第一章第4讲简单的逻辑联结词全称量词与存在量词.docx
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第一章第4讲简单的逻辑联结词全称量词与存在量词
第2讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1.简单的逻辑联结词
(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”.
(2)命题p∧q、p∨q、¬p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
¬p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称命题和特称命题
(1)全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有些、某些等
∃
(2)全称命题和特称命题
名称
形式
全称命题
特称命题
结构
对M中任意一个x,有p(x)成立
存在M中的一个x0,使p(x0)成立
简记
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,p(x0)
否定
∃x0∈M,¬p(x0)
∀x∈M,¬p(x)
1.注意两类特殊命题的否定
(1)注意命题是全称命题还是特称命题,是正确写出命题的否定的前提.
(2)注意命题所含的量词,对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词,再进行否定.
2.含逻辑联结词命题真假的判断方法
(1)p∧q中一假即假.
(2)p∨q中一真必真.(3)¬p真,p假;¬p假,p真.
1.若命题“p或q”与命题“非p”都是真命题,则( )
A.命题p不一定是假命题B.命题q一定是真命题
C.命题q不一定是真命题D.命题p与命题q同真同假
2.命题p:
∀x∈N,x2>x3的否定是( )
A.∃x0∈N,x
>x
B.∀x∈N,x2≤x3C.∃x0∈N,x
≤x
D.∀x∈N,x2 3.下列命题是真命题的是( ) A.所有的素数都是奇数B.∀x∈R,x2+1≥0 C.对于每一个无理数x,x2是有理数D.∀x∈Z, ∉Z 4.已知命题p: ∃x0∈R,使sinx0= ;命题q: ∀x∈R,都有x2+x+1>0.给出下列结论: ①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(¬q)”是假命题;③命题“(¬p)∨q”是真命题; ④命题“(¬p)∨(¬q)”是假命题,其中正确的是________(把所有正确结论的序号都填上). 全称命题、特称命题(高频考点) (1)设命题p: ∃n∈N,n2>2n,则 ¬p为( ) A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n (2)下列命题中的假命题为( ) A.∀x∈R,ex>0B.∀x∈N,x2>0C.∃x0∈R,lnx0<1D.∃x0∈N*,sin =1 角度一 判断全称命题、特称命题的真假性 1.有下列四个命题,其中真命题是( ) A.∀n∈R,n2≥nB.∃n∈R,∀m∈R,m·n=m C.∀n∈R,∃m∈R,m2 角度二 全称命题、特称命题的否定 2.命题“对任意x∈R,都有x2≥ln2”的否定为( ) A.对任意x∈R,都有x2 C.存在x0∈R,使得x ≥ln2D.存在x0∈R,使得x 含有逻辑联结词的命题的真假判断[学生用书P12] 已知命题p: ∀x∈R,x+ ≥2;命题q: ∃x∈ ,使sinx+cosx= , 则下列命题中为真命题的是( ) A.(¬p)∧q B.p∧(¬q)C.(¬p)∧(¬q)D.p∧q 已知命题p: ∃x0∈R,使tanx0=1,命题q: x2-3x+2<0的解集是{x|1 现有以下结论: ①命题“p且q”是真命题;②命题“p且¬q”是假命题; ③命题“¬p或q”是真命题;④命题“¬p或¬q”是假命题.其中正确的是( ) A.②③B.①②④C.①③④D.①②③④ 由命题的真假确定参数的取值范围[学生用书P12] 已知命题p: 关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题q: 关于x的函数y=2x2+ax+4 在[3,+∞)上是增函数.若p∨q是真命题,则实数a的取值范围是________. (1)在本例条件下,若p∧q为真命题,求实数a的取值范围. (2)在本例条件下,若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围. (3)在本例条件下,若¬p为真命题,求实数a的取值范围. 