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高阶差分方程
第六章高阶差分方程
在离散时间分析中可能出现这种情况:
t期的经济变量,比如yt,不仅取决于yt-1,而且取决于yt-2。
这样便引出了二阶差分方程。
严格地讲,二阶差分方程是一个包含表达式Δ2yt,但不含高于二阶差分的方程。
Δ2yt读作yt的二阶差分。
而符号Δ2是符号d2y/dt2在离散时间情况下的对应物,表示“取二阶差分”如下:
Δ2yt=Δ(Δyt)=Δ(yt+1-yt)=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt
因此,yt的二阶差分可以转换为包含两期时滞的项的和。
因为像Δ2yt和Δyt这样的表达式写起来很麻烦,所以我们将二阶差分方程重新定义为包含变量的两期时滞的方程。
类似地,三阶差分方程为包含三期时滞的方程;等等。
我们首先集中讨论二阶差分方程的解法,然后再在后面的章节中将其推广至高阶差分方程。
为控制讨论的范围,在本章,我们仅讨论常系数线性差分方程。
但对常数项和可变项两种形式,均作考察。
具有常系数和常数项的二阶线性差分方程
一类简单的二阶差分方程的形式为:
yt+2+a1yt+1+a2y=c6.1
读者应注意到,此方程为线性、非齐次,且具有常系数(a1,a2)和常数项c的差分方程。
二阶差分方程的通解是由余函数和特别积分构成:
yt=yc+yp。
特别积分是
6.2
6.2’
6.2’’
为求出余函数,我们必须集讨论简化方程
yt+2+a1yt+1+a2y=06.3
解一阶差分方程的经验告诉我们,Abt式在这种方程的通解中起非常重要的作用。
因此,我们先试探形式为yt=Abt的解,它自然意味着yt+1=Abt+1,等等。
我们的任务便是确定A和b的值。
将试探解代入简化方程,方程变成
Abt+2+a1Abt+1+a2Abt=0
或在消去(非零)共同因子Abt后,有b2+a1b+a2=06.3’
此二阶差分方程的特征方程与二阶微分方程的特征方程具有可比性。
它具有两个特征根:
6.4
对解Abt中的b而言,上述每个根都是可接受的。
事实上,bl和b2均应在齐次差分方程的通解中出现,恰如在微分方程中的情况一样,此通解必然包括两个线性无关的部分,每一部分都有自己的任意乘积常数。
与微分方程特征根的三种情况一样,差分方程的特征根也有三种情况:
两个不相等的实数根、两个相等的实数根和一对共轭复数根。
第一种情况(不同的实根):
当a12>4a2时,b1和b2为不同的实根。
在这种情况下,b1t和b2t线性无关,余函数可以简单地写成b1t和b2t的线性组合,即yc=A1b1t+A2b2t。
6.5
第二种情况(重实根):
当a12=4a2时,特征根为重根:
b(=b1=b2)=-a1/2。
现在若将余函数表示为如不同实根时的形式,则两部分将合并为一项:
A1b1t+A2b2t=(A1+A2)bt≡A3bt此式无效,因为现在缺一个常数。
为了补上缺失的部分(我们回顾一下,这部分应与A3bt项线性无关),还需要以变量t乘bt这个老方法。
这样这个新的项可取A4tbt形式。
它与A3bt项线性无关是很明显的,因为我们永远不能给A3bt项加上一个常系数而得到A4tbt。
A4tbt像A3bt一样,确实可以作为简化方程的解这一事实,可以很容易得到验证:
只需将yt=A4tbt[和yt+1=A4(t+1)bt+1等]代入简化方程,便可以看到该方程是一个恒等式。
因此,重实根情况下的余函数为:
yc=A3bt+A4tbt6.6
例:
求下列方程的通解
(1)
;
(2)
;
(3)
解:
(1)
该方程的特别积分为:
该方程的特征方程为:
b2-10b+16=0,所以特征根为:
所以,
因此,方程的通解为
若给定y0=10和y1=36,可求出该方程的特解:
令t=0和t=1则:
按照初始条件,令y0=10和y1=36,则
A1+A2+2=10
2A1+8A2+2=36
联立方程求解A1=5和A2=3,最后把它代入通解中可得特解:
(2)
该方程的特别积分为:
该方程的特征方程为:
