第三章 章末复习.docx

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第三章章末复习

章末复习

学习目标

　1.梳理本章知识，构建知识网络.2.进一步理解频率与概率的关系.3.巩固随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.4.能区分古典概型与几何概型，并能求相应概率．

1．频率与概率

频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多数次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率．

2．求较复杂概率的常用方法

（1）将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；

（2）先求其对立事件的概率，然后再应用公式P（A）＝1－P（

）求解．

3．古典概型概率的计算

关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，再利用公式P（A）＝

求解．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏．

4．几何概型事件概率的计算

关键是求得事件A所占区域和整个区域的几何测度，然后代入公式求解．

1．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．（　√　）

2．“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”．（　×　）

3．几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．（　√　）

题型一　频率与概率

例1　对一批U盘进行抽检，结果如下表：

抽出件数a

50

100

200

300

400

500

次品件数b

3

4

5

5

8

9

次品频率

（1）计算表中次品的频率；

（2）从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？

（3）为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2000个U盘，至少需进货多少个U盘？

解　

（1）表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.

（2）当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.

（3）设需要进货x个U盘，为保证其中有2000个正品U盘，则x（1－0.02）≥2000，因为x是正整数，

所以x≥2041，即至少需进货2041个U盘．

反思感悟　概率是个常数．但除了几类概型，概率并不易知，故可用频率来估计．

跟踪训练1　某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：

射击次数n

10

20

50

100

200

500

击中靶心次数m

8

19

44

92

178

455

击中靶心的频率

0.8

0.95

0.88

0.92

0.89

0.91

（1）该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？

（2）假如该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？

（3）假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？

（4）假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？

解　

（1）由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.

（2）击中靶心的次数大约为300×0.9＝270.

（3）由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心．

（4）不一定．

题型二　互斥事件与对立事件

例2　甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．

（1）甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？

（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

解　把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：

（x1，p1），（x1，p2），（x2，p1），（x2，p2），（x3，p1），（x3，p2），共6种；

“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：

（p1，x1），（p1，x2），（p1，x3），（p2，x1），（p2，x2），（p2，x3），共6种；

“甲、乙都抽到选择题”的情况有：

（x1，x2），（x1，x3），（x2，x1），（x2，x3），（x3，x1），（x3，x2），共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：

（p1，p2），（p2，p1），共2种．

因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20.

（1）“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为

＝

，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为

＝

，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为

＋

＝

.

（2）“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为

＝

，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－

＝

.

反思感悟　在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解．

跟踪训练2　某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.

（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？

（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？

解　

（1）设事件“电话响第k声时被接”为Ak（k∈N*），那么事件Ak之间彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，根据互斥事件概率加法公式，得P（A）＝P（A1∪A2∪A3∪A4）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＋P（A4）＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.

（2）事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为B.根据对立事件的概率公式，得P（B）＝1－P（A）＝1－0.95＝0.05.

题型三　古典概型

例3　甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．

（1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；

（2）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．

解　甲校两名男教师分别用A，B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两名女教师分别用E，F表示．

（1）从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为（A，D），（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），共9种．

从中选出的2名教师性别相同的结果有

（A，D），（B，D），（C，E），（C，F），共4种，

所以选出的2名教师性别相同的概率P＝

.

（2）从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15种．

从中选出的2名教师来自同一学校的结果有（A，B），（A，C），（B，C），（D，E），（D，F），（E，F），共6种．

所以选出的2名教师来自同一学校的概率P＝

＝

.

反思感悟　解决古典概型问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．

跟踪训练3　甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．

（1）若用A表示和为6的事件，求P（A）；

（2）现连玩三次，若用B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件，为什么？

（3）这种游戏规则公平吗？

试说明理由．

解　

（1）基本事件个数与点集S＝{（x，y）|x∈N，y∈N，1≤x≤5，1≤y≤5}中的元素一一对应，所以S中点的总数为5×5＝25（个），所以基本事件总数n＝25.

事件A包含的基本事件有（1,5），（2,4），（3,3），（4,2），（5,1），共有5个，故P（A）＝

＝

.

（2）B与C不是互斥事件．因为B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次时，B，C同时发生．

（3）这种游戏规则不公平．由

（1）知和为偶数的基本事件有13个：

（1,1），（1,3），（1,5），（2,2），（2,4），（3,1），（3,3），（3,5），（4,2），（4,4），（5,1），（5,3），（5,5），所以甲赢的概率为

，乙赢的概率为

，所以这种游戏规则不公平．

题型四　几何概型

例4　在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．

答案　

解析　由题意，得

解得

所以所求概率P＝

＝

.

反思感悟　对于概率问题的计算，首先应判断概率模型．若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特点，则此试验为几何概型．由于其结果的无限性，概率就不能应用P（A）＝

求解，故需转化为几何度量（如长度、面积、体积等）的比值求解．

跟踪训练4　如图所示的大正方形的面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为（　　）

A.

