12 命题及其关系充分条件与必要条件.docx
- 文档编号:7179481
- 上传时间:2023-01-21
- 格式:DOCX
- 页数:26
- 大小:375.89KB
12 命题及其关系充分条件与必要条件.docx
《12 命题及其关系充分条件与必要条件.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《12 命题及其关系充分条件与必要条件.docx(26页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
12命题及其关系充分条件与必要条件
1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
[知识梳理]
1.命题
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题中真假性的等价关系:
原命题等价于逆否命题,原命题的否命题等价于逆命题,在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.
(3)写一个命题的其他三种命题时,需注意:
①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;
②当命题有大前提时,写其他三种命题时需保留大前提;
③对于有多个并列条件的命题,应把其中一个作为大前提.
3.充要条件
(1)集合与充要条件
(2)充分条件与必要条件的两个特征
①对称性:
若p是q的充分条件,则q是p的必要条件,即“p⇒q”⇔“q⇐p”.
②传递性:
若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件,即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”).
[诊断自测]
1.概念思辨
(1)“x2+2x-3<0”是命题.( )
(2)命题“若p,则q”的否定是“若綈p,则綈q”.( )
(3)若命题“若p,则q”为真命题,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( )
(4)“x>-1”是“x>0”的充分不必要条件.( )
答案
(1)×
(2)× (3)√ (4)×
2.教材衍化
(1)(选修A1-1P6练习)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是( )
A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数
B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数
C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数
D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数
答案 C
解析 若命题为“若p,则q”,命题的逆否命题为“若非q,则非p”,所以原命题的逆否命题是“若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数”.故选C.
(2)(选修A1-1P12A组T3)x2-3x+2≠0是x≠1的________条件.
答案 充分不必要
解析 若x2-3x+2≠0则x≠1且x≠2,此时充分性成立,
当x=2时,满足x≠1,但此时x2-3x+2=0成立,即必要性不成立,
即x2-3x+2≠0是x≠1的充分不必要条件.
3.小题热身
(1)(2017·浙江高考)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 解法一:
∵数列{an}是公差为d的等差数列,
∴S4=4a1+6d,S5=5a1+10d,S6=6a1+15d,
∴S4+S6=10a1+21d,2S5=10a1+20d.
若d>0,则21d>20d,10a1+21d>10a1+20d,
即S4+S6>2S5.
若S4+S6>2S5,则10a1+21d>10a1+20d,即21d>20d,
∴d>0.∴“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件.
故选C.
解法二:
∵S4+S6>2S5⇔S4+S4+a5+a6>2(S4+a5)⇔a6>a5⇔a5+d>a5⇔d>0,∴“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件.故选C.
(2)(2017·山东潍坊高三期末)命题“若x=5,则x2-8x+15=0”,那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中,真命题有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
答案 B
解析 原命题“若x=5,则x2-8x+15=0”为真命题,又当x2-8x+15=0时,x=3或5.
故其逆命题:
“若x2-8x+15=0,则x=5”为假命题.又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题,否命题为假命题.故选B.
题型1 四种命题的关系及真假判断
已知:
命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( )
A.否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”,是真命题
B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”,是假命题
C.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”,是真命题
D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题
本题用四种命题中真假性的等价关系进行判断.
答案 D
解析 由f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则f′(x)=ex-m≥0恒成立,∴m≤1.
因此原命题是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.故选D.
(2018·黄梅期末)给出下列命题:
①命题“若b2-4ac<0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题;
②命题“△ABC中,AB=BC=CA,那么△ABC为等边三角形”的逆命题;
③命题“若a>b>0,则
>
>0”的逆否命题;
④“若m>1,则mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R”的逆命题.
其中真命题的序号为________.
分清原命题的条件与结论写出所要命题,进行判断.
答案 ①②③
解析 ①命题“若b2-4ac<0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题是“若b2-4ac≥0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根”,是真命题;
②命题“△ABC中,AB=BC=CA,那么△ABC为等边三角形”的逆命题是“△ABC是等边三角形,则AB=BC=CA”,是真命题;
③命题“若a>b>0,则
>
>0”是真命题,∴它的逆否命题也是真命题;
④命题“若m>1,则mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R”的逆命题是“若mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R,则m>1”是假命题,
∵不等式的解集为R时,
的解集为∅,∴逆命题是假命题;
∴真命题有①②③.