b2-6b+5=0,所以特征根为:
所以,
因此,方程的通解为
(3)
该方程的特别积分为:
该方程的特征方程为:
b2-2b+1=0,所以特征根为:
所以,
因此,方程的通解为
第三种情况(复数根):
当a12<4a2时,b1和b2为一对共轭复数根。
具体地,根的形式为h±vi,其中
6.7
因此,余函数变成:
yc=A1b1t+A2b2t=A1(h+vi)t+A2(h-vi)t
上式表明,解释yc并不容易。
但幸运的是,由于棣莫弗定理,此余函数很容易化为三角函数,而三角函数我们已知如何解释。
具体如下。
若将v=Rsinθ,h=Rcosθ,则共轭复数可以变换如下:
h±vi=Rcosθ±Risinθ=R(cosθ±isinθ)。
进而,由欧拉关系(即eiθ=cosθ+isinθ,e-iθ=cosθ-isinθ)可再写成h±vi=Re±iθ。
则相应地(h+vi)n=(Reiθ)n=Reinθ类似地,(h-vi)n=(Re-iθ)n=Rne-inθ。
所以(h±vi)n=[R(cosnθ±isinnθ)]n=Rn(cosnθ±isinnθ),此即为棣莫弗定理。
根据棣莫弗定理,可以写出(h±vi)t=[R(cosnθ±isinnθ)]t=Rt(costθ±isintθ)
其中,
,6.8
θ为(0,2π)内的角,以弧度度量。
它满足条件:
6.9
因此,余函数可以变换如下:
yc=A1Rt(cosθt+isinθt)+A2Rt(cosθt-isinθt)=Rt[(A1+A2)cosθt+(A1-A2)isinθt)]=Rt(A5cosθt+A6sinθt)6.10
该余函数表达式与其在微分方程中的对应物有两点重要区别。
首先,表达式cosθt和sinθt巳取代了原来使用的cosvt和sinvt。
其次,乘积因子Rt(以R为底的指数)已取代了自然指数式eht。
总之,我们已由复根的笛卡尔坐标系(h和v)转换到极坐标系(R和θ)。
一旦h和v已知,则R和θ的值可由此确定,或可由参数a1和a2直接确定。
例:
求yt+2+1/4yt=5的通解。
这里,系数a1=0和a2=1/4,这是一个a12<4a2的复根的例子。
根的实数和虚数部分分别为h=0,v=1/2。
并可得
因为θ值可满足两个方程
则θ=π/2
因而,余函数为
为求yp,我们在完备方程中尝试常数解yp=k。
这产生k=4,因此yp=4,且通解可以写成:
6.11
时间路径的收敛性
同在一阶差分方程中的情况一样。
时间路径yt的收敛性仅取决于当t→∞时,yc是否趋近于零。
因此,我们在关于t的7个区域分布图中所了解的关于bt式的各种图形仍可应用,尽管在这里我们必须考察两个特征根,而非一个特征根。
首先考察不同实根的情况:
b1≠b2。
若│b1│>1,│b2│>1,则余函数中的两项A1b1t和A2b2t将是放大的,因此yc必然是发散的。
相反,若│b1│<1,│b2│<1,当t无限增大时,yc中的两项将收敛于零,yc也将收敛丁零。
但若│b1│>1而│b2│<1,会如何呢?
在这种中间情况下,很明显,A2b2t项将会“消失”,而另一项会越来越偏离零值。
由此可知,Alb1t最终必将控制局势,并使路径发散。
我们将绝对值较大的那个根称作强根。
由此看来,实际决定时间路径的特征,至少是关于其敛散性这一特征的是强根。
实际情况也的确如此。
因此,我们可以这样表述;无论初始条件如何,当且仅当强根的绝对值小于1时,时间路径将是收敛的。
读者可以验证,在两个根的绝对值都大于1或小于1的情况下(上面讨论过),以及在一个根的绝对值恰好为1的情况下(上面未曾讨论),这个结论都是成立的。
但要注意,尽管收敛性最终仅取决于强根,但非强根也会对时间路径施加一定的影响,至少在起始阶段是如此。
因此yt的确切图形仍取决于两个根。
其次考察重根的情况,此时余函数包含项A3bt和A4tbt。
前者我们早巳熟悉,但对后者(它包含一个乘积因子)仍需做一点解释。
如果│b│>1,bt项将放大,而乘积项t随着t的增加,会进一步增强放大性。
另一方面,如果│b│<1,则bt部分(当t增加时m它趋于零)和t部分变化方向相反,即t值将会抵销而非强化bt。
那么,哪种力量更强一些呢?
