数学建模历年真题.docx
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数学建模历年真题
1
全国大学生数学建模竞赛
竞赛题目汇编(1992-2000)
[注]相关优秀论文已经汇编成册正式出版:
全国大学生数学建模竞赛组委会编,《全国大学
生数学建模竞赛优秀论文汇编(1992-2000)》,北京:
中国物价出版社,2002年3月出版。
1992年赛题
A题施肥效果分析
某地区作物生长所需的营养素主要是氮(N)、钾(K)、磷(P)。
某作物研究所在该地区对
土豆与生菜做了一定数量的实验,实验数据如下列表格所示,其中ha表示公顷,t表示吨,kg
表示公斤。
当一个营养素的施肥量变化时,总将另二个营养素的施肥量保持在第七个水平上,如
对土豆产量关于N的施肥量做实验时,P与K的施肥量分别取为196kg/ha与372kg/ha。
试分析施肥量与产量之间关系,并对所得结果从应用价值与如何改进等方面作出估价。
土豆:
NPK
施肥量
(kg/ha)
产量
(t/ha)
施肥量
(kg/ha)
产量
(t/ha)
施肥量
(kg/ha)
产量
(t/ha)
0
34
67
101
135
202
259
336
404
471
15.18
21.36
25.72
32.29
34.03
39.45
43.15
43.46
40.83
30.75
0
24
49
73
98
147
196
245
294
342
33.46
32.47
36.06
37.96
41.04
40.09
41.26
42.17
40.36
42.73
0
47
93
140
186
279
372
465
558
651
18.98
27.35
34.86
38.52
38.44
37.73
38.43
43.87
42.77
46.22
生菜:
NPK
施肥量
(kg/ha)
产量
(t/ha)
施肥量
(kg/ha)
产量
(t/ha)
施肥量
(kg/ha)
产量
(t/ha)
0
28
56
84
112
168
224
280
336
392
11.02
12.70
14.56
16.27
17.75
22.59
21.63
19.34
16.12
14.11
0
49
98
147
196
294
391
489
587
685
6.39
9.48
12.46
14.38
17.10
21.94
22.64
21.34
22.07
24.53
0
47
93
140
186
279
372
465
558
651
15.75
16.76
16.89
16.24
17.56
19.20
17.97
15.84
20.11
19.40
(北京理工大学叶其孝提供)
B题实验数据分解
组成生命蛋白质的若干种氨基酸可以形成不同的组合。
通过质谱实验测定分子量来分析某个
生命蛋白质分子的组成时,遇到的首要问题就是如何将它的分子量X分解为几个氨基酸的已知
分子量a[i](i=1,2,…,n)之和。
某实验室所研究的问题中:
n=18,
a[1:
18]=57,71,87,97,99,101,103,113,114,115,128,129,131,137,147,156,163,186.
