届高三理科数学试题79.docx
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届高三理科数学试题79
2016届高三理科数学试题(79)
一.选择题(每小题5分,共60分;每小题的答案是唯一的,请写入答题卷)
1.设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是()
A.1B.3C.4D.8
2.设集合A={x|1≤x≤2},B={y|1≤y≤4},则下述对应法则f中,不能构成A到B的映射的是()
A.f:
x→y=x2B.f:
x→y=3x﹣2C.f:
x→y=﹣x+4D.f:
x→y=4﹣x2
3.条件p:
|x|>1,条件q:
x<﹣2,则p是q的()
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.非充分非必要条件
4.函数f(x)=lg
的定义域为()
A.[0,1]B.(﹣1,1)C.[﹣1,1]D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
5.设a∈
,则使函数y=xa的定义域是R,且为奇函数的所有a的值是()
A.1,3B.﹣1,1C.﹣1,3D.﹣1,1,3
6.f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=
,若f
(1)=﹣5,则f(f(5))=()
A.﹣5B.
C.
D.5
7.定义运算:
,则函数f(x)=1⊗2x的图象是()
8.函数f(x)=1+log2x和g(x)=21+x在同一直角坐标系下的图象大致是()
9.已知f(x)=
,则f(8)等于()
A.4B.0C.
D.2
10.已知函数f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函数,a,b∈R.对于命题”若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(﹣a)+f(﹣b)”有如下结论:
①其逆命题为真;②其否命题为真;③其逆否命题为真;④其逆命题和否命题有且只有一个为真.其中正确的命题结论个数为()个.
A.1B.2C.3D.4
11.函数
是R上的减函数,则a的取值范围是()
A.(0,1)B.
C.
D.
12.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f
(1)=2,则f(﹣3)等于
()
A.2B.3C.6D.9
二.填空题(每小题5分,共20分,答案请写入答题卷)
13.已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={2,3,4},那么A∪(∁UB)=__________.
14.命题“∃x∈R,x2﹣2x+1<0”的否定是__________.
15.已知指数函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则a的值为__________.
16.定义在R上的偶函数f(x)满足:
f(x+1)=﹣f(x),且在[0,1]上是增函数,下面关于f(x)的判断:
①f(x)是周期函数;
②f(x)的图象关于直线x=1对称;
③f(x)在[1,2]上是减函数;
④f(x)在[﹣2,0]上是减函数.
其中正确的判断是__________(把你认为正确的判断都填上).
三.解答题(共80分,答案请写入答题卷)
17.(13分)已知U=R,A={x||x﹣3|<2},B={x|(x﹣2)(x﹣4)>0},求
(1)A∩B
(2)CU(A∪B).
18.(13分)已知p:
方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根,q:
方程4x2+4(m﹣2)x+1=0无实根.若“p或q”为真,“p且q”为假.求实数m的取值范围.
19.(14分)已知函数
.
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的奇偶性;
(3)证明f(x)在(0,1)内单调递减.
20.函数
的定义域为(0,1](a为实数).
(Ⅰ)当a=﹣1时,求函数y=f(x)的值域;
(Ⅱ)若函数y=f(x)在定义域上是减函数,求a的取值范围;
(Ⅲ)求函数y=f(x)在x∈(0,1]上的最大值及最小值,并求出函数取最值时x的值.
21.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),x∈R,
(1)若f(﹣1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F(x)的表达式;
(2)在
(1)的条件下,当x∈[﹣2,2]时,g(x)=f(x)﹣kx是单调函数,求实数k的取值范围;
(3)设m>0,n<0,m+n>0,a>0且f(x)为偶函数,判断F(m)+F(n)能否大于零?
参考答案
一.选择题(每小题5分,共60分;每小题的答案是唯一的,请写入答题卷)
1.设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是()
A.1B.3C.4D.8
【考点】并集及其运算.
【分析】根据题意,分析可得,该问题可转化为求集合A={1,2}的子集个数问题,再由集合的元素数目与子集数目的关系可得答案.
【解答】解:
A={1,2},A∪B={1,2,3},
则集合B中必含有元素3,即此题可转化为求集合A={1,2}的子集个数问题,
所以满足题目条件的集合B共有22=4个.
故选择答案C.
【点评】本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题,同时考查了等价转化思想.
2.设集合A={x|1≤x≤2},B={y|1≤y≤4},则下述对应法则f中,不能构成A到B的映射的是()
A.f:
x→y=x2B.f:
x→y=3x﹣2C.f:
x→y=﹣x+4D.f:
x→y=4﹣x2
【考点】映射.
