完整版概率论与数理统计复习题带答案讲解.docx
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完整版概率论与数理统计复习题带答案讲解
;第一章
一、填空题
1.若事件AB且P(A)=0.5,P(B)=0.2,贝UP(A—B)=(0.3)。
2.甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为0.7,乙击中敌机的概率为
0.8.求敌机被击中的概率为(0.94)。
3.设A、E、C为三个事件,则事件A,B,C中不少于二个发生可表示为
(ABACBC)。
4.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,
0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为(0.496)。
5.某人进行射击,每次命中的概率为0.6独立射击4次,则击中二次的概率为
(0.3456)。
6.设A、B、C为三个事件,则事件A,B与C都不发生可表示为(ABC)。
7.设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中不多于一个发生可表示为
(ABIACIBC);
8.若事件A与事件B相互独立,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,贝UP(A|B)=(0.5);
9.甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5.求
敌机被击中的概率为(0.8);
10.若事件A与事件B互不相容,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,贝UP(AB)=(0.5)
11.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的概率依次为0.8,0.8,
0.7,则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为(0.864)。
12.若事件AB且P(A)=0.5,P(B)=0.2,贝UP(AB)=(0.3);
13.若事件A与事件B互不相容,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,贝UP(AB)=(0.5)
14.A、B为两互斥事件,则AUB(S)
15.A、B、C表示三个事件,则A、B、C恰有一个发生可表示为
(ABCABCABC)
16.若P(A)0.4,P(B)0.2,P(AB)0.1则P(AB|AUB)(0.2)
17.A、B为两互斥事件,则AB=(S)
1
18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成,则一次就能打开保险箱的概率为
(1)。
10000
二、选择填空题
1.对掷一骰子的试验,在概率中将“出现偶数点”称为(D)
A、样本空间B、必然事件C、不可能事件D、随机事件
2.某工厂每天分3个班生产,A表示第i班超额完成任务(i1,2,3),那么至少有两个班超
额完成任务可表示为(B)
CAiUA2UA3D
A1A2A3
5.
A、
6.
A、
(A)A
B是C的子事件;
(B)ABC;或ABC;
(C)AB是C的子事件;
(D)
C是AB的子事件
如果A、
B互不相容,则(|
C
)
A、
A与E是对立事件
B、
AUB是必然事件
C、
AUB是必然事件
D、
A与B互不相容
若AB
,则称A与B(
B
)
相互独立
B、互不相容
C、对立
D、构成完备事件组
若AB
,则(C)
3•设当事件A与B同时发生时
C也发生,则(C).
4.
A与B是对立事件
、AUB是必然事件
B
AUB是必然事件
、A与B互不相容
7.
A、E为两事件满足
B,则一定有(B
A、
B、AB
、AB
AA1A2A3AA2A氏A2A
A1A2A3A1A2A3A1A2A3A1A2A3
B表示(D
D、至少一人射中
P(A1|D)
P(A)P(D|A)
3
P(A)P(D|A)
i1
0.010.5
0.010.50.020.40.030.1
甲、乙两人射击,A、E分别表示甲、乙射中目标,贝U
A、两人都没射中E、两人都射中C、至少一人没射中
三、计算题
1.用3台机床加工同一种零件,零件由各机床加工的概率分别为0.4,0.4,0.2;各机床加工的零
件的合格品的概率分别为0.92,0.93,0.95,求全部产品的合格率.
解:
设B表示产品合格,Ai表示生产自第i个机床(i1,2,3)
3
P(B)P(A)P(B|A)0.40.920.40.930.20.95
i1
2.设工厂A、B和C的产品的次品率分别为1%、2%和3%,A、B和C厂的产品分别占50%、
40%和10%混合在一起,从中随机地抽取一件,发现是次品,则该次品属于A厂生产的概率是
多少?
解:
设D表示产品是次品,A,A2,A3表示生产自工厂A、B和C
3•设某批产品中,甲,乙,丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%,各厂的产品的次品率分
别为4%,2%,5%,现从中任取一件
(1)求取到的是次品的概率
⑵经检验发现取到的产品为次品,求该产品是甲厂生产的概率.解:
设D表示产品是次品,A|,A?
A5表示生产自工厂甲,乙,丙
3
P(D)P(A)P(D|A)0.450.040.350.020.20.050.026
i1
P(Ai|D)
P(A)P(DIAi)0.450.049
P(D)13
4•某工厂有三个车间,生产同一产品,第一车间生产全部产品的60%第二车间生产全部
产品的30%第三车间生产全部产品的10%各车间的不合格品率分别为0.01,0.05,0.04,
任取一件产品,试求抽到不合格品的概率?
