平面几何探究试地的题目.docx
- 文档编号:720082
- 上传时间:2022-10-12
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:388.25KB
平面几何探究试地的题目.docx
《平面几何探究试地的题目.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《平面几何探究试地的题目.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
平面几何探究试地的题目
几何探究试题
1.我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质,如关于线段比.面积比就有一些“漂亮”结论,利用这些性质可以解决三角形中的若干问题.请你利用重心的概念完成如下问题:
(1)若O是△ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明:
;
(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2),O是AD上一点,且满足,试判断O是△ABC的重心吗?
如果是,请证明;如果不是,请说明理由;
解答:
(1)证明:
如答图1所示,连接CO并延长,交AB于点E.
∵点O是△ABC的重心,∴CE是中线,点E是AB的中点.
∴DE是中位线,∴DE∥AC,且DE=AC.
∵DE∥AC,∴△AOC∽△DOE,∴=2,
∵AD=AO+OD,∴.
(2)答:
点O是△ABC的重心.
证明:
如答图2,作△ABC的中线CE,与AD交于点Q,则点Q为△ABC的重心.
由
(1)可知,=,而,
∴点Q与点O重合(是同一个点),
∴点O是△ABC的重心.
2.(自贡市)将两块全等的三角板如图①摆放,其中°,°.
(1)将图①中的顺时针旋转45°得图②,点是与的交点,点Q是与BC的交点,求证:
;
(2)在图②中,若,则等于多少?
(3)如图③,在上取一点E,连接、,设,当时,求面积的最大值.
(1)证明:
°,°°(1′)
又,(ASA)(2′)(3′)
(2)作于,°,(4′)
°°(5′)(6′)
又,(7′)
(3)解:
°,°°(8′)
由旋转的性质可知∽(9′)
设(10′)
在中,°
(11′)
时(12′)
3.(2013•衢州)【提出问题】
(1)如图1,在等边△ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等边△AMN,连结CN.求证:
∠ABC=∠ACN.
【类比探究】
(2)如图2,在等边△ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,
(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?
请说明理由.
【拓展延伸】
(3)如图3,在等腰△ABC中,BA=BC,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN=∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由.
(1)证明:
∵△ABC、△AMN是等边三角形,
∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,
∵在△BAM和△CAN中,
∴△BAM≌△CAN(SAS),
∴∠ABC=∠ACN.
(2)解:
结论∠ABC=∠ACN仍成立.
理由如下:
∵△ABC、△AMN是等边三角形,
∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,
∵在△BAM和△CAN中,
∴△BAM≌△CAN(SAS),
∴∠ABC=∠ACN.
(3)解:
∠ABC=∠ACN.
理由如下:
∵BA=BC,MA=MN,顶角∠ABC=∠AMN,
∴底角∠BAC=∠MAN,
∴△ABC∽△AMN,
∴=,
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC,∠CAN=∠MAN﹣∠MAC,
∴∠BAM=∠CAN,
∴△BAM∽△CAN,
∴∠ABC=∠ACN.
4.(2013•烟台)已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.
(1)如图1,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是 AE∥BF ,QE与QF的数量关系式 QE=QF ;
(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;
(3)如图3,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时
(2)中的结论是否成立?
请画出图形并给予证明.
解:
(1)AE∥BF,QE=QF,
理由是:
如图1,∵Q为AB中点,∴AQ=BQ,
∵BF⊥CP,AE⊥CP,∴BF∥AE,∠BFQ=∠AEQ,
在△BFQ和△AEQ中
∴△BFQ≌△AEQ(AAS),∴QE=QF,故答案为:
AE∥BF,QE=QF.
(2)QE=QF,
证明:
如图2,延长FQ交AE于D,∵AE∥BF,∴∠QAD=∠FBQ,
在△FBQ和△DAQ中
∴△FBQ≌△DAQ(ASA),∴QF=QD,
∵AE⊥CP,
∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线,
∴QE=QF=QD,即QE=QF.
(3)
(2)中的结论仍然成立,
证明:
如图3,延长EQ、FB交于D,
∵AE∥BF,∴∠1=∠D,
在△AQE和△BQD中
,∴△AQE≌△BQD(AAS),∴QE=QD,∵BF⊥CP,∴FQ是斜边DE上的中线,∴QE=QF.
点评:
本题考查了全等三角形的性质和判定,直角三角形斜边上中线性质的应用,注意:
①全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,②全等三角形的性质是:
全等三角形的对应边相等,对应角相等.
5.(潍坊市)如图1所示,将一个边长为2的正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起,构成一个大的长方形.现将小长方形绕点顺时针旋转至,旋转角为.
(1)当点恰好落在边上时,求旋转角的值;
(2)如图2,为的中点,且0°<<90°,求证:
;
(3)小长方形绕点顺时针旋转一周的过程中,与能否全等?
若能,直接写出旋转角的值;若不能,说明理由.
答案:
(1)∵DC//EF,∴∠DCD′=∠CD′E=∠CD′E=α.∴sinα=,∴α=30°
(2)∵G为BC中点,∴GC=CE′=CE=1,
∵∠D′CG=∠DCG+∠DCD′=90°+α,∠DCE′=∠D′CE′+∠DCD′=90°+α,
∴∠D′CG=∠DCE′又∵CD′=CD,∴△GCD′≌△E′CD,∴GD′=E′D
(3)能.α=135°或α=315°
考点:
图形的旋转、三角函数、解直角三角形、全等三角形的判定
点评:
本题依据学生的认知规律,从简单特殊的问题入手,将问题向一般进行拓展、变式,通过操作、观察、计算、猜想等获得结论.此类问题综合性较强,要完成本题学生需要有较强的类比、迁移、分析、变形应用、综合、推理和探究能力.
