天津市六校学年高二上学期期末联考数学理试题Word版含答案.docx
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天津市六校学年高二上学期期末联考数学理试题Word版含答案
天津市六校2018-2019学年上学期期末联考
高二数学(理)试题
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目涂写在答题卡上。
2.选出答案后,用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再填涂。
一、选择题:
本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目的要求.
(1)直线
的倾斜角为().
(A)
(B)
(C)
(D)
(2)命题“
,
”的否定是().
(A)
,
(B)
,
(C)
,
(D)
,
(3)已知空间两点
,
,则
两点间的距离为().
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)抛物线
(
)上一点
到焦点的距离为
,若点
的横坐标为
,则抛物线方程为().
(A)
(B)
(C)
(D)
(5)一个三棱柱的三视图如图所示,正视图为直角三角形,
俯视图、侧视图均为矩形,若该三棱柱的各个顶点均
在同一个球面上,则这个球的表面积为().
(A)
(B)
(C)
(D)
(6)设
是空间一点,
是空间三条直线,
是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不成立的是().
(A)当
且
,
时,若
,
,则
(B)当
且
,
时,若
,
,则
(C)当
时,若
,则
(D)当
,且
时,若
,则
(7)下列四个条件中,
是
的充分不必要条件的是().
(A)有非零向量
,
,直线
,直线
,
,
(B)
,
直线
与
平行
(C)
,
为双曲线
(D)
曲线
过原点
(8)有如下3个命题;
①双曲线
上任意一点
到两条渐近线的距离乘积是定值
②双曲线
与
的离心率分别是
,则
是定值
③过抛物线
的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是
,则直线
过定点
其中正确的命题有().
(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题纸相应位置上.
(9)两条平行线
与
间的距离为______.
(10)已知圆的方程是
,过点
的直线
被该圆截得的弦长最短,则直线
的方程是______.
(11)直线
关于直线
对称的直线方程为____________.
(12)经过坐标原点和点
,并且圆心在直线
上的圆的方程为______.
(13)已知双曲线
的左焦点为
,离心率为
.若经过
和
两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,
则双曲线的方程为____________.
(14)如图,直角梯形
中,
于点
.已知
.若将直角梯形绕直
线
旋转一周,则图中阴影部分所得旋转体的体积为______.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15)(本小题满分13分)
已知两点
,
,圆
以线段
为直径.
(Ⅰ)求圆
的方程;
(Ⅱ)已知直线
:
,
①若直线
与圆
相切,求直线
的方程;
②若直线
与圆
相交于
不同的两点,是否存在横坐标为
的点
,使点
恰好为线段
的中点,若不存在说明理由,若存在求出
值.
(16)(本小题满分13分)
已知椭圆
.
(Ⅰ)求椭圆
的长轴和短轴的长,离心率
,左焦点
;
(Ⅱ)经过椭圆
的左焦点
作直线
,直线
与椭圆
相交于
两点,若
,求直线
的方程.
(17)(本小题满分13分)
如图,四棱锥
中,底面
为正方形,且
,
为
中点.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)求异面直线
与
所成角的正切值;
(Ⅲ)求
与底面
所成角的余弦值.
(18)(本小题满分13分)
在长方体
中,已知棱
,连结
,过点
作
的垂线,
垂足为
,交
于
.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求证:
平面
平面
;
(Ⅲ)求二面角
的正弦值.
(19)(本小题满分14分)
已知椭圆
:
过点
,其上顶点
与左右焦点
构成等腰三角形,且
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)以点
为焦点的抛物线
:
上有一动点
,抛物线
在点
处的切线
与椭圆
交于
两点,线段
的中点为
,直线
(
为坐标原点)与过点
且垂直于
轴的直线交于点
,问:
当
时,
面积是否存在最大值?
若存在,求出最大值,若不存在说明理由.
(20)(本小题满分14分)
如图,四边形
是边长为
的正方形,
平面
,
平面
,且
,
为
中点.
(Ⅰ)求四棱锥
的体积;
(Ⅱ)求点
到平面
的距离;
(Ⅲ)在线段
上,是否存在点
,使得
平面
?
若存在,求线段
的长,若不存在,请说明理由.
天津市六校2018-2019学年高二上学期期末联考
数学(理)试题参考答案
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,满分40分.
(1)C提示:
,故
(2)D
(3)B提示:
,
(4)B提示:
,得.