答案是,bt的衰减力量总是会超过t的放大力量。
因此,在重根情况下对收敛性的基本要求仍是根的绝对值小于1。
例:
的解为:
。
其特征根分别为2和8,瞬时均衡值为2。
因为强根的绝对值大于1,所以时间路径发散。
的解为:
。
其特征根为1和5,还存在一个移动均衡3t。
因为强根的绝对值大于1,所以时间路径也发散。
现在我们考察复数根的情况。
由余函数的一般形式yc=Rt(A5cosθt+A6isinθt)。
显然可知,括号中的表达式,像连续时间状态中的表达式一样,将产生一种周期性波动形式:
但因在这里,变量t仅取整数值0,1,2,…,我们仅能捕捉并利用三角函数图形中点的子集。
在每个这样的点上,直到达到下一个相关的点以前,y值在一个完整的时期内都是有效的。
如图17.1所描述的那样,所产生的路径既不是通常的振荡形式(在紧邻的时期中,不在yp值的上下交替),也不是通常的波动形式(非平滑),而是表现出一种阶梯波动。
就收敛性而言,尽管决定性的因素实际上是Rt项,它像连续时间状态中的eht项一样,将确定阶梯波动在t增加时是得到强化,还是受到削弱。
在现在这种情况下,当且仅当R<1时,波动才能逐渐缩减。
因为根据定义,R是共扼复数根(h±vi)的绝对值,所以,收敛性的条件仍是特征根的绝对值小于1。
概言之,对于特征根的所有三种情况,无论初始条件为如何,当且仅当每个根的绝对值小于l时,时间路径将会收敛于(一个稳定的或移动的)瞬时均衡。
例yt+2+1/4yt=5和yt+2-4yt+1+16yt=0的时间路径是否收敛。
yt+2+1/4yt=5的通解为
。
这里R=1/2,所以时间路径将收敛于一个稳定均衡(=4)。
而yt+2-4yt+1+16yt=0的通解为:
,有R=4,所以时间路径不再收敛于均衡(=0)。
作业
1、写出下列每个方程的特征方程,并求出特征根:
(1)yt+2-yt+1+1/2yt=2;
(2)yt+2+1/2yt+1-1/2yt=5;
(3)yt+2-4yt+1+4yt=7;(4)yt+2-2yt+1+3yt=4
2、对上题中的每个差分方程,根据特征根判定时间路径是否包含振荡或阶梯波动,以及时间路径是否是放大的。
3、求第1题中方程的特别积分。
它们表示平稳均衡或移动均衡吗?
萨缪尔森乘数一加速相互作用模型
我们引用萨缪尔森教授的经典的相互作用模型,作为描述二阶差分方程在经济学中应用的一个例子。
此模型探索当加速原理与凯思斯乘数一起发生作用时,收入决定的动态过程。
此外,此模型还证明,仅仅是乘数和加速数的相互作用,就能够产生内生的周期性波动。
结构
假设国民收入Yt由三种支出流组成:
消费Ct;投资It;政府支出Gt。
Ct被看成上期收人Yt-1的函数,而非本期收入的函数。
为简单起见,假设Ct严格地与Yt-1成比例。
作为一个“引致”变量,投资是消费者现行支出倾向的函数。
当然.正是通过这一引致投资,加速原理才得以进入模型。
具体地,我们假设It与消费增量ΔCt-1=Ct-Ct-1成固定比例。
而第三个支出流Gt,则可视为外生变量。
事实上,我们将假设它是一个常数,并以G0表示之。
这些假定可以转换成如下方程组:
6.12
其中γ表示边际消费倾向,α表示加速数(加速系数的简写)。
因为模型中包含引致投资,我们便得到一个描述乘数与加速数相互作用的二阶差分方程。
利用第二个方程,我们可用收入将It表示如下:
将此式与Ct代入第一个方程并整理,模型可以化简为一个方程
或者等价地(将下标前移两个时期)
6.13
由于它是一个具有常系数和常数项的二阶线性差分方程,所以可用刚才学过的方法解之。
解法
作为特别积分,我们有