已知p: ∃x∈R,mx2+1≤0,q: ∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q为假命题, 则实数m的取值范围为( )A.m≥2 B.m≤-2C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2 ——分类讨论思想求解命题中的参数 已知c>0,且c≠1,设p: 函数y=cx在R上单调递减;q: 函数f(x)=x2-2cx+1在 上为增函数,若“p且q”为假,“p或q”为真,求实数c的取值范围. 命题p: ∀x∈R,ax2+ax+1≥0,若¬p是真命题,则实数a的取值范围是( ) A.(0,4] B.[0,4]C.(-∞,0]∪[4,+∞)D.(-∞,0)∪(4,+∞) 1.已知命题p: ∀x∈R,ex-x-1>0,则¬p为( )A.∀x∈R,ex-x-1<0 B.∃x0∈R,ex0-x0-1≤0C.∃x0∈R,ex0-x0-1<0D.∀x∈R,ex-x-1≤0 2.命题“∃x0∈R,x -2x0+1<0”的否定是( ) A.∃x0∈R,x -2x0+1≥0B.∃x0∈R,x -2x0+1>0 C.∀x∈R,x2-2x+1≥0D.∀x∈R,x2-2x+1<0 3.设非空集合A,B满足A⊆B,则以下表述一定正确的是( ) A.∃x0∈A,x0∉B B.∀x∈A,x∈BC.∀x∈B,x∉AD.∀x∈B,x∈A 4.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A.锐角三角形有一个内角是钝角B.至少有一个实数x,使x2≤0 C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x, >2 5.下列命题中的假命题是( ) A.∃x0∈R,lgx0=0B.∃x0∈R,tanx0= C.∀x∈R,x3>0D.∀x∈R,2x>0 6.已知命题p: ∃x∈R,log2(3x+1)≤0,则( ) A.p是假命题;¬p: ∀x∈R,log2(3x+1)≤0B.p是假命题;¬p: ∀x∈R,log2(3x+1)>0 C.p是真命题;¬p: ∀x∈R,log2(3x+1)≤0D.p是真命题;¬p: ∀x∈R,log2(3x+1)>0 7.已知命题p: ∀x∈R,2x<3x;命题q: ∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是( ) A.p∧qB.(¬p)∧qC.p∧(¬q)D.(¬p)∧(¬q) 8.已知命题p: 若x>y,则-x<-y;命题q: 若x>y,则x2>y2. 在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是( ) A.①③B.①④C.②③D.②④ 9.若命题“∃x0∈R,x +(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是( ) A.[-1,3]B.(-1,3)C.(-∞,-1]∪[3,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞) 10.已知命题p: “x>3”是“x2>9”的充要条件,命题q: “a2>b2”是“a>b”的充要条件,则( ) A.p∨q为真B.p∧q为真C.p真q假D.p∨q为假 11.已知命题p: ∃x∈R,x2+1<2x;命题q: 若mx2-mx+1>0恒成立,则0 A.“¬p”是假命题B.q是真命题C.“p∨q”为假命题D.“p∧q”为真命题 12.下列结论中错误的是( ) A.命题“若p,则q”与命题“若¬q,则¬p”互为逆否命题 B.命题p: ∀x∈[0,1],ex≥1;命题q: ∃x0∈R,x +x0+1<0,则p∨q为真 C.“若am2>bm2(m∈R),则a>b”的逆命题为真命题 D.若p∨q为假命题,则p,q均为假命题 13.命题“∃x0∈ ,tanx0>sinx0”的否定是________. 14.若“∀x∈ ,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为________. 15.已知命题p: ∀x∈R,x2-a≥0,命题q: ∃x0∈R,x +2ax0+2-a=0. 若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围为________. 16.下列结论: ①若命题p: ∃x∈R,tanx=1;命题q: ∀x∈R,x2-x+1>0.