解:
设D表示产品是不合格品,A1,A2,As表示生产自第一、二、三车间
3
P(D)P(A)P(D|AJ0.60.010.30.050.10.040.025
i1
5.设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机地抽取一件,发现是次品,则该次品属于A厂生产的概率是多少?
解:
设D表示产品是次品,A,,A2表示生产自工厂A和工厂B
P(A1|D)
P(AJP(D|A)
P(A)P(D|Ai)
i1
0.010.6
0.010.60.020.4
6•在人群中,患关节炎的概率为10%,由于检测水平原因,真的有关节炎能够检测出有关节炎的概率为85%.真的没有而检测出有的概率为4%,假设检验出其有关节炎,问他真有关节炎的概率是多少?
解:
设A表示检验出其有关节炎,B表示真有关节炎
P(B|A)
P(B)P(A|B)
P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)
0.10.85
0.10.850.90.04
0.7025
一、填空题
1.已知随机变量X的分布律为:
X101
P0.10.40.5
,则P{X2
0}
0.4
的概率密度函数为
1,1x4f(x)3
0,其他
1.5
3•设随机变量X~B(5,0.3),则E(X)为(
设随机变量X~B(6,0.2)
分布律为
kk6k
P{X=k}=C60.20.8-,k=0,1,L6
5.
X
已知随机变量X的分布律为:
一
P
设随机变量X
f(x)
3e3x,
0,
0.10.4
的分布函数为F(x)1
0,
当x0,当x0.
0.5
则P{X
3x
当x0,
当x0.
1}
(0.6
的概率密度函数
设随机变量X~N(,2),则随机
X~N(0,1)
8.已知离散型随机变量X的分布律为
X
2
1
0
13
P
3a
1/6
3a
a11/30
)
则常数
a(1/15);
A
9.设随机变量X的分布律为:
P{Xk}沪
1,2,
10.则常数A(1
10.设离散型随机变量
X的分布律为
P0.20.50.3
,F(x)为X的分布函数,
则F
(2)=
(
0.7);
5x
5e,
x0
11.
已知随机变量
X的概率密度为f(X)
则X的分布函数为
0,
x0
5x—
1-e,x0
(
F(x)
)
0,x0
1357
12.已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值,相应概率依次为,一,,,则常数
2c4c8c16c
C(16/37).
13.已知X是连续型随机变量,密度函数为px,且px在x处连续,Fx为其分布函
数,贝UFx=(
P(x)
14.X是随机变量,其分布函数为Fx,则X为落在a,b内的概率
PaXb(F(b)-F(a))。
15.
x2
已知X是连续型随机变量,a为任意实数,则PXa
16.已知X是连续型随机变量,且X〜N0,1,则密度函x=(
17.已知X是连续型随机变量,密度函数为px,PaX
b
(aP(x)dx)。
a0.3,则
18•已知X是连续型随机变量,且X〜N0,1,x是X的分布函数,若
0.6826)。
a(0.7)。
19.设随机变量X~N(6,4),且已知
(1)0.8413,则P{4X8}(
20•已知X是连续型随机变量,且X〜Ua,b,则密度函数为
1
)。
.axbf(x)b-a
0,其他
、选择填空题
1.三重贝努力试验中,至少有一次成功的概率为
1
A.-
4
1
B.-
3
37
,则每次试验成功的概率为
64
3
C.—
2
D.-
3
(A)
2.设随机变量
X的密度函数fx
C
2,x
1x
0,其他
0,1
,则常数C为(C
A.
C.-
3.
2
,则概率
P{X
A.
有关
B.
与有关,与
无关
C.与有关,与无关
D.仅与k有关
4.已知随机变量的分布率为
X
-1
0
1
2
P
0.1
0.2
0.3
0.4
F(x)为其分布函数,则F(3)=(C)。
2
A.0.1
B.
0.3
C.0.6
D.1.0
5.已知X〜N0,1
,丫:
=2X
1,
则丫〜(B)o
A.N0,1
B.
N
1,4
C.N1,3
D.N1,1
6.已知随机变量X的分布率为
X
0
1
2
3
P
0.1
0.1
0.2
0.6
则P(X2)(D)。
A.0.1B.0.2C.0.4D.0.6
7.在相同情况下,独立地进行5次射击,每次射击时,命中目标的概率为0.6,则击中目标的次数
X的概率分布率为(A)o
A.二项分布B(5,0.6)B.泊松分布P(5)C.均匀分布U0.6,5D.正态分布
1.
axb
&pxba,是(C)分布的概率密度函数.