方法技巧
四种命题关系及真假判断的方法
1.由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,如果命题不是“若p,则q”的形式,应先改写成“若p,则q”的形式;如果命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提不变.例如典例2.
2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例.
3.根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.例如冲关针对训练2.
冲关针对训练
1.(2018·陕西模拟)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )
A.真,假,真B.假,假,真
C.真,真,假D.假,假,假
答案 B
解析 先证原命题为真:
当z1,z2互为共轭复数时,设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi,则|z1|=|z2|=
,∴原命题为真,故逆否命题为真;再证逆命题为假:
取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,∴逆命题为假,故否命题也为假.故选B.
2.(2017·沐阳县期中)以下四个命题中是真命题的有________(填序号).
①命题“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;
②命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题;
③命题“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.
答案 ①②
解析 对于①,命题“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数,则xy=1”,它是真命题;对于②,命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题是“面积不相等的两个三角形不全等”,它是真命题;对于③,命题“若A∩B=B,则A⊆B”是假命题,∴它的逆否命题也是假命题;综上,正确的命题是①②.
题型2 充分条件与必要条件的判定
角度1 利用定义判断充分、必要条件
(2018·赣中南五校联考)已知α,β均为第一象限角,那么α>β是sinα>sinβ的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
利用定义结合代特殊值法进行判断.
答案 D
解析 由α,β均为第一象限角,可取α=2π+
,β=
,有α>β,但sinα=sinβ,即α>β不是sinα>sinβ的充分条件;又由α,β均为第一象限角,可取α=
,β=2π+
,有sinα>sinβ成立,但α<β,即α>β不是sinα>sinβ的必要条件,综上所述,α>β是sinα>sinβ的既不充分也不必要条件.故选D.
角度2 等价转化法判断充分、必要条件
(2018·阳山模拟)“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的( )
A.必要不充分条件B.既不充分也不必要条件
C.充要条件D.充分不必要条件
用等价转化法.
答案 A
解析 由题意得:
∵命题“若a≠1或b≠2,则a+b≠3”与命题“若a+b=3,则a=1且b=2”互为逆否命题.
∴判断命题“若a≠1或b≠2,则a+b≠3”的真假只要判断命题“若a+b=3,则a=1且b=2”的真假即可.
因为命题“若a+b=3,则a=1且b=2”显然是假命题.
所以命题“若a≠1或b≠2,则a+b≠3”是假命题,
∴a≠1或b≠2推不出a+b≠3.
同理“若a=1且b=2,则a+b=3”是真命题,
∴命题“若a+b≠3,则a≠1或b≠2”是真命题.
∴a+b≠3⇒a≠1或b≠2.
∴“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的必要不充分条件.故选A.
角度3 集合法判断充分、必要条件
(2017·天津高考)设θ∈R,则“
<
”是“sinθ<
”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
集合法.
答案 A
解析 ∵
<
⇔-
<θ-
<
⇔0<θ<
,sinθ<
⇔θ∈
,k∈Z,
,k∈Z,
∴“
<
”是“sinθ<
”的充分而不必要条件.故选A.