x为正整数≤1000。
要求针对该实验室拥有或不拥有微型计算机的情况,对上述问题提出你们的解答,并就你所研讨
的数学模型与方法在一般情形下进行讨论。
(华东理工大学俞文ci、复旦大学谭永基提供)
注1992年优秀论文及评阅人文章没有正式发表。
2
全国大学生数学建模竞赛
1993年赛题
A题非线性交调的频率设计
如果一非线性器件的输入u(t)与输出y(t)的关系是y(t)=u(t)+u2(t)(其中t是时间),那么当
输入是包含频率f1、f2的信号u(t)=cos2πf1t+cos2πf2t时,输出y(t)中将不仅包含输入信号
f1、f2,而且还会出现2f1、f1±f2等新的频率成分,这些新的频率称为交调。
如果交调出现在
原有频率f1、f2的附近,就会形成噪声干扰,因此工程设计中对交调的出现有一定的要求。
现有—SCS(非线性)系统,其输入输出关系由如下一组数据给出:
输入u0510203040506080
输出y02.256.8020.1535.7056.4075.1087.8598.50
输入信号为u(t)=Acosft+Acosft+Acosft1122332π2π2π,其中A1=25,A2=10,A3=45
是输入信号的振幅。
对输入信号频率f1、f2、f3的设计要求为:
1)36≤f1≤40,41≤f2≤50,46≤f3≤55。
2)输出中的交调均不得出现在fi±5的范围内(i=1,2,3),此范围称为fi的接收带(参看下图)。
3)定义输出中的信噪比SNR
B
C
i
n
=1010
2
2log(单位:
分贝),其中Bi是输出中对应于频率
为fi的信号的振幅,Cn是某一频率为fn的交调的振幅。
若fn出现在fn=fi±6处(i=1,2,3),
则对应的SNR应大于10分贝(参看下图)。
Bi(信号振幅)
Cn(交调振幅)
fn=fi-6fi-5fifi+5fi+6
接收带
4)fi不得出现在fj的接收带内(i,j=1,2,3,i≠j)。
5)为简单起见,fi只取整数值,且交调只需考虑二阶类型(即{ff},i,j,,ij±=123)和三
阶类型(即{fff},i,j,k,,ijk±±=123)。
试按上述要求设计输入信号频率f1、f2、f3。
(北京大学谢衷洁提供)
B题足球队排名次
下表给出了我国12支足球队在1988~1989年足球甲级队联赛中的成绩,要求
1)设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法,并给出用该算法排名次的结果。
2)把算法推广到任意N个队的情况。
3)讨论:
数据应具备什么样的条件,用你的方法才能够排出诸队的名次。
3
T1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T12
T1X
0:
1
1:
0
0:
0
2:
2
1:
0
0:
2
2:
0
3:
1
1:
0
3:
11:
00:
1
1:
3
0:
2
2:
1
1:
0
4:
0
1:
1
1:
1XX
T2X
2:
0
0:
1
1:
3
0:
0
2:
0
0:
0
1:
12:
11:
1
1:
1
0:
0
0:
0
2:
0
1:
1
0:
2
0:
0XX
T3
X
4:
2
1:
1
0:
0
2:
13:
01:
0
1:
4
0:
1
3:
1
1:
0
2:
3
0:
1
2:
0XX
T4
X
2:
30:
10:
5
2:
3
2:
1
1:
3
0:
1
0:
0
0:
1
1:
1XX
T5
X
0:
1
XXXX
1:
0
1:
2
0:
0
1:
1
T6
XXXXXXX
T7
X
1:
0
2:
0
0:
0
2:
1
3:
0
1:
0
3:
1
3:
0
2:
2
3:
12:
0
T8
X
0:
1
1:
2
2:
0
1:
1
1:
0
0:
1
3:
10:
0
T9
X
3:
0
1:
0
0:
0
1:
01:
0
T10
X
1:
02:
0
T11
X
1:
!
