中考数学专题复习学案三角形中位线 含答案.docx
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中考数学专题复习学案三角形中位线含答案
中考复习之三角形中位线
定义:
:
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
一、与中点有关的概念
三角形中线的定义:
三角形顶点和对边中点的连线
三角形中线的相关定理:
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)
三角形中位线定义:
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理:
三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.
中位线判定定理:
经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边.
直角三角形斜边中线:
直角三角形斜边中线等于斜边一半
二、常见的题型
题型一:
求线段的长
例1、已知:
如图,E、D、F分别为AB、BC、CA的中点.
(1)若AC=10cm,则DE=5cm.
(2)若EF=6cm,则CB=12cm.
(3)若AB=10,AC=12,BC=8,则△DEF的周长15
练习:
1.已知△ABC的周长为50cm,中位线DE=8cm,中位线EF=10cm,则另一条中位线DF的长是( )
A. 5cm B. 7cm C. 9cm D. 10cm
【答案】B
3.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,∠A=50°,∠ADE=60°,则∠C的度数为( )
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
【答案】C
3.如图,在△ABC中,E,D,F分别是AB、BC、CA的中点,AB=6,AC=4,则四边形AEDF的周长是( )
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
【答案】B
4.如图,在△ABC中,D,E,F分别为BC,AC,AB边的中点,AH⊥BC于H,FD=8,则HE等于( )
A. 20 B. 16 C. 12 D. 8
【答案】D
题型二:
证明线段的倍分问题
例1.如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,BE=CF.
(1)求证:
△BDE≌△CDF;
(2)当∠B=60°时,G、H分别是AB、AD的中点,
求证:
GH=
AB
证明:
(1)∵AB=AC∴∠B=∠C
∵AD为中线,∴BD=CD又∵EB=FC
∴△BDE≌△CDF
(2)∵AB=AC∴△ABC为等腰三角形,又∵∠B=60°,
∴△ABC为等边三角形∴BC=AB∵G、H分别是AB、AD的中点∴GH=
BD=
BC 又∵BC=AB所以GH=
AB.
练习:
如图,在△ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,E为AB中点,连结CE、CD,
求证:
CD=2EC
证明:
延长CE使EF=CE=1/2CF 即 CF=2CE
∵∠AEC=∠BEF
E是AB中点,即AE=BE
CE=EF
∴△ACE≌△BFE(SAS)
∴BF=AC
∠FBE=∠A
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵∠FBC=∠FBE+∠ABC=∠A+∠ABC
∠DBC=∠A+∠ACB∴∠FBC=∠DBC
∵BD=BA∴BF=BD
∵BC=BC∠FBC=∠DBC
∴△BCF≌△BCD(SAS)∴CF=CD
∴CD=2CE
题型三:
常规辅助线的添加
一:
利用角平分线+垂直,构造等腰三角形
如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3
(1)求证:
BN=DN;
(2)求△ABC的周长.
【解析】1)证明:
在△ABN和△ADN中,
∵
,
∴△ABN≌△ADN,
∴BN=DN.
(2)解:
∵△ABN≌△ADN,
∴AD=AB=10,DN=NB,
又∵点M是BC中点,
∴MN是△BDC的中位线,
∴CD=2MN=6,
故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41.
1.如图所示,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,且AB=8,MN=3,则AC的长是()
A.12B.14C.16D.18
【答案】B
2.如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,AD、AE分别是其角平分线和中线,过点C作CG⊥AD于F,交AB于G,连接EF,则线段EF的长为()
A.1B.2C.3D.7
【答案】A
3.如图,△ABC中,BD平分∠ABC,且AD⊥BD,E为AC的中点,AD=6cm,BD=8cm,BC=16cm,则DE的长为()cm.
【答案】3
如图,△ABC中,AB=8cm,AC=5cm,AD平分∠BAC,且AD⊥CD,E为BC中点,则DE=( )
A.3B.5C.2.5D.1.5
【答案】D
二:
取中点构造中位线
如图,在四边形ABCD中,AD=BC,
分别是AB、CD、BD的中点,探索PF与EF的数量关系.
证明:
连接PE,
,易得
.
三:
借助平行四边形的性质
1.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点.若AC+BD=24cm,△OAB的周长是18cm,则EF的长为________cm.
【答案】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
又∵AC+BD=24厘米,
∴OA+OB=12厘米,
∵△OAB的周长是18厘米,
∴AB=6厘米,
∵点E,F分别是线段AO,BO的中点,
∴EF是△OAB的中位线,
∴EF=1/2AB=3厘米.
题型三借助平行四边形的性质
例3.如图,
(1)E,F为
边AB、BC的中点,G、H为AC的两个三等分点,连接EG、FH,并延长交于D,连接AD、CD.求证:
四边形ABCD是平行四边形.
【答案】如图,E、F分别为△ABC的边AB、BC的中点,G、H是AC上的三等分点。
连结EG、FH并延长交于点D,求证ABCD为平行四边形,
证明:
连接BG和BH
则BG平行FDBH平行ED(因为G、H为AC的三等分点)
即BHDG是平行四边形
连接BD交GH于O
则BO=DOGO=HO
得AO=CO
可得四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
练习1.已知:
如图,在□ABCD中,E是CD的中点,F是AE的中点,FC与BE交于G.求证:
GF=GC.
【解析】取BE的中点H,连接FH、CH
∵F、G分别是AE、BE的中点
∴FH是△ABE的中位线
∴FH∥ABFH=1/2*AB
∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD∥ABCD=AB
∵E是CD的中点
∴CE=1/2*AB
∵CE=1/2*ABFH=1/2*AB
练习2.已知:
如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=BD,E,F分别是四边形ABCD边AD、BC的中点,EF分别交AC,BD于G,H,求证:
∠OGH=∠OHG.
【解析】辅助线如图
练习3.已知:
如图,在四边形ABCD中,AD=BC,E、F分别是DC、AB边的中点,FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点.
求证:
∠AHF=∠BGF.
【解析】证明:
连接AC,取AC的中点M,连接ME、MF
∵M是AC的中点,E是DC的中点
∴ME是△ACD的中位线
∴ME=AD/2,PE∥AH
∴∠MEF=∠AHF(同位角相等)
同理可证:
MF=BC/2,∠MFE=∠BGF(内错角相等)
∵AD=BC
∴ME=MF
∴∠MFE=∠MEF
∴∠AHF=∠BGF
练习4.已知:
如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB>CD.E、F分别是AC、BD的中点.求证:
EF=
(AB-CD).
【答案】辅助线如图
题型四证明平行四边形
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,过点D作DE⊥BC,垂足为E,并延长DE至F,使EF=DE.连接BF、CF、AC.求证:
四边形ABFC是平行四边形.
证明:
等腰梯形ABCD中,AB=DC,
∴∠ABC=∠DCB,
∵DE⊥BC,DE=EF,
∴△DFC是等腰三角形,
∴∠DCB=∠FCE,DC=CF,
∴∠ABC=∠FCE,
∴AB∥CF,
∵AB=CD=CF,
∴四边形ABFC是平行四边形
探索与证明
如图,在△ABC中,BD、CE分别是边AC、AB上的中线,BD与CE相交于点O,M、N分别是BO、CO的中点,顺次连接E、M、N、D四点.
(1)求证:
EMND是平行四边形;
(2)探索:
BC边上的中线是否过点O?
为什么?
【解析】
(1)
.
(2)BC边上的中线过点O,理由如下:
作BC边上的中线AF,交BD于M,连接DF,
∵BD、AF是边AC、BC上的中线,
∴O和M重合,
即BC边上的中线一定过点O.
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