高中数学 第一章 124函数的最大值练习 新人教B版选修22.docx
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高中数学第一章124函数的最大值练习新人教B版选修22
2019-2020年高中数学第一章1.2.4函数的最大值练习新人教B版选修2-2
1.函数y=xe-x,x∈[0,4]的最大值是( ).
A.0B.C.D.
2.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是( ).
A.[0,1)B.(0,1)C.(-1,1)D.
3.设f(x)=x(ax2+bx+c)(a≠0)在x=1和x=-1处均有极值,则下列点中一定在x轴上的是( ).
A.(a,b)B.(a,c)C.(b,c)D.(a+b,c)
4.已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为( ).
A.-37B.-29C.-5D.-11
5.函数y=x+2cosx在区间上的最大值是________.
6.函数f(x)=sinx+cosx在x∈的最大、最小值分别是________.
7.函数f(x)=,x∈[-2,2]的最大值是________,最小值是________.
8.如果函数f(x)=x3-x2+a在[-1,1]上的最大值是2,那么f(x)在[-1,1]上的最小值是________.
9.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
10.已知函数f(x)=x2e-ax(a>0),求函数在[1,2]上的最大值.
1.函数y=xe-x,x∈[0,4]的最大值是
( ).
A.0B.C.D.
解析 y′=e-x-x·e-x=e-x(1-x),令y′=0,∴x=1,
∴f(0)=0,f(4)=,f
(1)=e-1=,∴f
(1)为最大值,故选B.
答案 B
2.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是
( ).
A.[0,1)B.(0,1)
C.(-1,1)D.
解析 ∵f′(x)=3x2-3a,令f′(x)=0,可得a=x2,
又∵x∈(0,1),∴0 答案 B 3.设f(x)=x(ax2+bx+c)(a≠0)在x=1和x=-1处均有极值,则下列点中一定在x轴上的是 ( ). A.(a,b)B.(a,c)C.(b,c)D.(a+b,c) 解析 f′(x)=3ax2+2bx+c,由题意知-1,1是方程3ax2+2bx+c=0的两根,由根与系数的关系知1-1=-,所以b=0,故选A. 答案 A 4.函数y=x+2cosx在区间上的最大值是________. 解析 y′=1-2sinx=0,x=,比较0,,处的函数值,得ymax=+. 答案 + 5.函数f(x)=sinx+cosx在x∈的最大、最小值分别是________. 解析 f′(x)=cosx-sinx=0,即tanx=1, x=kπ+,(k∈Z), 而x∈,当-<x<时,f′(x)>0; 当<x<时,f′(x)<0, ∴f是极大值. 又f=,f=-1,f=1, ∴函数最大值为f=,最小值为f=-1. 答案 ,-1 6.求函数f(x)=x5+5x4+5x3+1在区间[-1,4]上的最大值与最小值. 解 f′(x)=5x4+20x3+15x2=5x2(x+3)(x+1), 由f′(x)=0得x=0或x=-1或x=-3(舍), 列表: x -1 (-1,0) 0 (0,4) 4 f′(x) 0 + 0 + f(x) 0 1 2625 ∴函数y=x5+5x4+5x3+1在区间[-1,4]上的最大值为2625,最小值为0. 7.函数y=+x2-3x-4在[0,2]上的最小值是 ( ). A.-B.-C.-4D.- 解析 y′=x2+2x-3(x∈[0,2]),令x2+2x-3=0,知x=-3或x=1为极值点.当x=1时,ymin=-,故选A. 答案 A 8.已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为 ( ). A.-37B.-29C.-5D.-11 解析 ∵f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),由f′(x)=0得x=0或2. ∵f(0)=m,f (2)=-8+m,f(-2)=-40+m,显然f(0)>f (2)>f(-2),∴m=3,最小值为f(-2)=-37. 答案 A 9.函数f(x)=,x∈[-2,2]的最大值是________,最小值是________. 解析 ∵y′==, 令y′=0可得x=1或-1. 又∵f (1)=2,f(-1)=-2,f (2)=,f(-2)=-, ∴最大值为2,最小值为-2. 答案 2 -2 10.如果函数f(x)=x3-x2+a在[-1,1]上的最大值是2,那么f(x)在[-1,1]上的最小值是________. 解析 f′(x)=3x2-3x, 令f′(x)=0得x=0,或x=1. ∵f(0)=a,f(-1)=-+a, f (1)=-+a,∴f(x)max=a=2. ∴f(x)min=-+a=-. 答案 - 11.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a. (1)求f(x)的单调递减区间; (2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值. 解 (1)∵f′(x)=-3x2+6x+9. 令f′(x)<0,解得x<-1或x>3, ∴函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞). (2)∵f(-2)=8+12-18+a=2+a, f (2)=-8+12+18+a=22+a, ∴f (2)>f(-2). 于是有22+a=20,∴a=-2. ∴f(x)=-x3+3x2+9x-2. ∵在(-1,3)上f′(x)>0,∴f(x)在[-1,2]上单调递增. 又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减, ∴f (2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值, ∴f(-1)=1+3-9-2=-7, 即f(x)最小值为-7. 12.(创新拓展)已知函数f(x)=x2e-ax(a>0),求函数在[1,2]上的最大值. 解 ∵f(x)=x2e-ax(a>0), ∴f′(x)=2xe-ax+x2(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x). 令f′(x)>0,即e-ax(-ax2+2x)>0, 得0 ∴f(x)在(-∞,0),上是减函数, 在上是增函数. 当0<<1,即a>2时,f(x)在(1,2)上是减函数, ∴f(x)max=f (1)=e-a. 当1≤≤2,即1≤a≤2时, f(x)在上是增函数, 在上是减函数, ∴f(x)max=f=e-2. 当>2,即0 ∴f(x)max=f (2)=4e-2a.
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