【专题】应用题.
【分析】按照映射的定义,一个对应能构成映射的条件是,A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素与之对应.
判断题中各个对应是否满足映射的定义,从而得到结论.
【解答】解:
对于对应f:
x→y=x2,当1≤x≤2时,1≤x2≤4,在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x,
在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应,故A中的对应能构成映射.
对于对应f:
x→y=3x﹣2,当1≤x≤2时,1≤3x﹣2≤4,在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x,
在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应,故B中的对应能构成映射.
对于对应f:
x→y=﹣x+4,当1≤x≤2时,2≤﹣x+4≤3,在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x,
在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应,故B中的对应能构成映射.
对于对应f:
x→y=4﹣x2,当x=2时,y=0,显然y=0不在集合B中,不满足映射的定义,
故D中的对应不能构成A到B的映射.
故选D.
【点评】本题考查映射的定义,一个对应能构成映射时,必须使A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素
与之对应.
3.条件p:
|x|>1,条件q:
x<﹣2,则p是q的()
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.非充分非必要条件
【考点】充要条件.
【分析】先求出条件P的解,然后再判断p和q之间的相互关系.
【解答】解:
∵P:
x>1或x<﹣1,q:
x<﹣2,
∴p是q的必要不充分条件.
故选:
A.
【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断,解题时要认真分析条件间的相互关系.
4.函数f(x)=lg
的定义域为()
A.[0,1]B.(﹣1,1)C.[﹣1,1]D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】对数的真数一定要大于0,进而构造不等式进行求解.
【解答】解:
由
知1﹣x2>0,即x2<1,进而得到﹣1<x<1
故函数
的定义域为(﹣1,1)
故选B
【点评】考查对数真数的要求,即,真数要大于0.
5.设a∈
,则使函数y=xa的定义域是R,且为奇函数的所有a的值是()
A.1,3B.﹣1,1C.﹣1,3D.﹣1,1,3
【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域;函数奇偶性的判断.
【专题】计算题.
【分析】分别验证a=﹣1,1,
,3知当a=1或a=3时,函数y=xa的定义域是R且为奇函数.
【解答】解:
当a=﹣1时,y=x﹣1的定义域是x|x≠0,且为奇函数;
当a=1时,函数y=x的定义域是R且为奇函数;
当a=
时,函数y=
的定义域是x|x≥0且为非奇非偶函数.
当a=3时,函数y=x的定义域是R且为奇函数.
故选A.
【点评】本题考查幂函数的性质和应用,解题时要熟练掌握幂函数的概念和性质.
6.f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=
,若f
(1)=﹣5,则f(f(5))=()
A.﹣5B.
C.
D.5
【考点】函数的周期性.
【专题】计算题.
【分析】先通过f(x+2)=
可推断函数f(x)是以4为周期的函数.进而可求得f(5)=f
(1),f(﹣5)=f(﹣1);根据f(x+2)=
可求得f(﹣1)=
,进而可求得f(f(5)).
【解答】解:
∵f(x+2)=
∴f(x+2+2)=
=f(x)
∴f(x)是以4为周期的函数
∴f(5)=f(1+4)=f
(1)=﹣5
f(f(5))=f(﹣5)=f(﹣5+4)=f(﹣1)
又∵f(﹣1)=
=
=﹣
∴f(f(5))=﹣
故选B
【点评】本题主要考查了函数的周期性.要特别利用好题中f(x+2)=
的关系式.
7.定义运算:
,则函数f(x)=1⊗2x的图象是()
【考点】分段函数的应用.
【专题】新定义.
【分析】本题需要明了新定义运算a⊗b的意义,即取两数中的最小值运算.之后对函数f(x)=1⊗2x就可以利用这种运算得到解析式再来求画图解.
【解答】解:
由已知新运算a⊗b的意义就是取得a,b中的最小值,因此函数f(x)=1⊗2x=
,因此选项A中的图象符合要求.
故选A
【点评】本题考查分段函数的概念以及图象,新定义问题的求解问题.注重对转化思想的考查应用.
8.函数f(x)=1+log2x和g(x)=21+x在同一直角坐标系下的图象大致是()
【考点】函数的图象.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据函数f(x)=1+log2x与g(x)=2x+1解析式,分析他们与同底的指数函数、对数函数的图象之间的关系,(即如何变换得到),分析其经过的特殊点,即可用排除法得到答案.
