整理二次函数与四边形面积的综合.docx

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整理二次函数与四边形面积的综合

二次函数与四边形、面积的综合

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专题三二次函数与四边形、面积的综合

一、技巧提炼

1．与平行四边形综合

问题

问题

作图

求点坐标

已知三个点

已知平面上不共线三个点A,B，C，求一点P，使得A,B，C，P四个点组成平行四边形

连接AB，AC,BC,分别过点A，B，C作对边的平行线，三条平行线的交点即为所有点P

①分别求出直线P1P2、P2P3、P1P3的解析式,再求出交点即为P点；

②可由点的平移来求坐标

已知两个点

已知平面上两个点A、B，求两P、Q,使得A，B,P，Q四个点组成平行四边形（题目中P，Q的位置有其体限制）

分两种价况讨论:

①若AB为平行四边形的边，将AB上下左右平移，确定P、Q的位置；

②若AB为平行四边形的对角线，取AB中点，旋转经过中点的直线确定P，Q的位置

①通过点的平移，构造全等三角形来求坐标；

②由中点坐标公式可推出:

坐标系中□ABCD的四个点A、B、C、D的坐标满足xA＋xC＝xB＋xD;

yA＋yC＝yB＋yD

2．与梯形的综合

问题

作图

求点坐标

已知平面上不共线三个点A，B，C,在直线l上求一点P，使得A、B、C、p四个点组成梯形

连接AB、AC、BC，分别过点A、B、C作对边的平行线，三条平行线与直线l的交点即为所有的P点

求出平行线的解析式，再求出它们与直线l的交点即为点P．注：

要验证平行的一组对边是否相等，从而于作除平行四边形的情况

3．与面积的综合

（1）面积及面积最值的求法

问题

作法

割补法

已知坐标系中△ABC的三个顶点坐标，求其面积

“补”

补成矩形DBFE（或梯形DBCE、ABFE）

“补”

割成△ABD与△ACD

即

×铅垂高×水平宽

转化法

己知BC平行DE，求△ABC的面积

连接CD或BE，

或者

平移法

己知抛物线l和l上的两点，A、B在直线AB下方的l上．求一点P，使△ABP的面积最大

将AB向下平移至与抛物线只有一个交点时，交点即为点P，设平移后的直线为a,联立l与a的解析式，即可求点P坐标和三角形而积

（2）面积关系即面积定值

背景

问题

作图

求法

如图，平而直角坐标系中，抛物线l交x轴于点A、B．与y轴交于点D．点C在x轴下方的图像上．AC交y轴于点M

在抛物线上求一点P，使得

将AC平移至直线a和b的位置，a，b交y轴于E、F，过M作MG⊥a于G，GH⊥b于H，由MG＝MH可知ME＝MF，于是a，b与l的交点均为点P

求直线AC解析式，一再求直线a的解析式，由ME＝MF确定b的解析式，再分别求直线a,b与l的交点坐标P

在抛物线上求一点P，使得

过点C作AB平行线与l的交点即为点P；取AB中点E，直线CE与l的交点即为点P

（由AE＝BE可证△AGE≌△BHE，于是高AG＝BH）

在抛物线上求一点P，使得

（k为一个定值,k＞0）

计算出AC的长度及边的高h，将AC向上或下平移得到与AC相距h个单位的直线，此直线与l的交点即为点P

由AC边上的高h及△AOM∽△MGE．可求得ME的长,于是便可求得平移后的直线解析式及与l的交点坐标

在抛物线上求一点P，使得

（k为一个定值，k＞0）

计算出

的值以后，将问题转化为上述问题中的面积定值问题

①当DC∥AB时，求

的值

②当DC与AB不平行时,求

的值

二、全能突破

（一）二次函数与平行四边形、梯形的综合

1．已知抛物线

与y轴相交于点A，顶点为M,直线

分别于x轴、y轴相交于点B、C两点，并且与直线AM相交于点B．

（1）填空：

试用含a的代数式分别表示点M与点N的坐标，则M（，），

N（,）．

（2）如下图所示，将△NAC沿y轴翻折,若点N的对应点N′恰好落在抛物线上,AN′与x轴相交于点D,连接CD,求a的值和四边形ADCN的面积．

（3）在抛物线

上是否存在一点P,使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由．

2．在平而直角坐标系中，以点A（－3，O）为圆心、半径为5的圆与x轴相交于点B,C（点B在点C的左边），与y轴相交于点D,M（点D在点M的下方）．

（1）求以直线x＝－3为对称轴，且经过点C，D的抛物线的解析式．

（2）若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，求PC＋PD的取值范围．

（3）若E为这个抛物线对称轴上的点,则在抛物线_L－是否存在这样的点F,使得以点B,C，E,F为顶点的四边形是平行四边形．若存在,求出点F的坐标；若不存在,说明理由．

