高考三角函数复习专题.docx
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高考三角函数复习专题
三角函数复习专题
一、核心知识点归纳:
★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
图象
定义域
值域
最值
当时,;
当
时,.
当时,
;
当
时,.
既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数;在
上是减函数.
在上是增函数;在
上是减函数.
在
上是增函数.
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
★★2.正、余弦定理:
在中有:
①正弦定理:
(为外接圆半径)
注意变形应用
②面积公式:
③余弦定理:
二、方法总结:
1.三角函数恒等变形的基本策略。
(1)注意隐含条件的应用:
1=cos2x+sin2x。
(2)角的配凑。
α=(α+β)-β,β=-等。
(3)升幂与降幂。
主要用2倍角的余弦。
(4)化弦(切)法,用正弦定理或余弦定理。
(5)引入辅助角。
asinθ+bcosθ=sin(θ+),这里辅助角所在象限由a、b的符号确定,角的值由tan=确定。
2.解答三角高考题的策略。
(1)发现差异:
观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。
(2)寻找联系:
运用相关公式,找出差异之间的在联系。
(3)合理转化:
选择恰当的公式,促使差异的转化。
三、例题集锦:
考点一:
三角函数的概念
1.(2011年东城区示校考试文15)如图,设是单位圆和轴正半轴的交点,是
单位圆上的两点,是坐标原点,,.
(1)若,求的值;
(2)设函数,求的值域.
2.(2011年西城期末文15)已知函数.(Ⅰ)若点
在角的终边上,求的值;(Ⅱ)若,求的值域.
考点二:
三角函数的图象和性质
3.(2011年东城区期末文15)函数部分图象如图所示.(Ⅰ)求的最小正周期及解析式;(Ⅱ)设,求函数在区间上的最大值和最小值.
考点三、四、五:
同角三角函数的关系、诱导公式、三角恒等变换
4.(2010年海淀期中文16)已知函数.
(1)若,求的值;
(2)求函数的单调增区间.(3)求函数的对称轴方程和对称中心
5.(2011年丰台区期末文15)已知函数
(),相邻两条对称轴之间的距离等于.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)当
时,求函数的最大值和最小值及相应的x值.
6、(2011二模文15)已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期及函数的单调递增区间;
(Ⅱ)若,,求的值.
7、(2011东城二模问15)(本小题共13分)已知,.
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求函数的值域.
考点六:
解三角形
8.(2011年期末文15)已知△中,.
(Ⅰ)求角的大小;
20070316
(Ⅱ)设向量,,求当取最
小值时,值.
9.(2011年石景山期末文15)已知函数.
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,求的最大值;(Ⅲ)在中,若,
,求的值.
10、(2011东城一模文15)在△中,角,,的对边分别为,,分,且满足.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)若,求△面积的最大值.
11、(2011丰台一模文15).在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且b2+c2-a2=bc.
(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)设函数,当取最大值时,判断△ABC的形状.
12、(2011海淀一模文15).在中,角A、B、C所对的边分别为,已知,,且.
(Ⅰ)求;(Ⅱ)求的面积.
13、(2011石景山一模文15).
在中,角,,所对应的边分别为,,,且.
(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)求的最大值.
例题集锦答案:
1.(2011年东城区示校考试理15)如图,设是单位圆和轴正半轴的交点,是
单位圆上的两点,是坐标原点,,.
(1)若,求的值;
(2)设函数,求的值域.
★★单位圆中的三角函数定义
解:
(Ⅰ)由已知可得……………2分
………3分
…………4分
(Ⅱ)………6分
………………7分
………………8分
………9分
…………12分
的值域是………………………………13分
2.(2011年西城期末理15)已知函数.(Ⅰ)若点
在角的终边上,求的值;(Ⅱ)若,求的值域.