B.

C.

D.

答案　D

解析　设阴影小正方形的边长为x，

则在直角三角形中，有22＋（x＋2）2＝（

）2，

解得x＝1或x＝－5（舍去），

∴阴影部分的面积为1，∴飞镖落在阴影部分的概率为

.

数形结合思想求概率

典例　甲、乙两艘轮船都要停靠在一个不能同时停泊两艘船的泊位上，它们可以在一昼夜的任意时刻到达，设甲、乙两艘船停靠泊位的时间分别是3h和5h，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．

解　以甲船到达泊位的时刻x、乙船到达泊位的时刻y为横、纵轴建立平面直角坐标系，如图所示，由题意可得，0≤x≤24且0≤y≤24.

设事件A＝{有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间}，事件B＝{甲船停靠泊位时必须等待一段时间}，事件C＝{乙船停靠泊位时必须等待一段时间}，则A＝B∪C，并且事件B与C是互斥事件，所以

P（A）＝P（B∪C）＝P（B）＋P（C）．

而甲船停靠泊位时必须等待一段时间需满足的条件是0

则S正方形＝242＝576，

S阴影＝242－

×（24－3）2－

×（24－5）2＝175，

所以由几何概型概率公式得P（A）＝

，所以有一艘船停靠泊位时等待一段时间的概率为

.

[素养评析]　

（1）数形结合思想主要包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，在本章中，主要是借助形的生动性和直观性来阐明基本事件之间的联系．数形结合思想在本章中的应用有：

借助树状图列举基本事件，利用Venn图理解各种事件之间的关系；利用一维图形求线型几何概型的概率；利用二维图形求面积型几何概型的概率；利用三维图形求体积型几何概型的概率等．

（2）直观想象能提升学生数形结合的能力，形成数学直观，是学生数学核心素养的直接体现.

1．下列事件：

①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a，b都不为0，但a2＋b2＝0；④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温.

其中为随机事件的是（　　）

A．①②③B．①②④

C．①③④D．②③④

答案　B

解析　任取三条线段，这三条线段可能组成直角三角形，也可能组不成直角三角形，故①为随机事件；

从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，三条射线可能不相交，交于一点、交于两点、交于三点，故②为随机事件；若实数a，b都不为0，则a2＋b2一定不等于0，故③为不可能事件；由于明年12月28日还未到来，故明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温，也可能低于今年12月28日的最高气温，还可能等于今年12月28日的最高气温，故④为随机事件．故选B.

2．不透明袋子中放有大小相同的5个球，球上分别标有号码1,2,3,4,5，若从袋中任取3个球，则这3个球号码之和为5的倍数的概率为（　　）

A.

B.

C.

D.

答案　B

解析　基本事件有（1,2,3），（1,2,4），（1,2,5），（1,3,4），（1,3,5），（1,4,5），（2,3,4），（2,3,5），（2,4,5），（3,4,5），共10种，满足要求的基本事件有（1,4,5），（2,3,5），

共2种，故所求概率为

.故选B.

3．任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是（　　）

A.

B.

C.

D.

答案　C

解析　三位正整数有100～999，共900个，而满足log2N为正整数的N有27，28，29，共3个，故所求事件的概率为

＝

.

4．已知a，b∈（0,1），则函数f（x）＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞）上是增函数的概率为________．

答案　

解析　函数f（x）在[1，＋∞）上是增函数，

由二次函数的单调性可知－

＝

≤1，即a≥2b.

由题意得

即图中阴影部分．

∴函数f（x）在区间[1，＋∞）上是增函数的概率为

＝

.

5．小明爱好玩飞镖，现有图形构成如图所示的两个边长为2的正方形ABCD和OPQR，如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕点O旋转，若小明每次投镖都能射中图形，则小明射中阴影部分的概率是________．

答案　

解析　连接OA，OB，设OR交BC于M，OP交AB于N.因为△OBM≌△OAN，所以阴影部分的面积等于△OAB的面积，其面积为1.整个图形的面积为8－1＝7.

所以小明射中阴影部分的概率是

.

1．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．若事件A1，A2，A3，…，An彼此互斥，则P（A1∪A2∪…∪An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）．

2．关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题

（1）本试验是不是等可能的？

（2）本试验的基本事件有多少个？

（3）事件A是什么，它包含多少个基本事件？

只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．

3．几何概型的试验中，事件A的概率P（A）只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关．求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．

4．关于随机数与随机模拟试验问题

随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法，用计算器或计算机模拟试验，首先要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的量，我们可以从以下两个方面考虑：

（1）确定产生随机数组数，如长度型、角度型（一维）一组，面积型（二维）二组．

（2）由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围，由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式．