3．如下图所示，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A,B两点（A点在B点左侧）,直线l与抛物线交于A、C两点．其中C点的横坐标为2．

（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式．

（2）P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值．

　（3）点G为抛物线上的一动点，在x轴上是否存在点F,使A，C，F，G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？

如果存在,求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在,诸说明理由（请直接写出点的坐标，不要求写过程）．

　（4）设抛物线的顶点为D，抛物线与y轴交于点H,若点Q是坐标轴上的一个动点，请直接写出使得以Q，B，D,H四个点为顶点的四边形是梯形的点Q的坐标．

4．如下图所示，直线AB交x轴于点A（2，0），交抛物线y＝ax2于点B（1,

），点C到△OAB各顶点的距离相等，直线AC交y轴于点D．当x>0时，在直线OC和抛物线y＝ax2上是否分别存在点P和点Q,使四边形DOPQ为特殊的梯形?

若存在，求点P、Q的坐标；若不存在,说明理由．

5．如下图所示,已知抛物线l1:

y＝x2－4的图像与x轴相交于A，C两点，B是抛物线l1上的动点（B不与A，C，重合）,抛物线l2与l1关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D．

（1）求l1的解析式．

（2）求证：

点D一定在l2上．

（3）□ABCD能否为矩形？

如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件,则求此矩形的面积）；如果不能为矩形，请说明理由．

6．已知:

在左下图所示的平面直角坐标系xOy中,A，C两点的坐标分别为A（2，3），C（n，－3）（其中n>0）．点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿OABC的边上依次沿O—A—B-C的顺序向点C移动,当点P与点C垂合时停止运动．设点P移动的路径的长为l,△POC的面积为S,S与l的的数关系的图像如右下图所示，其中四边形ODEF'是等腰梯形．

（1）结合以上信息及右下图城空：

右下图中的m＝．

（2）求B，C两点的坐标及右下图中OF的长．

（3）左下图中，当动点P恰为经过O、B两点的抛物线W的顶点时，

①求此抛物线W的解析式；

②若点Q在直线y＝－1上方的抛物线W上，坐标平而内另有一点R，满足以B、P、Q、尺四点为顶点的四边形是菱形．求点Q的坐标．

7．如下图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c：

经过A，B，C三点，已知点A（－3，0）、B（0，3）、C（1,0）．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）点P是直线AB上方抛物线上一动点（不与点A,B垂合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E,作PD上AB于点D．

①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；

②连接PA,以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时,求出对应的P点的坐标（结果保留根号）．

（二）二次函数与面积的综合

8．已知：

抛物线y－＝ax2＋bx＋c（a≠o）的对称轴为x＝－1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C,其中A（－3,0）,C（0，－2）．

（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P,使得△PBC的周长址小．请求出点P的坐标．

（3）在（

（2）的条件下，若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合），过点D作

DE∥PC交x轴于点E，连接PD,PE，设CD的长为m，△PDE的而积为S，求S与m之间的函数关系式及S的最大值．

（4）若点Q是直线AC下方的抛物线上的一点，求使得△QAC面积址大时点Q的坐标及此时△QAC的面积的最大值．

（5）在抛物线上是否存在一点R，使得S△ACR＝S△BCR？

若存在,请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

9．如下图所示,在平面直角坐标系中,已知点A坐标为（2，4），直线x＝2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y＝x2从点O沿OA方向平移，与直线x＝2交于点P，顶点M到A点时停止移动．

（1）求线段OA所在直线的函数解析式．

（2）设抛物线顶点M的横坐标为m，

①用含m：

的代数式表示点P的坐标；

②当m为何值时,线段PB最短．

（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使得

①

；

②

;

③

．

若存在，请分别求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

10．已知关于x的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a〉0）的图像经过点C（0,2）,且与x轴交于不同的两点A，B（点B在点A右侧），点A的坐标是（1，0），顶点为Q．

（1）该二次函数的图像与直线y＝2交于C，D两点,设A，B，C,D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，求证：

S1－S2为常数,并求出该常数．

（2）当∠CBO＝45°时，将抛物线向下平移经过点K（3，1），平移后的图像交y轴于点C1,顶点为Q1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NCC1的面积是△NQQ1面积的2倍，求平移后的抛物线解析式及点N的坐标．