【解答】解:
∵f(x)=1+log2x的图象是由y=log2x的图象上平移1而得,
∴其图象必过点(1,1).
故排除A、C,
又∵g(x)=2x+1的图象是由y=2x的图象左平移1而得
故其图象也必过(﹣1,1)点,
故排除B
故选D.
【点评】本题主要考查对数函数和指数函数图象的平移问题,属于中档题.
9.已知f(x)=
,则f(8)等于()
A.4B.0C.
D.2
【考点】函数的值.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】由f(x)=
,导出f(8)=f(﹣2)=2﹣2,由此能求出结果.
【解答】解:
∵f(x)=
,
∴f(8)=f(6)=f(4)=f
(2)=f(0)=f(﹣2)
=2﹣2=
.
故选C.
【点评】本题考查函数值的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
10.已知函数f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函数,a,b∈R.对于命题”若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(﹣a)+f(﹣b)”有如下结论:
①其逆命题为真;②其否命题为真;③其逆否命题为真;④其逆命题和否命题有且只有一个为真.其中正确的命题结论个数为()个.
A.1B.2C.3D.4
【考点】命题的真假判断与应用;四种命题的真假关系.
【专题】应用题.
【分析】逆否命题与原命题真假相同,所以判断逆否命题的真假可以直接判断原命题的真假;否命题与逆命题真假相同,所以判断否命题的真假可以直接判断逆命题的真假
【解答】解:
命题:
若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(﹣a)+f(﹣b).
面先证明原命题:
因为a+b≥0,所以a≥﹣b,b≥﹣a
由于f(x)为增函数,所以f(a)≥f(﹣b),f(b)≥f(﹣a)
所以f(a)+f(b)≥f(﹣a)+f(﹣b).故命题为真,根据互为逆否命题的真假相同可知,其逆否命题为真
下面证明否命题:
若a+b<0,则f(a)+f(b)<f(﹣a)+f(﹣b)
由a+b<0可得a<﹣b,可得f(a)<f(﹣b)
由b<﹣a可得f(b)<f(﹣a)
所以,f(a)+f(b)<f(﹣a)+f(﹣b)
否命题成立,则由逆命题与否命题互为逆否命题,真假相同,可知逆命题为真
①其逆命题为真正确;②其否命题为真正确;③其逆否命题为真正确;④其逆命题和否命题有且只有一个为真,错误.
故选C
【点评】本题主要考查了抽象函数的单调性的证明,互为你否命题的真假关系的应用,属于知识的简单应用.
11.函数
是R上的减函数,则a的取值范围是()
A.(0,1)B.
C.
D.
【考点】函数单调性的性质.
【专题】计算题.
【分析】先根据函数y=﹣x+3a在(﹣∞,0)是减函数,再根据函数y=ax在[0,+∞)上是减函数,最后只要使y=﹣x+3a的最小值大于或等于y=ax的最小值即可.
【解答】解:
由题意可得f(x)=ax是减函数
∴0<a<1
又∵
是R上的减函数
∴当x=0时3a≥a0
即3a≥1
∴a
又∵0<a<1
∴
∴a的取值范围是
【点评】分别判断出各段函数在其定义区间的单调性,再根据最值的大小保证函数在R上具有单调性.
12.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f
(1)=2,则f(﹣3)等于
()
A.2B.3C.6D.9
【考点】函数的值.
【专题】压轴题.
【分析】根据关系式f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,令x=y=0求出f(0),再令x=y=1,求出f
(2),同样的道理求出f(3),最终求出f(﹣3)的值.
【解答】解:
令x=y=0⇒f(0)=0,令x=y=1⇒f
(2)=2f
(1)+2=6;
令x=2,y=1⇒f(3)=f
(2)+f
(1)+4=12,
再令x=3,y=﹣3得0=f(3﹣3)=f(3)+f(﹣3)﹣18⇒f(﹣3)=18﹣f(3)=6
故选C.
【点评】本题主要考查已知函数的关系式求函数值的问题.这里经常取一些特殊点代入,要注意特殊点的选取技巧.
二.填空题(每小题5分,共20分,答案请写入答题卷)
13.已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={2,3,4},那么A∪(∁UB)={1,3,5}.