,
(5)A提示:
可将三棱柱补成一个长、宽、高分别是12,8,6的长方体,则该长方体的外接球的直径
,于是球的表面积等于
(6)C
(7)B提示:
选项A,C中
是
的必要不充分条件;选项
中
是
的充分必要条件;选项B满足条件
(8)D提示:
①中的两个距离的乘积是
;②
;③直线
过定点
,三个命题都正确.
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
(9)
提示:
.
(10)
提示:
已知圆的圆心为原点
,所求直线与
垂直,
,于是
.
(11)
提示:
直线
上任意一点
关于
的对称点
一定在对称直线上.
(12)
提示:
原点
和点
的垂直平分线为
,由方程组
解得圆心
,
.
(13)
提示:
离心率为
则
过
,
两点的直线斜率为
,得
.
(14)
提示:
圆台体积
减去圆柱体积
.也可利用割补法将圆台补成一个大圆锥,大圆锥的体积
,小圆锥的体积
,圆柱的体积
,则所求的旋转体的体积
.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15)(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)圆的直径
,故半径为
.
圆心坐标为
,
的中点
,
所以圆
的方程为
.……………………………5分
(Ⅱ)①
直线
:
,若直线
与圆
相切,
则圆心到直线
的距离
,解得
或
,…………………8分
所以直线
的方程为
或
.…………………9分
②由方程组
消去
,整理得
.………………………10分
若直线
与圆
相交于
不同的两点,则
,
得
或
.…………………………………………11分
设
,则
.
若
,解得
.…………………………………12分
所以存在横坐标为
的点
,使点
恰好为线段
的中点,此时
.……13分
(16)(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)由椭圆
知
,则
,故
.…………2分
所以椭圆
的长轴
,短轴
,离心率
,
左焦点
.…………………………5分
(Ⅱ)设直线
方程
,由方程组
消去
,整理得
.……………………………………6分
设
,
则
,
.……………………………8分
又因为
,且已知
,
所以
.
整理化简后得
.
解得
,
,……………………………11分
所以直线
的方程:
或
.
即
或
.…………………………………………13分
(17)(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)因为底面
为正方形,连结
交
于点
,
则
为
的中点.连结
…………………………2分
因为
为
的中点,故
.…………………3分
又
平面
,
平面
所以
平面
.……………………4分
(Ⅱ)由于
,故
为异面直线
与
所成角.…………………5分
因为
,故
.又
,
所以
平面
.又
平面
,故
.………………………6分
所以三角形
为直角三角形,
,
,………………7分
.
即异面直线
与
所成角的正切值为
.……………………………8分
(Ⅲ)取
中点
则
,且
.
又由
,可得
平面
,所以
平面
.
故
为
与底面
所成的角.…………………………………12分
又
,
,
,
所以
与底面
所成角的余弦值为
.……………………………13分
(18)(本小题满分13分)
(Ⅰ)因为长方体
,
故,
平面
又
平面
所以,
.………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
,由已知
所以
平面
.……………………………6分
又
平面
,所以,平面
平面
.………………………8分
(Ⅲ)因为
平面
,故
所以,
为二面角
的平面角.……………………………11分
因为
,
故
.
即二面角
的正弦值为
.………………………………13分
(19)(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)由已知得①
和②
,解得
,
.
故椭圆
的方程为
.……………………………………4分
(Ⅱ)抛物线
的焦点
则其方程为
.………………………5分
于是抛物线上点
的坐标是
,设在点
处的切线
的斜率为
,则切线方程为
代入
,得
.
因为与抛物线相切,故
,得
…………………6分
故切线
的方程为
,即
.
由方程组
消去
,
整理后得
.………………………………7分
由已知直线
与椭圆交于两点,则
.
解得
,其中
是不合题意的.
所以
或
.………………………8分
设
,则
.…………………………9分
代入
的方程得
.
故直线
的方程为
,即
.…………………………10分
当
时,
,即点
.…………………………11分
面积
.……………………12分
显然
是关于
单调递增,又
,
所以当
时,
面积最大值为
.………………………………14分
(20)(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)因为
平面
,
平面
故平面
平面
.
连接
,使
与
交于点
,四边形
是正方形,所以
.
则
平面
.………………………………2分
所以,四棱锥
的体积
.
又
.
由
平面
,
平面
,得
故平行四边形
为矩形,且
.
所以四棱锥
的体积为
.………………………4分
(Ⅱ)如图以点
为坐标原点,以
的方向为
轴,
轴,
轴的正方向建立空间直角坐标系,
依题意
.………6分
设平面
的一个法向量为
,
,
,
于是
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