表达式1/(1-γ)只是一个乘数,但它只是在不存在引致投资时才成立。
因此,G0/(1-γ)(外生支出乘以乘数)应在下述意义上给出均衡收入:
此收入水平满足均衡条件“国民收入=总支出”。
然而,作为此模型的特别积分,它也给出瞬时均衡收入。
关于余函数,存在三种可能的情况。
在这里,第一种情况(不相等实根)的特征为:
γ2(1+α)2>4αγ或γ(1+α)2>4α或γ>4α/(1+α)2
类似地,要描述第二、三种情况的特征,我们只需将上面最后一个不等式中的>号分别变成=号和<号即可。
在图17.2中,我们绘出了方程y=4α/(1+α)2的图形。
根据上面的讨论,恰好位于此曲线上的(α,γ)数偶属于第二种情况。
而位于该曲线上面(包含较大的γ值)的(α,γ)数偶属于第—种情况,位于该曲线下面的(α,γ)数偶属于第三种情况。
图2
这种具有图17.2的图形表示的三重分类是重要的,因为它清楚地揭示这样一些条件,在此条件下乘数与加速数的相互作用可内生地产生周期性波动。
但这种分类并未谈及Y的时间路径的敛散性。
因此,在每一情况下,我们还需要区分衰减与放大两种子情况。
当然,我们可以通过引用一些数字例子来简单地说明这种子情况,这是处理这一问题的简单方式。
不过我们还是设法求出收敛性和发散性的一般条件;尽管这很麻烦,但却更有价值。
收敛性与发散性
该模型的差分方程具有特征方程:
b2-γ(1+α)b+αγ=0,它产生两个根:
因为收敛性与发散性取决于b1和b2的值,又因为b1和b2值取决于参数α和γ的值,所以,收敛与发散的条件应当可以用α和γ值表示。
为此,我们可以利用这一事实;两个特征根总可以通过如下两个方程联系起来:
b1+b2=γ(1+α)6.15
b1b2=αγ6.15’
在这两个方程的基础上,我们可以观察到
(1-b1)(1-b2)=1-(b1+b2)+b1b2=1-γ(1+α)+αγ=1-γ6.16
鉴于模型设定0<γ<1,有必要对这两个根施加条件0<(1-b1)(1-b2)<16.17
现在,我们来考察第一种情况下的收敛性问题,其中两个根为不同的实根。
因为根据假设,α和γ均为正,这表明b1b2>0,这意味着b1和b2具有相同的代数符号。
进而,因为γ(1+α)>0,所以,表明b1和b2必为正。
因此,在第一种情况下,时间路径yt不会产生振荡。
尽管已知b1和b2的符号,但在第一种情况下至少存在5种(b1,b2)值的组合,每种组合关于α和γ的对应值如下:
(i)0<b2<b1<1→0<γ<1;αγ<1
(ii)0<b2<b1<1→γ=1
(iii)0<b2<1<b1→γ>1
(iv)1=b2<b1→γ=1
(v)1<b2<b1→0<γ<1;αγ>1
i可能性(其中b1和b2为正分数)完全满足条件0<(1-b1)(1-b2)<1,并与模型设定0<γ<l一致。
在此可能性下,两根之积必然也为正分数,这意味着αγ<1。
相反,下面的三种可能性都违背条件0<(1-b1)(1-b2)<1,并产生不可接受的γ值,因此,必须将它们排除掉。
但可能性v是可接受的。
由于b1和b2均大于1,0<(1-b1)(1-b2)<1仍然得到满足,但这次,由关于b1和b2乘积取值的公式,我们有αγ>1(而非αγ<1)。
结果在第一种情况下,只有两种可接受的子可能性。
第一种子可能性(可能性i)包含分数根b1和b2,因而产生了y的一个收敛时间路径。
另一种子情况(可能性v)的根大于1,因而产生一个发散的时间路径。
但就α和γ的值而言,收敛性与发散性的问题仅取决于αγ<1还是αγ>1。
这个结论概括在下表中最上面的部分,其中收敛的子情况标为1C,发散的子情况标为1D。
对于第二种情况——重根的分析,实质是类似的。