1:
2
1:
1
T12
X
说明:
1)12支球队依次记作T1,T2,…T12。
2)符号X表示两队未曾比赛。
3)数字表示两队比赛结果,如T3行与T8列交叉处的数字表示:
T3与T8比赛了
2场;T3与T8的进球数之比为0:
1和3:
1。
(清华大学蔡大用提供)
注1993年北京地区的优秀论文及评阅人文章发表在《数学的实践与认识》1994年第2期上。
4
全国大学生数学建模竞赛
1994年赛题
A题逢山开路
要在一山区修建公路,首先测得一地点的高程,数据见表1(平面区域0≤x≤5600,0≤y≤
4800,表中数据为坐标点的高程,单位:
米)。
数据显示:
在y=3200处有一东西走向的山峰;
从坐标(2400,2400)到(4800,0)有一西北—东南走向的山谷;在(2000,2800)附近有
一山口湖,其最高水位略高于1350米,雨季在山谷中形成一溪流。
经调查知,雨量最大时溪流
水面宽度W与(溪流最深处的)x坐标的关系可近似表示为wx
x
()=()/
−
+
2400
2
345
(2400≤x≤4000)。
公路从山脚(0,800)处开始,经居民点(4000,2000)至矿区(2000,4000)。
已知路段
工程成本及对路段坡度α(上升高程与水平距离之比)的限制如表2。
1)试给出一种线路设计方案,包括原理、方法及比较精确的线路位置(含桥梁、隧道),
并估算该方案的总成本。
2)如果居民点改为3600≤x≤4000,2000≤y≤2400的居民区,公路只须经过
民区即可,那么你的方案有什么改变。
表一↑北
480013501370139014001410960940880800690570430290210150
440013701390141014301440114011101050950820690540380300210
4000138014101430145014701320128012001080940780620460370350
36001420143014501480150015501510143013001200980850750550500
3200143014501460150015501600155016001600160015501500150015501550
28009501190137015001200110015501600155013801070900105011501200
24009101090127015001200110013501450120011501010880100010501100
200088010601230139015001500140090011001060950870900930950
1600830980118013201450142014001300700900850840380780750
1200740880108011301250128012301040900500700780750650550
800650760880970102010501020830800700300500550480350
400510620730800850870850780720650500200300350320
0370470550600670690670620580450400300100150250
Y/X0400800120016002000240028003200360040004400480052005600
表二
工程种类一般路段桥梁隧道
工程成本(元/米)30020001500(长度≤300米);3000(长度>300米)
对坡度α的限制α<0.125α=0α<0.100
(西安电子科技大学何大可提供)
B题锁具装箱
某厂生产一种弹子锁具,每个锁具的钥匙有5个槽,每个槽的高度从{1,2,3,4,5,6}6
个数(单位略)中任取一数。
由于工艺及其它原因,制造锁具时对5个槽的高度还有两个限制:
至少有3个不同的数;相邻两槽的高度之差不能为5。
满足以上条件制造出来的所有互不相同的
锁具称为一批。
从顾客的利益出发,自然希望在每批锁具中“一把钥匙开一把锁”。
但是在当前工艺条件下,
对于同一批中两个锁是否能够互开,有以下试验结果:
若二者相对应的5个槽的高度中有4个相
同,另一个槽的高度差为1,则可能互开;在其它情形下,不可能互开。
原来,销售部门在一批锁具中随意的取60个装一箱出售。
团体顾客往往购买几箱到几十箱,
他们抱怨购得的锁具会出现互开的情形。
现聘你为顾问,回答并解决以下的问题:
1)每一批锁具有多少个,装多少箱。
5
2)为销售部门提出一种方案,包括如何装箱(仍是60个锁具一箱),如何给箱子以标志,
出售时如何利用这些标志,使团体顾客不再或减少抱怨。
3)采取你提出的方案,团体顾客的购买量不超过多少箱,就可以保证一定不会出现互开的
情形。
4)按照原来的装箱办法,如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度(试对购买一、二箱者
给出具体结果)。
(华东理工大学俞文ci、复旦大学谭永基提供)
注优秀论文及评阅人文章可参见《全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编(1992-2000)》一书
(全国大学生数学建模竞赛组委会编,中国物价出版社2002年3月出版)。
6
全国大学生数学建模竞赛
1995年赛题
A题一个飞行管理问题
在约10000米高空的某边长为160公里的正方形区域内,经常有若干架飞机作水平飞行。
区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据,以便进行飞行管理。
当一架欲进入该
区域的飞机到达区域边缘时,记录其数据后,要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。
如果会碰撞,则应计算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行的方向角,以避免碰撞。
现假定
条件如下:
1)不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里;
2)飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度;
3)所有飞机飞行速度均为每小时800公里;
4)进入该区域的飞机在到达该区域边缘时,与区域内飞机的距离应在60公里以上;
5)最多需考虑6架飞机;
6)不必考虑飞机离开此区域后的状况;
请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型,列出计算步骤,对以下数据进行计算(方
向角误差不超过0.01度),要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。
设该区域4个顶点的坐标为:
(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。
记录数据为:
飞机编号横坐标X纵坐标Y方向角(度)
1150140243
28585236
3150155220.5
414550159
5130150230
新进入0052
注:
方向角指飞行方向与X轴正向的夹角。
试根据实际应用背景对你的模型进行评价和推广。
(华东理工大学俞文ci、复旦大学谭永基提供)
B题天车与冶炼炉的作业调度
某钢铁厂冶炼车间的厂房布局是,地面沿一直线依次安置7个工作点:
辅料供应处P;A组
3座转炉(冶炼成品钢)A1,A2,A3;B组2座冶炼炉(冶炼半成品钢,简称半钢)B1,B2;
原料供应处Q。
这些设备的上方贯通着一条运送物料的天车轨道,上面布置着若干天车T1,
T2,。
。
。
,Tn为炉子作业服务。
布局示意图如下。
PA1A2A3B1B2Q
T1T2Tn
......