6.(黑龙江龙东地区)正方形ABCD的顶点A在直线MN上,点O是对角线AC、BD的交点,过点O作OE⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于点F.
(1)如图1,当O、B两点均在直线MN上方时,易证:
AF+BF=2OE(不需证明)
(2)当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时,线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系?
请直接写出你的猜想,并选择一种情况给予证明.
分析:
(1)过点B作BG⊥OE于G,可得四边形BGEF是矩形,根据矩形的对边相等可得EF=BG,BF=GE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB,∠AOB=90°,再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG,然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等,根据全等三角形对应边相等可得OG=AE,OE=BG,再根据AF﹣EF=AE,整理即可得证;
(2)选择图2,过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G,可得四边形BGEF是矩形,根据矩形的对边相等可得EF=BG,BF=GE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB,∠AOB=90°,再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG,然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等,根据全等三角形对应边相等可得OG=AE,OE=BG,再根据AF﹣EF=AE,整理即可得证;选择图3同理可证.
解答:
(1)证明:
如图,过点B作BG⊥OE于G,则四边形BGEF是矩形,
∴EF=BG,BF=GE,在正方形ABCD中,OA=OB,∠AOB=90°,∵BG⊥OE,∴∠OBG+∠BOE=90°,
又∵∠AOE+∠BOE=90°,∴∠AOE=∠OBG,
∵在△AOE和△OBG中,
,
∴△AOE≌△OBG(AAS),∴OG=AE,OE=BG,
∵AF﹣EF=AE,EF=BG=OE,AE=OG=OE﹣GE=OE﹣BF,
∴AF﹣OE=OE﹣BF,∴AF+BF=2OE;
(2)图2结论:
AF﹣BF=2OE,图3结论:
AF﹣BF=2OE.
对图2证明:
过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G,
则四边形BGEF是矩形,∴EF=BG,BF=GE,
在正方形ABCD中,OA=OB,∠AOB=90°,
∵BG⊥OE,∴∠OBG+∠BOE=90°,
又∵∠AOE+∠BOE=90°,∴∠AOE=∠OBG,
∵在△AOE和△OBG中,
,
∴△AOE≌△OBG(AAS),∴OG=AE,OE=BG,
∵AF﹣EF=AE,EF=BG=OE,AE=OG=OE+GE=OE+BF,
∴AF﹣OE=OE+BF,∴AF﹣BF=2OE;
若选图3,其证明方法同上.
点评:
本题考查了正方形的性质,矩形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,同角的余角相等的性质,作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键,也是本题的难点.
7.(•绥化)已知,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,点D为直线BC上一动点(点D不与点B,C重合).以AD为边做正方形ADEF,连接CF
(1)如图1,当点D在线段BC上时.求证CF+CD=BC;
(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;
(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A,F分别在直线BC的两侧,其他条件不变;
①请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;
②若正方形ADEF的边长为2,对角线AE,DF相交于点O,连接OC.求OC的长度.
证明:
(1)∵∠BAC=90°,∠ABC=45°,∴∠ACB=∠ABC=45°,
∴AB=AC,∵四边形ADEF是正方形,
∴AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠BAD=90°﹣∠DAC,∠CAF=90°﹣∠DAC,∴∠BAD=∠CAF,
则在△BAD和△CAF中,
,∴△BAD≌△CAF(SAS),∴BD=CF,∵BD+CD=BC,∴CF+CD=BC;
(2)CF﹣CD=BC;
(3)①CD﹣CF=BC②∵∠BAC=90°,∠ABC=45°,∴∠ACB=∠ABC=45°,
∴AB=AC,∵四边形ADEF是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠BAD=90°﹣∠BAF,∠CAF=90°﹣∠BAF,∴∠BAD=∠CAF,
∵在△BAD和△CAF中,
∴△BAD≌△CAF(SAS),∴∠ACF=∠ABD,∵∠ABC=45°,∴∠ABD=135°,
∴∠ACF=∠ABD=135°,∴∠FCD=90°,∴△FCD是直角三角形.
∵正方形ADEF的边长为2且对角线AE、DF相交于点O.
∴DF=AD=4,O为DF中点.∴OC=DF=2.
点评:
本题考查了正方形与全等三角形的判定与性质的综合应用,证明三角形全等是关键.
8.(2013•本溪)在△ABC中,∠ACB=90°,∠A<45°,点O为AB中点,一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合,一边OE经过点C,另一边OD与AC交于点M.
(1)如图1,当∠A=30°时,求证:
MC2=AM2+BC2;
(2)如图2,当∠A≠30°时,
(1)中的结论是否成立?
如果成立,请说明理由;如果不成立,请写出你认为正确的结论,并说明理由;
(3)将三角形ODE绕点O旋转,若直线OD与直线AC相交于点M,直线OE与直线BC相交于点N,连接MN,则MN2=AM2+BN2成立吗?
答:
(填“成立”或“不成立”)
分析:
(1)过A作AF⊥AC交CO延长线于F,连接
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 平面几何 探究 题目
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)