现在根为b=γ(1+α)/2,其符号为正,因为α和γ均为正。
因此仍然不存在振荡。
这里我们只需将b值分为三种可能性:
(vi)0<b<1→γ<1;αγ<1
(vii)b=1→γ=1
(viii)b>1→γ<1;αγ>1
在可能性vi,b(=b1=b2)为正分数,因此,关于α和γ的含义与第一种情况下可能性i的情形完全一致。
与此类似,可能性viii(其b(=b1=b2)大于1)与可能性v的结果相同。
而可能性vii违背0<(1-b1)(1-b2)<1,必须被排除,所以只有两种可接受的子情况。
第一种子情况(可能性vi)产生一个收敛的时间路径,而另一种子情况(可能性viii)则产生一个发散的时间路径。
关于α和γ,收敛与发散的子情况仍然是分别与αγ<1和αγ>1相联系的。
这些结论列在下表的中部,其中两种子情况分别标为2C(收敛)和2D(发散)。
表1萨缪尔森模型的各种可能情形
情况
子情况
α和γ的值
时间路径Yt
1不同的实根
1C:
0<b2<b1<1
αγ<1
非振荡与非波动
1D:
0<b2<b1
αγ>1
2重实根
2C:
0<b
αγ<1
非振荡与非波动
2D:
b>1
αγ>1
3复根
3C:
R<1
αγ<1
具有阶梯波动
3D:
R≥1
αγ≥1
最后,在第三种(复根)情况下,我们得到阶梯波动,因而具有内生的商业周期。
在此情况下,我们应当考察绝对值
作为判定收敛性与发散性的线索,而a2则是差分方程中yt项的系数,在本模型中,我们有
,它产生如下三种可能性:
(ix)R<1→αγ<1
(x)R=1→αγ=1
(xi)R>1→αγ>1
尽管上述几种可能性都是可接受的,但仅有R<1这种可能性具有收敛的时间路径,在表中列为子情况3C。
而另外两种情况在上表中一并标为子情况3D。
总之,由上表我们可以得出结论:
当且仅当αγ<1时,可以得到收敛的时间路径。
用图形小结上述分析结果
上述分析采用了较为复杂的情况与子情况的分类方式。
如果我们有更为直观的分类图形表示,则会有很大的帮助。
图2便提供了这种图形表示。
在图2中,模型中所有可接受的有序偶(α和γ)的集合以各种不同的阴影矩形面积来表示。
因为要排除γ=0和γ=1的值,正如要排除到α=0的一样,所以阴影的面积是一种无边的矩形。
我们已绘出方程γ=4α/(1+α)2的图形,以区分表1中的三种主要情况:
在曲线上的点属于第一种情况;位于曲线北面上的点(表示较大的γ值)属于第二种情况;位于曲线南面的点(表示较小的γ值)则属于第三种情况。
为区别收敛与发散的子情况,我们现在加上αγ=1的图形(等轴双曲线〕,作为另一条分界线。
位于该等轴双曲线北面的点满足不等式αγ>1,而位于该曲线下面的点则对应于αγ<1。
这样就可能很容易区分子情况了。
在第一种情况下,位于双曲线下面的虚线阴影区域,对应于子情况1C,而实线阴影区域则与子情况1D相联系。
在第二种情况下,即点位于曲线γ=4α/(1+α)2的情况下,子情况2C包括该曲线向上倾斜的部分,而子情况2D则对应该曲线向下倾斜的部分。
最后,对于第三种情况,等轴双曲线用于区分小点阴影区域(子情况3c)和小石子阴影区域(子情况3D)。
其中3D也包含位于等轴双曲线上的点本身,因为设定的是弱不等式αγ≥1。
因为图2包含了模型中所有定性的结论,所以如果给定任意有序偶(α,γ),通过在图形中绘出该有序偶,我们总可以在图形上找到正确的子情况。
例1若加速数为0.8,边际消费倾向为0.7,会产生何种相互作用的时间路径?
有序偶(0.8,0.7)位于小点阴影区域内,属于子情况3C,因此时间路径以衰减的阶梯波动为特征。
例2α=2和γ=0.5表明哪类相互作用的时间路径?