7
天车与冶炼炉的作业过程与工序为:
天车从Q处吊起原料有罐(吊罐时间ty)运至B1或
B2处放下(放罐时间ti),并将上一炉的原料空罐吊起(吊空罐时间to)返回Q处放下(放空
罐时间tk)。
B组炉在原料罐放下后即可在辅助作业下开始冶炼(冶炼时间tb),冶炼后将半钢
倒入空半钢罐(时间记入tb),由天车吊起半钢罐(吊罐时间td)运至A1或A2、A3处将半钢
倒入转炉(倒入时间te),并将空罐返回B1或B2处放下(放空罐时间tc)。
再由天车从P处
吊起辅料一槽(吊槽时间tg)运至A1或A2,A3处加入转炉(加入时间tf),并将空槽返回P处
放下(放空槽时间th)。
A组炉在半钢和辅料加入后即可开始冶炼(冶炼时间ta),冶炼后成
品钢的输出不用天车(输出时间记入ta)。
天车通过相邻两个工作点的运行时间都相同,记为
tx。
由于各台天车在同一条轨道上运行,因此其顺序位置T1,T2,。
。
。
,Tn不可交换。
在同
一时间同一炉子上只能允许一台天车作业;但P、Q两处可以允许多台天车同时作业。
在P,
A1,。
。
。
,Q每两个相邻工作点之间最多只能容纳2台同时停放。
天车与冶炼炉作业调度的要求为:
(1)成品钢厂量尽量高;
(2)各台天车的作业率(天
车作业时间所占比例)尽量均衡(考虑到设备及人员安全等因素,一般天车率不超过70%);
(3)绝不允许出现天车相撞等事故;(4)调度规则尽量简明,以便于现场人员使用。
现设定:
ta=48,tb=27,ti=3,to=2,tc=2,td=3,te=5,tf=2,tg=2,th=1,ty=3,tk=2
(单位:
分钟),tx=15秒;A组炉平均每天每炉产量We=120吨。
在不超过5台天车的条件下,
设计一种满足上述要求的天车与冶炼炉的作业调度方案:
(1)个台天车负责哪些作业(列出〈〈工序清单〉〉);
(2)在所给方案的一个运行周期内,每一时刻天车和冶炼炉处于什么状态(画出〈〈天车—炉
子作业运行图〉〉);
(3)一份供现场人员使用的〈〈调度规则说明书〉〉;
(4)在所给方案下计算个台天车的作业率。
并按每天冶炼炉估计该车间成品钢的年产量(扣除设备维修日,每台转炉作业日每年300天计
算)。
实际生产过程中,ta,tb,…,tk都是随机的(上面设定的数值可视为平均值),讨论你的调
度方案如何适用于实际生产过程。
试提出该车间提高钢产量到年产300万吨以上的建议。
(浙江大学刘祥官、李吉鸾提供)
注优秀论文及评阅人文章刊登在《数学的实践与认识》1996年第1期上。
8
全国大学生数学建模竞赛
1996年赛题
A题最优捕鱼策略
为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源(如渔业.林业资源)的开发必须适度.一种
合理\简化的策略是,在实现可持续收获的前提下,追求最大的产量或最佳效益.
