111与三角形有关的线段.docx
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111与三角形有关的线段
数学个性化教学教案
授课时间:
年月日
备课时间
年月日
年级
八上
学科
数学
课时
学生姓名
授课主题
与三角形有关的线段
授课教师
教学目标
1.了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点,能用符号语言表示三角形;
2.理解三角形三边不等的关系,会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题.
3.认识三角形的高、中线与角平分线,会画三角形的高、中线与角平分线,了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点.
4.知道三角形具有稳定性,四边形没有稳定性,了解三角形的稳定性在生产、生活中的应用.
教学重点
1.三角形的有关概念和符号表示,三角形三边间的不等关系.
2.三角形的高、中线与角平分线
教学难点
1.用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形.
2.三角形的角平分线与角的平分线的区别,画钝角三角形的高.
3.三角形稳定性及应用.
教学过程
一、【历次错题讲解】
二、【趣味课程导入】
1.三角形是一种最常见的几何图形,[投影1-6]如古埃及金字塔,香港中银大厦,交通标志,等等,处处都有三角形的形象。
那么什么叫做三角形呢?
2.任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?
各条路线的长一样吗?
为什么?
A
B
C
a
b
c
有两条路线:
(1)从B→C,
(2)从B→A→C;不一样,AB+AC>BC①;因为两点之间线段最短。
同样地有AC+BC>AB②
AB+BC>AC③
由式子①②③我们可以知道什么?
3.盖房子时,在窗框未安装之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,为什么要这样做呢?
〔实验〕1、把三根木条用钉子钉成一个三角形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?
(2)
不会改变。
2、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?
会改变。
3、在四边形的木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接起来,然后扭动它,它的形状会改变吗?
不会改变。
从上面的实验中,你能得出什么结论?
三角形具有稳定性,而四边形不具有稳定性。
三、【基础知识梳理】
(一)、三角形及有关概念
不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
注意:
三条线段必须①不在一条直线上,②首尾顺次相接.
组成三角形的线段叫做三角形的边,相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称角,相邻两边的公共端点是三角形的顶点.
三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.
A
B
C
a
b
c
(二)、三角形的分类:
按角分类:
三角形直角三角形
斜三角形锐角三角形
钝角三角形
三边都相等的三角形叫做等边三角形;
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形;
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形.
显然,等边三角形是特殊的等腰三角形.
按边分类:
三角形不等边三角形
等腰三角形底和腰不等的等腰三角形
等边三角形
(三)、三角形三边的不等关系(理论依据:
两点之间,线段最短)
三角形的两边之和大于第三边,即
三角形的两边之差小于第三边,即
应用:
(1)判断三条线段能否组成三角形;
(2)已知三角形的两边求第三边的范围.
注意:
判断三条线段能否组成三角形的两种方法(无需判断任意两边之和大于第三边;任意两边只差小于第三边)
(1)看最短的与次短的线段的和是否大于最长的线段,若是则能,反之,不能.
(2)看最长的线段减去最短(或次短)的线段的差是否小于第三条线段,若是则能,反之,不能.
(四)、三角形的高
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线,垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高,表示为AD⊥BC于点D.
注意:
高与垂线不同,高是线段,垂线是直线.
现在我们来画钝角三角形三边上的高,如图。
A
B
C
O
D
E
F
三角形的三条高相交于一点(垂心).
(五)、三角形的中线
如图,我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线,表示为BD=DC或BD=DC=1/2BC或2BD=2DC=BC.
三角的三条中线相交于一点(重心).
(六)、三角形的角平分线
如图,画∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC或2∠BAD=2∠CAD=∠BAC。
三角形的角平分线是线段,而角的平分线是射线,是不一样的
三角形三个角的平分线相交于一点(内心).
注:
三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部,而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部,直角三角形三条高的交战在角直角顶点,钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部.
(七)、三角形具有稳定性.
学习札记
学习札记
四、【典型例题剖析】
[例1]如图,图中共有多少个三角形?
[引导分析]根据三角形的概念,不重复、无遗漏地找出所有的三角形,关键在于按照某种顺序去找.
可以边为顺序找:
BC为边的共4个,分别是:
△ABC,△BCD, △BCF,△BCE;AC为边的2个(其中重复一个),分别是:
△ACF,△ACB(与前面重复); 同理可得AB为边1个,是△ABD;CD为边1个,为:
△CDE;以BF为边1个,为△BEF;AD、AF为边已计。
共8个。
[举一反三]
(1)如图所示,以AB为一边的三角形有_________个.
(2)图中有个三角形,用符号表示为
C
B
E
A
D
[例2]
(1)已知三角形的两边分别为5cm和6cm,求第三边c的取值范围及三角形周长的取值范围;
(2)已知三角形的三边分别为14,4x和3x,求x的取值范围;
(3)已知三角形的三边分别为a,a-1和a+1,求a的取值范围.
[引导分析]
(1)根据三角形的三边关系,可得第三边的取值范围是:
两边之差<第三边<两边之和,所以较容易确定第三边的取值范围.对于
(2)(3)已知三边长度(其中三边含有参数),根据三边关系列不等式,
,
由于任意两边只差小于第三边可由任意两边之和大于第三边推导,故一般只需考虑最短的与次短的线段的和大于最长的线段即可,当然隐含条件(边长大于零)要考虑.
[举一反三]
(1)如果线段a、b、c能组成三角形,那么,它们的长度比可能是()
A.1∶2∶4B.1∶3∶4C.3∶4∶7D.2∶3∶4
(2)已知等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm,则此三角形的周长为()
A.15cmB.18cmC.15cm或18cmD.不能确定
例3
[例3]如图,在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD把三角形的周长分为12cm和15cm的两部分,求三角形各边的长.