有序偶(2,0.5)恰好位于等轴双曲线上,属于子情况3D。
Y的时间路径仍表现出阶梯波动,但它既非放大,亦非衰减。
将其与均匀振荡和均匀波动的情形相比较,我们可以将这种情形称之为“均匀阶梯波动”。
但是,后一种情况下的均匀特征一般不能期望它是完美的,因为类似于图1中的图形,我们只能采纳那些对应于t的整数值的在正弦或余弦曲线上的点,但在每一波动周期中,这些t值可能会碰到曲线上完全不同的点。
1、参见图17.2,求下列每组α和γ值所属的子情况,并定性地描述相互作用的时间路径。
(1)α=3.5,γ=0.8;
(2)α=0.2,γ=0.9;
(3)α=2,γ=0.7;(4)α=1.5,γ=0.6;
2、由上题
(1)和(3)部分所给出的α和γ值,求每一情况下特征根的数值,并分析时间路径的性质。
你的结果与前面获得的结果一致吗?
3、验证第一种情况下的可能性ii,iii和iv,意味着不可接受的γ值。
4、证明在第三种情况下,我们不会遇到γ≥1的情形。
离散时间条件下的通货膨胀与失业
前面在连续时间框架下讨论的通货膨胀与失业的相互作用,也可以在离散时间条件下加以表达。
在本节,我们将使用基本相同的假设,描述如何将模型重构为差分方程模型。
模型
前面的连续时间公式由三个微分方程构成
p=α-T-Βu+hπ(预期增加的菲力普斯关系)
dπ/dt=j(p-π)(适应性预期)
dU/dt=-k(m-p)(货币政策)
三个内生变量均为现值:
p(实际通货膨胀率),π(预期通货膨胀率),U(失业率)。
在模型中出现6个参数,参数m(名义货币增长率,或者货币扩张率)与其它参数的不同之处在于其大小是由政策决定的。
当把上述方程纳入时期分析模式时,菲利普斯关系变成:
pt=α-T-βUt+hπt(α,β>0;0<h≤1)6.17
在适应性预期方程中,导数必然为差分方程所取代:
πt+1-πt=j(pt-πt)(0<j≤1)6.18
同理,货币政策也将变成
Ut+1-Ut=-k(m-pt+1)(k>0)6.19
这三个方程构成了通货膨胀——失业模型的新形式。
以p为变量的差分方程
作为分析新模型的第一步,我们仍设法将模型化简为一个具有单一变量的方程。
令该变量为p。
相应地,我们把注意力集中于新的菲利普斯关系。
但是,因为这个方程不同于其它两个方程,它本身不能描述一种变化模式,因而需要我们来创造这样一种模式。
我们可以通过对pt取差分,即取pt的一阶差分来做到这一点。
根据定义
Δpt≡pt+1-pt
取一阶差分需要两个步骤:
首先,将菲利普斯关系公式中的时间下标前移一个时期,得到
pt+1=α-T-βUt+1+hπt+16.17’
然后用pt+1减pt,可得到pt的一阶差分,它能够描述所需的变化模式:
pt+1-pt=-β(Ut+1+Ut)+h(πt+1-πt)
=βk(m-pt+1)+hj(pt-πt)6.20
注意在(6.20)的第二行,(6.18)和(6.19)的变化模式都已被纳入到p变量的变化模式中去了。
因此,该式包容了本模型的所有信息。
但是,πt项对p研究无关紧要,需将其从上述方程中剔除。
为此,我们利用这一事实
hπt=pt-(α-T)+βUt6.21
将该式代入上式,合并同类项,得到
(1+βk)pt+1-[1-j(1-h)]pt+jβUt=βkm+j(α-T)6.22
但现在又出现了一个有待于删除的Ut项。
为此,差分(6.22)以得到(Ut+1-Ut)项,然后再利用(6.19)消去(Ut+1-Ut)。
只有经过这样一个冗长的代换过程,我们才能得到所求的仅含p变量的差分方程,经过标准化后,其形式为
6.23
p的时间路径
由该标准化的差分方程给出的p的瞬时均衡值为
因此,同连续时间模型中的情况一样,均衡的通货膨胀率恰好等于货币扩张率。
至于余函数,依a12和4a2的相对大小而定,会产生不同的实根(第一种情况),重根(第二种情况).或者复根(第三种情况)。
在本模型中
6.24
比如,如果h=1/2,j=1/3,βk=5,则
,而4a2=
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