则命题“p∧(¬q)”是假命题;②已知直线l1: ax+3y-1=0,l2: x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是 =-3; ③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”. 其中正确结论的序号为________. 17.已知命题p1: ∀x∈(0,+∞),3x>2x,p2: ∃θ∈R,sinθ+cosθ= , 则在命题q1: p1∨p2;q2: p1∧p2;q3: (¬p1)∨p2和q4: p1∧(¬p2)中,真命题是________. 18.已知a>0,设命题p: 函数y=ax在R上单调递减,q: 函数y= 且y>1恒成立,若p∧q为假,p∨q为真,求a的取值范围. 第4讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 [学生用书P10]) 1.简单的逻辑联结词 (1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”. (2)命题p∧q、p∨q、¬p的真假判断 p q p∧q p∨q ¬p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2.全称命题和特称命题 (1)全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 ∃ (2)全称命题和特称命题 名称 形式 全称命题 特称命题 结构 对M中任意一个x,有p(x)成立 存在M中的一个x0,使p(x0)成立 简记 ∀x∈M,p(x) ∃x0∈M,p(x0) 否定 ∃x0∈M,¬p(x0) ∀x∈M,¬p(x) 1.注意两类特殊命题的否定 (1)注意命题是全称命题还是特称命题,是正确写出命题的否定的前提. (2)注意命题所含的量词,对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词,再进行否定. 2.含逻辑联结词命题真假的判断方法 (1)p∧q中一假即假. (2)p∨q中一真必真. (3)¬p真,p假;¬p假,p真. 1.若命题“p或q”与命题“非p”都是真命题,则( ) A.命题p不一定是假命题 B.命题q一定是真命题 C.命题q不一定是真命题 D.命题p与命题q同真同假 [答案]B 2. 命题p: ∀x∈N,x2>x3的否定是( ) A.∃x0∈N,x >x B.∀x∈N,x2≤x3 C.∃x0∈N,x ≤x D.∀x∈N,x2 C [解析]因为命题∀x∈M,p(x)的否定是∃x0∈M,¬p(x0),故选C. 3. 下列命题是真命题的是( ) A.所有的素数都是奇数 B.∀x∈R,x2+1≥0 C.对于每一个无理数x,x2是有理数 D.∀x∈Z, ∉Z B [解析]对于A,2是素数,但2不是奇数,A假;对于B,∀x∈R,总有x2≥0,则x2+1≥0恒成立,B真;对于C, 是无理数,( )2=π还是无理数,C假;对于D,1∈Z,但 =1∈Z,D假,故选B. 4.已知命题p: ∃x0∈R,使sinx0= ;命题q: ∀x∈R,都有x2+x+1>0.给出下列结论: ①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(¬q)”是假命题;③命题“(¬p)∨q”是真命题;④命题“(¬p)∨(¬q)”是假命题,其中正确的是________(把所有正确结论的序号都填上). [解析]因为对任意实数x,|sinx|≤1,而sinx0= >1,所以p为假;因为x2+x+1=0的判别式Δ<0, 所以q为真.故②③正确. [答案]②③ 全称命题、特称命题(高频考点)[学生用书P11] 全称命题与特称命题是高考的常考内容,多与其他数学知识相结合命题,以选择题、填空题的形式出现. 高考对全称命题、特称命题的考查主要有以下两个命题角度: (1)判断全称命题、特称命题的真假性; (2)全称命题、特称命题的否定. [典例引领] (1)(2015·高考全国卷Ⅰ)设命题p: ∃n∈N,n2>2n,则 p为( ) A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n (2)下列命题中的假命题为( ) A.∀x∈R,ex>0B.∀x∈N,x2>0 C.∃x0∈R,lnx0<1D.∃x0∈N*,sin =1 【解析】 (1)因为“∃x∈M,p(x)”的否定是“∀x∈M, p(x)”,所以命题“∃n∈N,n2>2n”的否定是“∀n∈N,n2≤2n”.