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】由集合运算性质及已知的U、A、B不难给出答案
【解答】解:
A∪(CUB)
={1,3}∪{1,5}
={1,3,5}
故答案为:
={1,3,5}
【点评】集合的运算一般难度不大,属于送分题,处理的原则是:
求稳不求快
14.命题“∃x∈R,x2﹣2x+1<0”的否定是∀x∈R,x2﹣2x+1≥0.
【考点】命题的否定.
【专题】阅读型.
【分析】根据命题“∃x∈R,x2﹣2x+1<0”是特称命题,其否定为全称命题,即∀x∈R,x2﹣2x+1≥0.从而得到答案.
【解答】解:
∵命题“∃x∈R,x2﹣2x+1<0”是特称命题
∴否定命题为:
∀x∈R,x2﹣2x+1≥0
故答案为:
∀x∈R,x2﹣2x+1≥0.
【点评】本题考查命题的否定,解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则,全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,书写时注意量词的变化.
15.已知指数函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则a的值为2.
【考点】指数函数的单调性与特殊点.
【专题】计算题.
【分析】由已知中指数函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,根据指数函数一定为单调函数,则最大值与最小值的和一定等于a+1,由此构造方程,解方程即可得到答案.
【解答】解:
若a>1,则指数函数y=ax在[0,1]上单调递增;
则指数函数y=ax在[0,1]上的最小值与最大值分别为1和a,
又∵指数函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,
则a+1=3,解得a=2
若0<a<1,则指数函数y=ax在[0,1]上单调递减;
则指数函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值分别为1和a,
又∵指数函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,
则a+1=3,解得a=2(舍去)
故答案为:
2
【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性,其中根据指数函数一定为单调函数,则最大值与最小值的和一定等于a+1,并构造出关于a的方程,是解答本题的关键.
16.定义在R上的偶函数f(x)满足:
f(x+1)=﹣f(x),且在[0,1]上是增函数,下面关于f(x)的判断:
①f(x)是周期函数;
②f(x)的图象关于直线x=1对称;
③f(x)在[1,2]上是减函数;
④f(x)在[﹣2,0]上是减函数.
其中正确的判断是①、②、③(把你认为正确的判断都填上).
【考点】函数的周期性;函数的单调性及单调区间;函数奇偶性的性质.
【专题】综合题.
【分析】化简函数f(x):
f(x+1)=﹣f(x),求出周期,判断①;利用偶函数单调性,判断②③④,推出正确结果.
【解答】解:
f(x+2)=﹣f(x+1)=f(x),所以函数f(x)是以2为周期的偶函数,所以①正确;
又函数在[0,1]上是增函数,所以②正确;③正确;④错误.
故答案为:
①、②、③.
【点评】本题考查函数的周期性,函数的单调性及单调区间,函数奇偶性的应用,考查学生分析问题解决问题的能力,是基础题.
三.解答题(共80分,答案请写入答题卷)
17.(13分)已知U=R,A={x||x﹣3|<2},B={x|(x﹣2)(x﹣4)>0},求
(1)A∩B
(2)CU(A∪B).
【考点】交、并、补集的混合运算;交集及其运算.
【专题】集合.
【分析】求出A,B中不等式的解集,确定出集合A,
(1)找出A与B的公共部分,即可求出两集合的交集;
(2)求出两集合的并集,由全集U=R,找出不属于A∪B的部分,即可确定出所求的集合.
【解答】解:
(1)∵|x﹣3|<2,
∴﹣2<x﹣3<2,
∴1<x<5,
∴A=(1,5),
B={x|(x﹣2)(x﹣4)>0}=(﹣∞,2)∪(4,+∞),
∴A∩B=(1,2)∪(4,5);
(2)∵A∪B=R,
∴CU(A∪B)=∅.
【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键.
18.(13分)已知p:
方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根,q:
方程4x2+4(m﹣2)x+1=0无实根.若“p或q”为真,“p且q”为假.求实数m的取值范围.
【考点】复合命题的真假;一元二次方程的根的分布与系数的关系.
【专题】分类讨论.
【分析】根据题意,首先求得p、q为真时m的取值范围,再由题意p,q中有且仅有一为真,一为假,分p假q真与p真q假两种情况分别讨论,最后综合可得答案.
【解答】解:
由题意p,q中有且仅有一为真,一为假,
若p为真,则其等价于
,解可得,m>2;
若q为真,则其等价于△<0,即可得1<m<3,
若p假q真,则
,解可得1<m≤2;
若p真q假,则
,解可得m≥3;
综上所述:
m∈(1,2]∪[3,+∞).