0,其他
A.指数
B.二项
C.
均匀
D.泊松
三、计算题
1.设随机变量X~
N(1,4),求:
F
(5)和
P{0X
1.6}o
(0.2)0.5793,
(0.3)0.6179,
(0.4)
(0.6554),
(0.5)0.6915
(0)0.5,
(1)0.8413,
(2)0.9772,(3)0.9987
解:
F(5)
P{X
X151
5}P{--丁}⑵0.9772
22
P{0
X
1.6}
01—1161
P{22.2}(0.3)(0.5)(0.3)(0.5)1
0.3094
2.设X:
N(3,42),求P{4X
8},P{0
X5}
(可以用标准正态分布的分布函数表示)
P{4X
8}
〜43X3
83
“5、
“1、
P{-
44
4}
(5)
(1)
P{0X
5}
严03X3
'44
543}
(0.5)
(0.75)(0.5)(0.75)1
3•设随机变量X~N(2,
2),且P{2X
4}
0.3,求P{X0}o
22
X242
2
P{2X4}P{-
}
()
(0)0.3
(2)0.8
X20
22
2
P{X0}P{
}()1
()
0.2
4•设随机变量X的分布律为
X
-1
-2
0
1
1
1
1
1
Pi
4
3
12
3
2
求丫X-1的分布律。
X
-1-201
Pi
1111
43123
YX2-1
03-10
Y
-103
Pi
171
12123
5•某工厂生产螺栓和垫圈,螺栓直径(以毫米计)
9
X:
N(10,0.22),垫圈直径(以毫米计)
Y:
N(10.5,0.22),X,Y相互独立,随机的选一只垫圈和一个螺栓,求螺栓能装入垫圈的概率。
解:
XY:
N(0.5,20.22)
P{XY}
P{XY0}
P{
XY0.5
0.2J2
00.5}
0.2一2}
(1.768)
6.设随机变量X的概率分布率如下表
X
1
2
3
Pk
12
55
求X的分布函数和P{X}。
42
55
解:
卩仃X-}P{X2}
7•设随机变量Y的概率密度函数为
0.2,(1y0)
0.2cy,(0y1),求
(1)常数c;
0,(其他)
⑵P{0Y
0.5}o
解:
(1)
p(y)dy
0
10.2dy
1
0(°2
cy)dy0.2
c
0.2—1
2
1.2
(2)P{0
0.5}
0.5
0(0.21.2y)dy
0.20.50.6
0.250.25
第三章
一、填空题
1•设连续型随机变量
X,Y的概率密度分别为
fx(x),fY(y),
且X与Y相互独立,则(X,Y)的
概率密度
f(x,y)
fx(x)fY(y)
2.已知
X~N(
22
1,3),Y〜N(1,4)
X与丫相互独立,贝yXY~
求:
N(0,25)
X
-1
-2
0
0.5
Y
-0.5
1
3
p
1
1
1
1
p.
1
1
1
Pi
4
3
12
3
Pi
2
4
4
(1)(X,Y)的联合分布,
(2)E(X),
二、计算题
1•设X与Y相互独立,其概率分布如表所示,D(Y)o
Y
X
-0.5
1
3
-1
1
1
1
8
16
16
1
1
1
-2
—
—
—
6
12
12
1
1
1
0
24
48
48
1
1
1
0.5
6
12
12
1
1
1
1
9
E(X)
1
—
2-
—
—
—
4
3
2
3
12
1
1
1
1
3
E(Y)
1-
3
2
2
4
4
4
2
1
1
1
1
21
E(Y)
—
—
1-
9
—
—
4
2
4
4
8
D(Y)EH(e(y))2211613
2•设(X,Y)的分布律如下
1
2
3
1
1/6
1/9
1/18
2
1/3
1/9
2/9
求X与Y的边缘分布•并判别X与Y是否独立。
X
1
2
P
1
2
3
3
Y
1
2
3
P
1
2
5
18
2
9
P{X1}P{Y2}1-—P{X1,Y2}
3927
X与Y不独立。
3.设随机变量(X,Y)的概率分布如下表所示:
X----Y
-1
0
1
2
-1
0.2
0.15
0.1
0.3
2
0.1
0
0.1
0.05
求X与Y的边缘分布,X和Y是否独立
X
-1
2
P
0.75
0.25
Y
-1
0
1
2
P
0.3
0.15
0.2
0.35
P{X1}P{Y1}0.750.30.225P{X1,Y2}0.2
X与Y不独立第四章
一、填空题
1•若随机变量X服从泊松分布X~p(入),则D(X)=(
2.若随机变量X和Y不相关,则D(XY)=(D(X)+D(Y)
3.若随机变量X和Y互相独立,则E(XY)=(E(X)E(Y)
22
4.若随机变量X服从正态分布X~N(,),则D(X)=()。
5.若随机变量X在区间[1,4]上服从均匀分布X~U(1,4),贝UE(X)=(2.5)。
6.已知随机变量X与Y的期望分别为E(X)=3,E(Y)=5,随机变量Z=3X-2Y,则期望E(Z)=
-1)。
9.若随机变量X服从二项分布X~B(4,0.5),贝UD(X)=
(1);;
22
11若已知E(X),D(X),则E(X)D(X)((E(X)))。
12.已知随机变量X与Y的期望分别为E(X)=2,E(Y)=5,随机变量(0).