考虑对某种鱼(鱼)的最优捕捞策略:
假设这种鱼分4个年龄组,称1龄鱼,…,4龄鱼.各年龄组每条鱼的平均重量分别为
5.07,11.55,17.86,22.99(克),各年龄组鱼的自然死亡率为0.8(1/年),这种鱼为季节性集中产
卵繁殖,平均每条4龄鱼的产卵量为1.109*105(个),3龄鱼的产卵量为这个数的一半,2龄鱼和1
龄鱼不产卵,产卵和孵化期为每年的最后4个月,卵孵化并成活为1龄鱼,成活率(1龄鱼条数与
产卵总量n之比)为(×+n)
×
11
11
1.2210
1.2210。
渔业管理部门规定,每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业.如果每年投入的
捕捞能力(如渔船数\下网次数等)固定不变,这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比,
比例系数不妨称捕捞强度系数.通常使用13mm网眼的拉网,这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼,其
两个捕捞强度系数之比为0.42:
1.渔业上称这种方式为固定努力量捕捞.
1)建立数学模型分析如何实现可持续捕获(即每年开始捕捞时渔场中个年龄组鱼群条数不
变),并且在此前提条件下得到最高的年收获量(捕捞总重量).
2)某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年,合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大
破坏.已知承包时个年龄组鱼群的数量分别为:
122,29.7,10.1,3.29(*109条),如果仍用固
定努力量的捕捞方式,该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高.
(北京师范大学刘来福提供)
B题节水洗衣机
我国淡水资源有限,节约用水人人有责.洗衣机在家庭中占有相当大的份额,目前洗衣机已
非常普及,节约洗衣机用水十分重要.假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为:
加水—
漂洗—脱水--加水—漂洗—脱水--…--加水—漂洗—脱水(称“加水—漂洗—脱水”为运行一
轮).请为洗衣机设计一种程序(包括运行多少轮\每轮加入水量等),使得在满足一定洗涤效果的
条件下,总量最少.选用合理的数据进行计算.对照目前常用的洗衣机的运行情况,对你的模型
和结果作出评价.
(重庆大学傅鹏提供)
注优秀论文及评阅人文章刊登在《数学的实践与认识》1997年第1期上。
9
全国大学生数学建模竞赛
1997年赛题
A题零件的参数设计
一件产品由若干零件组装而成,标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。
零件参数
包括标定值和容差两部分。
进行成批生产时,标定值表示一批零件该参数的平均值,容差则给出
了参数偏离其标定值的容许范围。
若将零件参数视为随机变量,则标定值代表期望值,在生产部
门无特殊要求时,容差通常规定为均方差的3倍。
进行零件参数设计,就是要确定其标定值和容差。
这时要考虑两方面因素:
一是当各零件组
装成产品时,如果产品参数偏离预先设定的目标值,就会造成质量损失,偏离越大,损失越大;
二是零件容差的大小决定了其制造成本,容差设计得越小,成本越高。
试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。
粒子分离器某参数(记作y)由7个零件的参数(记作x1,x2,…x7)决定,经验公式为:
67
1.16
2
4
2
3
0.56
2
12.6210.364
0.85
21
3
5
174.421
xx
x
x
x
x
xx
x
x
x
y
×
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
×
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−×−×
×
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−
×
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=×
y的目标值(记作y0为1.50。
当y偏离0.10y±时,产品为次品,质量损失为1,000(元);
当y偏离0.30y±时,产品为废品,损失为9,000(元)。
零件参数的标定值有一定的容许变化范围;容差分为A、B、C三个等级,用与标定值的相对值表
示,A等为±1%,B等为±5%,C等为±10%。
7个零件参数标定值的容许范围,及不同容
差等级零件的成本(元)如下表(符号/表示无此等级零件):
标定值容许范围C等B等A等
X1[0.075,0.125]
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