角度4 探求结论成立的充分、必要条件
(2018·延安质检)函数f(x)=
有且只有一个零点的充分不必要条件是( )
A.a<0B.0 C. 用数形结合法,集合法. 答案 A 解析 因为函数f(x)过点(1,0),所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y=-2x+a(x≤0)没有零点⇔函数y=2x(x≤0)与直线y=a无公共点.由数形结合,可得a≤0或a>1. 观察选项,根据集合间关系{a|a<0}{a|a≤0或a>1}.故选A. 方法技巧 充分条件和必要条件的三种判断方法 1.定义法: 可按照以下三个步骤进行 (1)确定条件p是什么,结论q是什么; (2)尝试由条件p推结论q,由结论q推条件p; (3)确定条件p和结论q的关系.见角度1典例. 2.等价转化法: 对于含否定形式的命题,如綈p是綈q的什么条件,利用原命题与逆否命题的等价性,可转化为求q是p的什么条件.见角度2典例. 3.集合法: 根据p,q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.设A={x|p(x)},B={x|q(x)},若A⊆B,则p是q的充分条件或q是p的必要条件;若AB,则p是q的充分不必要条件,若A=B,则p是q的充要条件.见角度3典例. 冲关针对训练 1.(2018·石家庄模拟)命题p: |x|<1,命题q: x2+x-6<0,则綈p是綈q成立的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由|x|<1得-1 -1 -3 2.(2016·四川高考)设p: 实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q: 实数x,y满足 则p是q的( ) A.必要不充分条件B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 如图作出p,q表示的区域,其中⊙M及其内部为p表示的区域,△ABC及其内部(阴影部分)为q表示的区域,故p是q的必要不充分条件.故选A. 题型3 充分、必要条件的应用 (2018·石家庄模拟)设命题p: |4x-3|≤1;命题q: x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________. 本题用集合法. 答案 解析 设A={x||4x-3|≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}.解|4x-3|≤1,得 ≤x≤1,故A= ≤x≤1;解x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1,故B={x|a≤x≤a+1}. 所以綈p所对应的集合为∁RA= x< 或x>1},綈q所对应的集合为∁RB={x|xa+1}. 由綈p是綈q的必要不充分条件,知∁RB∁RA,所以 解得0≤a≤ . 故所求实数a的取值范围是 . [条件探究] 将条件中的“若綈p是綈q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,则a的取值范围是什么? 解 设A={x||4x-3|≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}, 解|4x-3|≤1,得 ≤x≤1,故A={x ; 解x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1,故B={x|a≤x≤a+1}. 由p是q的充分不必要条件,知AB, 所以 解得0≤a≤ . 故所求实数a的取值范围是 . 方法技巧 根据充要条件求解参数范围的常用方法 充分、必要条件的应用,一般体现在参数范围的求解上,其常用方法和注意事项为: 1.解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.见典例. 2.求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象. 冲关针对训练 已知p: |x-a|<4;q: (x-2)(3-x)>0,若綈p是綈q的充分不必要条件,则a的取值范围为________. 答案 [-1,6] 解析 ∵綈p是綈q的充分不必要条件, ∴q是p的充分不必要条件. 对于p,|x-a|<4,∴a-4 对于q,2 ∴ (等号不能同时取到),∴-1≤a≤6. 1.(2017·北京高考)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 解法一: 由题意知|m|≠0,|n|≠0. 设m与n的夹角为θ. 若存在负数λ,使得m=λn, 则m与n反向共线,θ=180°, ∴m·n=|m||n|cosθ=-|m||n|<0. 当90°<θ<180°时,m·n<0,此时不存在负数λ,使得m=λn. 故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A. 解法二: ∵m=λn,∴m·n=λn·n=λ|n|2. ∴当λ<0,n≠0时,m·n<0. 反之,由m·n=|m||n|cos〈m,n〉<0⇔cos〈m,n〉<0 ⇔〈m,n〉∈ , 当〈m,n〉∈ 时,m,n不共线. 故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A. 2.(2015·北京高考)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 若m⊂α且m∥β,则平面α与平面β不一定平行,有可能相交;而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β,所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.故选B. 3.(2017·南昌十校模拟)已知命题“已知a,b,c为实数,若abc=0,则a,b,c中至少有一个等于0”,在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( ) A.0B.1 C.2D.3 答案 D 解析 原命题为真命题,逆命题为“已知a,b,c为实数,若a,b,c中至少有一个等于0,则abc=0”,也为真命题.根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题,故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为3.故选D. 4.