[引导分析]因为中线BD中的点D为AC边的中点,所以AD=DC,造成所分的两部分不等的原因就在于BC边与AB、AC边的不等,故应分类讨论.
举一反三
(2)
举一反三
(1)
[举一反三]
(1)如图,AD是△ABC的边BC上的中线,已知AB=5cm,AC=3cm,求△ABD与△ACD的周长之差.
(2)如图所示,在△ABC中,D、E分别是BC、AD的中点,S△ABC=4cm2,求S△ABE.
例4
[例4]如图所示,在△ABC中,∠C-∠B=90°,AE是∠BAC的平分线,求∠AEC的度数.
[引导分析]根据角平分线性质和三角形内角和.
[举一反三]如图,ΔACB中,∠ACB=900,∠1=∠B.
举一反三
(1)试说明CD是ΔABC的高;
(2)如果AC=8,BC=6,AB=10,求CD的长
[例5]
(1)木工师傅在做完门框后,为了防止变形常常像图所示那样钉上两条斜拉的木板条(即图中的AB、CD两个木条),这样做根据数学道理是____________________.
例6
(2)
例6
(1)
(2)如图是放缩尺,其工作原理是______________.
[引导分析]三角形具有稳定性,而四边形具有不稳定性.
[举一反三]下列图形中哪些具有稳定性?
[例6]创新探究:
如图,在小河的同侧有A,B,C三条村庄,图中的线段表示道路,某邮递员从A村送信到B村,总是走经过C村的道路,不走经过D村的道路,这是为什么呢?
请你用所学的数学知识加以证明.
[引导分析]邮递员走经过C村而不走经过D村的路,其理由很明显:
因为路程更近。
若将该问题抽象成数学问题即为:
已知:
C是△ABD内一点,试证明:
AD+BD>AC+BC.
解决几条线段间的不等关系,应利用三角形三边关系性质,为此,连接AB,得BD+DA>AB,CA+CB>AB,但仍无法的得出结论,故可考虑构造另外的三角形,找到所证线段之间的相互关系.
方法与技巧总结
方法与技巧总结
课堂作业
1.下列各组给出的三条线段中不能组成三角形的是()
A.3,4,5B.3a,4a,5a
C.3+a,4+a,5+aD.三条线段之比为3∶5∶8
2..如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定
3.已知等腰三角形的周长是25cm,其中一边长为10cm,求另两边长__________.
4.在△ABC中,AD是BC上的中线,且S△ACD=12,S△ABC=.
5.在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm,求AD的长.
6.如图,△ABC的周长为18cm,BE、CF分别为AC、AB边上的中线,BE、CF相交于点O,AO的延长线交BC于D,且AF=3cm,AE=2cm,求BD的长.
7.已知:
AD、AE分别是△ABC的高和中线,AB=6cm,BC=10cm,AC=8cm,∠CAB=90°.
求:
(1)AD的长;
(2)△ABE的面积;(3)△ACE和△ABE周长的差.
8.在△ABC中,高CE,角平分线BD交于点O,∠ECB=50°,求∠BOC的度数.
9.在△ABC中,∠A=50°,高BE,CF所在的直线交于点O,求∠BOC的度数.
10.如图所示,已知P是△ABC内一点,试说明PA+PB+PC>
(AB+BC+AC).
11.如图,线段
、
相交于点
,能否确定
与
的大小,并加以说明.毛
12.如图所示,已知在△ABC中,AB=AC
=8,P是BC上任意一点,PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E.若△ABC的面积为14,问:
PD+PE的值是否确定?
若能确定,是多少?
若不能确定,请说明理由.
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本课小结
课后作业
布置
课后赏识评价
课后反馈
本节课教学计划完成情况:
□照常完成□提前完成
□延后完成,原因___________________________________
学生的接受程度:
□完全能接受□基本能接受
□不能接受,原因___________________________________________
学生的课堂表现:
□很积极□比较积极□一般
□不积极,原因_____________________________________________
学生上次作业完成情况:
完成数量____%已完成部分的质量____分(5分制)
存在问题_______________________________________
配合需求:
家长________________________________________________
学管师________________________________________________
提交时间
教研组长签名
学管师签收
例2.解:
(1)(6-5)cm<c<(6+5)cm
∴1cm<c<11cm设周长为pcm
又因另两边分别为5cm和6cm
∴[(5+6)+1]cm<p<[11+(5+6)]cm即12cm<p<22cm
(2)根据三角形的三边关系:
4x-3x<14<4x+3x∴2<x<14
(3)∵a-1<a<a+1
又∵三角形的三边长为正∴a-1>0即a>1
又∵a+1<a+(a-1)∴a>2∴a>2
例3.解:
如图,设AB=x,则AD=DC=
x
(1)若AB+AD=12,
即
x=12,得x=8即AB=AC=8
则DC=4,故BC=15-4=11
此时AB+AC>BC,可构成三角形;
(2)若AB+AD=15,
x=15,∴x=10
即AB=AC=10,则DC=5,故BC=12-5=7
显然此时可构成三角形
综上,三角形的各边长为:
8,8,11或10,10,7
例6 解答:
延长AC交BD于点E,由三角形的三边关系:
在△ADE中,AD+DE>AC+CE①
在△CBE中,CE+BE>BC②
由①和②得:
AD+DE+BE+CE>AC+BC+CE
所以:
AD+BD>AC+BC
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- 111 三角形 有关 线段