知:
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是BC边上一点,∠ADE=45°,AD=DE,求证:
BD=EC.
练习:
1、已知:
如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.求证:
AE平分∠BAD.
2、两个全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置,E,A,C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC.试判断△EMC的形状,并说明理由.
3、如图所示,AE⊥AB,BC⊥CD且AB=AE,BC=CD,F、A、G、C、H在同一直线上,如按照图中所标注的数据及符号,则图中实线所围成的图形面积是?
考点四:
角平分线、中垂线法
核心母题
1、在中,,是的平分线.是上任意一点.
求证:
.
2、已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边.∠B的角平分线交AC于D,过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,求证:
BD=2CE.
3、如图,△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D,F为垂足,DE⊥AB于E,且AB>AC,求证:
BE-AC=AE
考点五:
角含半角、等腰三角形的(绕顶点)旋转重合法
核心母题如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的点,∠EAF=45°,求证:
EF=BE+DF.
练习
1、如图所示,在五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°求证:
AD平分∠CDE.
2、如图,已知AB=CD=AE=BC+DE=2,∠ABC=∠AED=90°,求五边形ABCDE的面积.
3、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,且PA=3,PC=2,PB=1.求∠BPC的度数
考点六:
构造特殊三角形
核心母题如图,在△ABC中,AD交边BC于点D,∠BAD=15°,∠ADC=4∠BAD,DC=2BD.
(1)求∠B的度数;
(2)求证:
∠CAD=∠B.
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