(2018·豫南九校联考)已知p: ≤2,q: x2-2x+1-m2≤0(m>0),且綈p是綈q的必要而不充分条件,则实数m的取值范围为________. 答案 [9,+∞) 解析 解法一: 由 ≤2,得-2≤x≤10, ∴綈p对应的集合为{x|x>10或x<-2}, 设A={x|x>10或x<-2}. 由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0), ∴綈q对应的集合为{x|x>m+1或x<1-m,m>0}, 设B={x|x>m+1或x<1-m,m>0}. ∵綈p是綈q的必要而不充分的条件,∴BA, ∴ 且不能同时取得等号. 解得m≥9,∴实数m的取值范围为[9,+∞). 解法二: ∵綈p是綈q必要而不充分条件, ∴q是p的必要而不充分条件, 即p是q的充分而不必要条件, 由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0).∴q对应的集合为{x|1-m≤x≤1+m,m>0}, 设M={x|1-m≤x≤1+m,m>0}, 又由 ≤2,得-2≤x≤10, ∴p对应的集合为{x|-2≤x≤10}.设N={x|-2≤x≤10},由p是q的充分而不必要条件知NM, ∴ 且不能同时取等号,解得m≥9. ∴实数m的取值范围为[9,+∞). [基础送分提速狂刷练] 一、选择题 1.下列命题中是真命题的是( ) ①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题; ②“正多边形都相似”的逆命题; ③“若x-3 是有理数,则x是无理数”的逆否命题. A.①②B.①③ C.②③D.①②③ 答案 B 解析 对于①,其否命题是“若x2+y2=0,则x,y全为零”,这显然是正确的,故①为真命题;对于②,其逆命题是“若两多边形相似,则它们一定是正多边形”,这显然是错误的,故②为假命题;对于③,原命题为真,故逆否命题也为真.因此是真命题的是①③.故选B. 2.(2018·河南八市联考)命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是( ) A.若a≤b,则a+c≤b+cB.若a+c≤b+c,则a≤b C.若a+c>b+c,则a>bD.若a>b,则a+c≤b+c 答案 A 解析 否命题是将原命题的条件和结论都否定,故命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是“若a≤b,则a+c≤b+c”.故选A. 3.(2018·曲阜模拟)已知p: 函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,q: 函数g(x)=loga(x+1)(a>0且a≠1)在(-1,+∞)上是增函数,则綈p是q的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 易知p成立⇔a≤1,q成立⇔a>1,所以綈p成立⇔a>1,则綈p是q的充要条件.故选C. 4.下列命题正确的是( ) A.若p∨q为真命题,则p∧q为真命题 B.“a>0,b>0”是“ + ≥2”的充分必要条件 C.命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2,则x2-3x+2≠0” D.命题p: ∃x∈R,x2+x-1<0,则綈p: ∀x∈R,x2+x-1≥0 答案 D 解析 若p∨q为真命题,则p,q中至少有一个为真,那么p∧q可能为真,也可能为假,故A错误;若a>0,b>0,则 + ≥2,又当a<0,b<0时,也有 + ≥2,所以“a>0,b>0”是“ + ≥2”的充分不必要条件,故B错误;命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2,则x2-3x+2≠0”,故C错误,由此可知D正确.故选D. 5.(2018·广东广州质检)已知p: ∃x>0,ex-ax<1成立,q: 函数f(x)=-(a-1)x在R上是减函数,则p是q的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 若∃x>0,ex-ax<1成立,则∃x>0,使得ex a>1;若函数f(x)=-(a-1)x是减函数,则a-1>1,则a>2,则q: a>2.故由q可以推出p,由p推不出q,故p是q的必要不充分条件.故选B. 6.(2018·合肥模拟)祖暅原理: “幂势既同,则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积恒相等,那么体积相等.设A,B为两个同高的几何体,p: A,B的体积不相等,q: A,B在等高处的截面积不恒相等,根据祖暅原理可知,p是q的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 设命题a: “若p,则q”,可知命题a是祖暅原理的逆否命题,则a是真命题.故p是q的充分条件.设命题b: “若q,则p”,若A比B在某些等高处的截面积小一些,在另一些等高处的截面积大一些,且大的总量与小的总量相抵,则它们的体积还是一样的.所以命题b是假命题,即p不是q的必要条件.综上所述,p是q的充分不必要条件.故选A. 7.(2017·衡水联考)“a=0”是“函数f(x)=sinx- +a为奇函数”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,当a=0时,f(x)=sinx- ,f(-x)=sin(-x)- =-sinx+ =- =-f(x),故f(x)为奇函数; 反之,当f(x)=sinx- +a为奇函数时,f(-x)+f(x)=0, 又f(-x)+f(x)=sin(-x)- +a+sinx- +a=2a,故a=0, 所以“a=0”是“函数f(x)=sinx- +a为奇函数”的充要条件.故选C. 8.(2018·天津模拟)已知f(x)=2x+3(x∈R),若|f(x)-1|0),则a,b之间的关系是( ) A.b≥ B.b< C.a≤ D.a> 答案 A 解析 ∵f(x)=2x+3,且|f(x)-1| ∴|2x+2| ∴ . ∵|x+1| ∴-b-1 ∵|f(x)-1|0), ∴ ⊆(-b-1,b-1). ∴ 解得b≥ .故选A. 9.(2018·江西一联)已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为M,则“a>0”是“点M在第四象限”的(
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 12 命题及其关系充分条件与必要条件 命题 及其 关系 充分 条件 必要条件