故选C. (2)对于选项A,由函数y=ex的图象可知,∀x∈R,ex>0,故选项A为真命题;对于选项B,当x=0时,x2=0,故选项B为假命题;对于选项C,当x0= 时,ln =-1<1,故选项C为真命题;对于选项D,当x0=1时,sin =1,故选项D为真命题.综上知选B. 【答案】 (1)C (2)B (1)全、特称命题的真假判断方法 ①要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判断全称命题是假命题,只要能找出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). ②要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x=x0,使p(x0)成立即可,否则,这一特称命题就是假命题. (2)全称命题与特称命题的否定 一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论,而一般命题的否定只需直接否定结论即可. [题点通关] 角度一 判断全称命题、特称命题的真假性 1.有下列四个命题,其中真命题是( ) A.∀n∈R,n2≥n B.∃n∈R,∀m∈R,m·n=m C.∀n∈R,∃m∈R,m2 D.∀n∈R,n2 B [解析]对于选项A,令n= 即可以验证其不正确;对于选项C、选项D,可令n=-1加以验证,均不正确,故选B. 角度二 全称命题、特称命题的否定 2.命题“对任意x∈R,都有x2≥ln2”的否定为( ) A.对任意x∈R,都有x2 B.不存在x∈R,使得x2 C.存在x0∈R,使得x ≥ln2 D.存在x0∈R,使得x D [解析]按照“任意”改“存在”,结论变否定的模式,应该为存在x0∈R,使得x 含有逻辑联结词的命题的真假判断[学生用书P12] [典例引领] (2017·云南昆明一中考前强化)已知命题p: ∀x∈R,x+ ≥2;命题q: ∃x∈ ,使sinx+cosx= ,则下列命题中为真命题的是( ) A.(¬p)∧q B.p∧(¬q) C.(¬p)∧(¬q)D.p∧q 【解析】 在命题p中,当x<0时,x+ <0,所以命题p为假命题,所以¬p为真命题;在命题q中,sinx+cosx= sin ,当x= 时,sinx+cosx= ,所以q为真命题,故选A. 【答案】 A (1)判断含有逻辑联结词的命题真假的步骤 ①先判断简单命题p,q的真假. ②再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假. (2)含逻辑联结词命题真假的等价关系 ①p∨q真⇔p,q至少一个真⇔(¬p)∧(¬q)假. ②p∨q假⇔p,q均假⇔(¬p)∧(¬q)真. ③p∧q真⇔p,q均真⇔(¬p)∨(¬q)假. ④p∧q假⇔p,q至少一个假⇔(¬p)∨(¬q)真. ⑤¬p真⇔p假;¬p假⇔p真. (2017·西安模拟)已知命题p: ∃x0∈R,使tanx0=1,命题q: x2-3x+2<0的解集是{x|1 ①命题“p且q”是真命题; ②命题“p且¬q”是假命题; ③命题“¬p或q”是真命题; ④命题“¬p或¬q”是假命题. 其中正确的是( ) A.②③B.①②④ C.①③④D.①②③④ D [解析]因为命题p: ∃x0∈R,使tanx0=1为真命题,命题q: x2-3x+2<0的解集是{x|1 由命题的真假确定参数的取值范围[学生用书P12] [典例引领] 已知命题p: 关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题q: 关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数.若p∨q是真命题,则实数a的取值范围是________. 【解析】 若命题p是真命题,则Δ=a2-16≥0,即a≤-4或a≥4;若命题q是真命题,则- ≤3,即a≥-12.因为p或q是真命题,所以a∈R,即a的取值范围是(-∞,+∞). 【答案】 (-∞,+∞) (1)在本例条件下,若p∧q为真命题,求实数a的取值范围. (2)在本例条件下,若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围. (3)在本例条件下,若¬p为真命题,求实数a的取值范围. [解] (1)因为p∧q为真,所以p和q均为真, 所以a的取值范围是[-12,-4]∪[4,+∞). (2)由p∨q是真命题,p∧q是假命题知,命题p和q一真一假.若p真q假,则a<-12;若p假q真,则-4 (3)因为¬p为真命题,所以p为假命题,
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