【点评】本题考查命题复合真假的判断与运用,难点在于正确分析题意,转化为集合间的包含关系,综合可得答案.
19.(14分)已知函数
.
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的奇偶性;
(3)证明f(x)在(0,1)内单调递减.
【考点】对数函数的单调性与特殊点;奇偶性与单调性的综合.
【专题】计算题;综合题.
【分析】
(1)根据分式函数分母不能为零和对数函数真数大于零求解;
(2)由
(1)知定义域关于原点对称,再分析f(﹣x)与f(x)的关系;
(3)先在给定的区间上任取两个变量,且界定其大小,再作差变形,再与零进行比较,关键是变形到位用上条件.
【解答】解:
(1)
⇔﹣1<x<0或0<x<1,
故f(x)的定义域为(﹣1,0)∪(0,1);
(2)∵
,
∴f(x)是奇函数;
(3)设0<x1<x2<1,则
∵0<x1<x2<1,∴x2﹣x1>0,x1x2>0,
(1﹣x1)(1+x2)=1﹣x1x2+(x2﹣x1)>1﹣x1x2﹣(x2﹣x1)=(1+x1)(1﹣x2)>0
∴
,
∴f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)∴f(x)在(0,1)内递减.
另解:
∴当x∈(0,1)时,f′(x)<0
故f(x)在(0,1)内是减函数.
【点评】本题主要考查函数的基本性质,涉及到定义域的求法,要注意分式函数,根式函数和基本函数的定义域;还考查了奇偶性的判断,要注意定义域,
20.函数
的定义域为(0,1](a为实数).
(Ⅰ)当a=﹣1时,求函数y=f(x)的值域;
(Ⅱ)若函数y=f(x)在定义域上是减函数,求a的取值范围;
(Ⅲ)求函数y=f(x)在x∈(0,1]上的最大值及最小值,并求出函数取最值时x的值.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数的值域;函数的单调性与导数的关系.
【专题】综合题.
【分析】(I)将a的值代入函数解析式,利用基本不等式求出函数的值域.
(II)求出导函数,令导函数大于等于0在定义域上恒成立,分离出a,构造函数,通过求函数的最小值,求出a的范围.
(III)通过对a的讨论,判断出函数在(0,1)上的单调性,求出函数的最值.
【解答】解:
(Ⅰ)显然函数y=f(x)的值域为
;
(Ⅱ)∵
在定义域上恒成立
而﹣2x2∈(﹣2,0)
∴a≤﹣2
(II)当a≥0时,函数y=f(x)在(0.1]上单调增,无最小值,
当x=1时取得最大值2﹣a;
由
(2)得当a≤﹣2时,函数y=f(x)在(0.1]上单调减,无最大值,
当x=1时取得最小值2﹣a;
当﹣2<a<0时,函数y=f(x)在
上单调减,在
上单调增,无最大值,
当
时取得最小值
.
【点评】求函数的单调性常借助导数,当导函数大于0对应的区间是函数的单调递增区间;当导函数小于0对应的区间是函数的单调递减区间.求含参数的函数的性质问题时,一般要对参数讨论.
21.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),x∈R,
(1)若f(﹣1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F(x)的表达式;
(2)在
(1)的条件下,当x∈[﹣2,2]时,g(x)=f(x)﹣kx是单调函数,求实数k的取值范围;
(3)设m>0,n<0,m+n>0,a>0且f(x)为偶函数,判断F(m)+F(n)能否大于零?
【考点】二次函数的性质.
【专题】综合题;压轴题.
【分析】
(1)f(﹣1)=0⇒a﹣b+1=0,又值域为[0,+∞)即最小值为0⇒4a﹣b2=0,求出f(x)的表达式再求F(x)的表达式即可;
(2)把g(x)的对称轴求出和区间端点值进行分类讨论即可.
(3)f(x)为偶函数⇒对称轴为0⇒b=0,把F(m)+F(n)转化为f(m)﹣f(n)=a(m2﹣n2)再利用m>0,n<0,m+n>0,a>0来判断即可.
【解答】解:
(1)∵f(﹣1)=0,
∴a﹣b+1=0①
又函数f(x)的值域为[0,+∞),所以a≠0
且由
知
即4a﹣b2=0②
由①②得a=1,b=2
∴f(x)=x2+2x+1=(x+1)2.
∴
(2)由
(1)有g(x)=f(x)﹣kx=x2+2x+1﹣kx=x2+(2﹣k)x+1=
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- 届高三 理科 数学试题 79
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