13.若随机变量X服从二项分布X~B(n,p),贝UD(X)=
14.设X~U(1,3),则E(X)=(
15.随机变量X和Y
(74)
2
相互独立,且D(X)=5,D(Y)=6
Z=5X-2Y,
则期望E(Z)=
(np(1-p)
求随机变量Z=2X-3Y
的方差D(Z)=
16.X是随机变量,
则E(X)=(
、选择填空题
1.已知X
3k
e
k!
3k
0,1,2,3,,则E3
A.3
B.
12
2.随机变量X〜
N0,1
丫
A.-1
B.
0
随机变量
2
X,则相关系数
C.30
D.33
3.
X的分布率为PX
A.
B.2
XY=(
C.1
C.4
D.2
0,1,2,3
D.
,则D(2X)=—D。
4.已知随机变量X服从二项分布且E(X)=2.4,D(X)=1.44,则二项分布的参数n,p的值分别为(B)。
A.n4,p0.6B.n6,p0.4
C.
n8,p0.3
D.n24,p0.1
0.5,x
0,2
5.已知X的密度函数为pX廿儿
其他,
则X的数学期望
E(X)=(B)。
1
A.-B.1
C.2
D.
4
6.X,Y是互相独立的随机变量,EX6,EY3,则E2XY=(A)。
A.9B.15
7.设X的概率密度函数为pX
C.21D.27
1
e
10
0,x
X
W,X°,则E(2X+1)=(
C)。
A.1.4B.41
C.21D.20
&X,Y是互相独立的随机变量,DX
6,DY
3,则D2XY=(D)。
A.9
B.15C.21D.27
三、计算题
1•设二维随机变量的联合概率分布为
X
-1
1
2
Pi
0.5
0.25
0.25
Y
-2
0
1
Pi
0.55
0.3
0.15
:
、、Y\
2
0
1
1
0.3
0.1
0.1
1
0.05
0.2
0
2
0.2
0
0.05
求:
(1)X与Y的边缘分布,
(2)E(X),D(Y)。
1XY
—,设Z,求Z的期望与方差,求X与Z
232
E(X)
10.5
10.25
20.25
0.25
E(Y)
20.55
1
0.15
0.95
E(Y2)
40.55
1
0.15
2.35
D(Y)
E(Y2)
(E(Y))2
2.35
0.9521.4475
2.已知X:
N(1,32),Y:
N(0,42),xy
的相关系数。
111
E(Z)-E(X)E(Y)-
323
D(Z)
11
9d(x)-D(Y)
ii
2cov(X,Y)
32
11
9d(x)-d(y)
212XY,D(X)\DY
32
16
xycov(X,Z)cov(X,MJ)D(X);D(Z)3.3
11
1d(X)1cov(X,Y)
320
3/3
E(XY)
14
3
14
3.设(X,Y)服从分布
X^^
0
1
2
0
3/28
9/28
3/28
1
3/14
3/14
0
2
1/28
0
0
,试求cov(X,Y)及XY。
31
E(X)12-
728
E(Y)
15
28
28
cov(X,Y)
E(XY)E(X)E(Y)
3
1424
9
56
E(X2)
XY
7
28
7
15
3
27
1-
4-
28
28
28
2
24
1
9
E(X)
(E(X))-
7
4
28
2
2
27
9
E(Y)
(E(Y))
—
0.4018
28
16
cov(X,Y)
-0.447
3
1
4
1
4
D(X)
D(Y
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