★★三角函数一般定义
解:
(Ⅰ)因为点在角的终边上,
所以,,………………2分
所以………………4分
.………………5分
(Ⅱ)………………6分
,………………8分
因为,所以,………………10分
所以,………………11分
所以的值域是.………………13分
3.(2011年东城区期末理15)函数部分图象如图所示.(Ⅰ)求的最小正周期及解析式;(Ⅱ)设,求函数在区间上的最大值和最小值.
解:
(Ⅰ)由图可得,,
所以.……2分
所以.
当时,,可得,
因为,所以.……5分
所以的解析式为.………6分
(Ⅱ)
.……10分
因为,所以.
当,即时,有最大值,最大值为;
当,即时,有最小值,最小值为.……13分
相邻平衡点(最值点)横坐标的差等;;;φ----代点法
4.(2010年海淀期中文16)已知函数.
(1)若,求的值;
(2)求函数的单调增区间.(3)求函数的对称轴方程和对称中心
解:
(1)...3分(只写对一个公式给2分)
....5分
由,可得......7分
所以......8分.......9分
(2)当,换元法..11
即时,单调递增.
所以,函数的单调增区间是...13分
5.(2011年丰台区期末理15)已知函数
(),相邻两条对称轴之间的距离等于.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)当
时,求函数的最大值和最小值及相应的x值.
解:
(Ⅰ).意义……4分
因为,所以,.……6分
所以.所以………7分
(Ⅱ)
当时,,无围讨论扣分
所以当,即时,,…10分
当,即时,.………13分
6、(2011二模理15)已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期及函数的单调递增区间;
(Ⅱ)若,,求的值.
解:
……………………………………1分
……………………………………2分
.和差角公式逆用………………3分
(Ⅰ)函数的最小正周期.……………………………………5分
令,……………………………………6分
所以.即.
所以,函数的单调递增区间为.……………8分
(Ⅱ)解法一:
由已知得,…………………9分
两边平方,得同角关系式所以…………11分
因为,所以.
所以.……………………………………13分
解法二:
因为,所以.…………………………9分
又因为,
得.……………………………………10分
所以.……………………………………11分
所以,
.诱导公式的运用
7、(2011东城二模理15)(本小题共13分)已知,.
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求函数的值域.
解:
(Ⅰ)因为,且,
所以,.
角的变换因为
.所以.………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得.
所以此结构转化为二次函数值域问题
,.
因为,所以,当时,取最大值;
当时,取最小值.
所以函数的值域为.
8.(2011年期末理15)已知△中,.
(Ⅰ)求角的大小;
20070316
(Ⅱ)设向量,,求当取最
小值时,值.
解:
(Ⅰ)因为,和差角公式逆用
所以.………3分
因为,所以.所以.………5分
因为,所以.…………7分
(Ⅱ)因为,…………………8分
所以.…10分
所以当时,取得最小值.
此时(),于是.同角关系或三角函数定义……12分
所以.……………13分
9.(2011年石景山期末理15)已知函数.
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,求的最大值;(Ⅲ)在中,若,
,求的值.
解:
(Ⅰ).4分
(Ⅱ)
.…6分
,.
当时,即时,的最大值为.…8分
(Ⅲ),
若是三角形的角,则,∴.
令,得
,此处两解
解得或.……10分
由已知,是△的角,且,
∴,,
∴.…11分
又由正弦定理,得.……13分
10、(2011东城一模理15)(本小题共13分)
在△中,角,,的对边分别为,,分,且满足.
(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)若,求△面积的最大值.
解:
(Ⅰ)因为,
所以
由正弦定理,得.边化角
整理得.
所以.
在△中,.所以,.
(Ⅱ)由余弦定理,.
所以均值定理在三角中的应用
所以,当且仅当时取“=”.取等条件别忘
所以三角形的面积.
所以三角形面积的最大值为.……………………13分
11、(2011丰台一模理15).在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且b2+c2-a2=bc.
(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)设函数,当取最大值时,判断△ABC的形状.
解:
(Ⅰ)在△ABC中,因为b2+c2-a2=bc,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA
可得cosA=.(余弦定理或公式必须有一个,否则扣1分)……3分
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