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中国剩余定理
中國剩餘定理
台師大數學研究所碩士班研究生楊瓊茹
1、前言
在遊覽數學史這座寶山時,一幅幅數學風景呈現眼前,令人心曠神怡。
尤其是一些非常有趣的發現,總是帶給我們意外的驚喜!
例如:
中國《孫子算經》中的『物不知數』與義大利《算盤書》中的『一次同餘組』這兩者對比下的相似性,就是很值得進一步討論的問題。
在空間、時間差距甚大的場景下,它們竟有著『幾乎一致』的內容,其中是否有數學文化的交流?
或者是歷史的巧合,是各自數學知識獨立的發展?
甚至是否源於另一個數學文化?
產生什麼影響?
諸如這樣的問題,也往往引起數學史家的注意及興趣。
此外,我們也發現到其他相當具有特色的『物不知數』題型,例如數學詩歌、『翦管術』和『天算頌』。
在本篇文章的最後部分,我們嘗試著將『物不知數』給予數學延拓。
對於『物不知數』和『一次同餘組』此種類型的問題,南宋秦九韶(1202-1261)的一般化解法和德國數學家高斯(Gauss)於1801年所發表的剩餘定理相同,因此,西方國家稱此類型的問題為『中國剩餘定理』(TheChineseRemainderTheorem)。
底下,我們將開始這趟數學之旅!
2、文本對比
首先,引述中國《孫子算經》中『物不知數』的文本內容:
今有物不知其數,三三數之賸二,五五數之賸三,七七數之賸二,問物幾何?
答曰︰二十三
術曰:
三三數之賸二,置一百四十;五五數之賸三,置六十三;七七數之賸二,置三十。
并之得二百三十三。
以二百一十減之,即得。
凡三三數之賸一,則置七十,五五數之賸一,則置二十一,七七數之賸一,則置十五。
一百六以上,以一百五減之,即得。
再看《算盤書》中的『一次同餘組』︰
Letacontrivednumberbedividedby3,alsoby5,alsoby7;andaskeachtimewhatremainsfromeachdivision.Foreachunitythatremainsfromthedivisionby3,retain70;foreachunitythatremainsfromthedivisionby5,retain21;andforeachunitythatremainsfromthedivisionby7,retain15.Andasmuchasthenumbersurpasses105,subtractfromit105;andwhatremainstoyouisthecontrivednumber.Example:
supposefromthedivisionby3theremainderis2;forthisyouretaintwice70,or140;fromwhichyousubtract105,and35remains.Fromthedivisionby5,theremainderis3;forwhichyouretainthreetimes21,or63,whichyouaddtotheabove35;youget98;andfromthedivisionby7,theremainderis4,forwhichyouretainfourtimes15,or60;whichyouaddtotheabove98,andyouget158;fromwhichyousubtract105,andtheeremainderis53,whichisthecontrivednumber.
面對這兩則文本,我們先嘗試著用現代數學符號表示︰
《孫子算經》的『物不知數』︰N≡2(mod3)≡3(mod5)≡2(mod7)
N=70×2+21×3+15×2-105×2=23;
《算盤書》的『一次同餘組』︰N≡2(mod3)≡3(mod5)≡4(mod7)
N=(70×2-105)+21×3+15×4-105=53
兩者共同都有的解題概念︰N≡
(mod3)≡
(mod5)≡
(mod7)
N=70×
+21×
+15×
-105T,
其中T是使N為最小正整數的數。
就數學表徵來看,兩者是一致的,雖然被7除的餘數以及在扣除105的順序不同,然而對解題的概念並無影響,因為兩者皆掌握到此題技巧性解法的關鍵數字70、21、15與105,並不需要嚴謹的數學理論做基礎,或許靈光一現的機智就足夠了。
從文字形式上,我們很容易發現『物不知數』呈現著中國數學的特色︰給實際題目,再給解法,沒有證明。
相較之下,《算盤書》的『一次同餘組』是要去『造』一個『數』,先給出原則,再舉例子說明。
兩者的出發動機似乎不同。
另外,《算盤書》的『一次同餘組』的說明順序,閱讀起來也比較容易理解。
3、歷史場景與交流問題
透過現代數學符號的表示,我們希望掌握到其數學本質,然而,倘若只是數學符號式的一昧對比,並不能完全幫助我們重建過去所發生的歷史事件。
我們必須為它再穿上文字的外衣,並且放回社會、文化的脈絡下,去貼近問題的內在層面。
底下,請容許我給予一些時代意義的陳述吧!
在中國這一方面,『物不知數』這個膾炙人口的數學名題,首次出現在《孫子算經》卷下26問。
本書作者和編篡年代不詳,可能在西元四世紀左右,它詳述籌算制度、乘除法則、分數算法、開平方算法,是一本為初學者而作的啟蒙讀本。
至於此問題產生的原因,數學史家錢寶琮先生認為很可能是依據當時天文學家『上元積年』的算法寫出來的,絕非作者向壁虛造的智力遊戲。
這一問題也引起後代學者如宋代楊輝、明代程大位(1533-1606)很大的興趣,宋代周密(1232-1298)將此題稱變作『鬼谷算』,並作隱語詩︰
三歲孩兒七十稀,五留廿一事尤奇;
七度上元重相會,寒食清明便可知。
此一問題流傳到了南宋時,秦九韶在他的著作《數書九章》中,將此問題推廣到任意的模數(非兩兩互質)及餘數,此求解的方法稱為『大衍總數術』,是先將模數化為兩兩互質,再用『大衍求一術』去求解,集大成了理論和算法。
至於《算盤書》(LiberAbaci,1202)的『一次同餘組』,則是出自義大利數學家斐波那契(Fabonacci,約1170-1250)之手。
斐波那契非常沉迷於數學,曾跟阿拉伯人學習算數,懂得印度-阿拉伯數碼與其演算,也遊歷過埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯等地,並和當地學者討論及辯論數學。
回到比薩後,他即編著《算盤書》,書中內容包含了斐波那契認為最好的印度、阿拉伯和希臘的方法。
在當時,這本書受到廣泛的流傳,而且斐波那契的數學才能也受到神聖羅馬帝國皇帝菲特烈二世(FrederickII)的賞識。
繼斐波那契之後,許多西方數學家如玉山若干(Regiomontanus;或JohannMüller)、歐拉(Euler)、拉格朗日(Lagrange)、高斯(Gauss)等人,也提出了一次同餘組問題。
現在,讓我們來面對『物不知數』的交流問題。
就數學內容的相似性來看,我們很難抗拒其中有數學交流的猜測。
但是,由於現存的《孫子算經》為公元1213年或其後問世的南宋印刷本,至於《算盤書》則出版於1202年,因而究竟誰抄襲了誰?
或者彼此獨立發展?
在沒有明確的證據之前,這個答案的空間仍是極為寬廣,有待深入的求證與研究。
其實,不論數學曾經交流與否,這些數學想法都呼應了各自文化的需求,甚至在各自文化中生根發芽,從而也對後代產生影響。
或許,在面對此題歷史上優先權問題,我們不妨放慢腳步,仔細遊覽在脈絡底下所呈現的數學的人文化容顏,也許時間會在沉殿後,還給歷史一個答案吧!
四、中韓交流中『物不知數』題
在慶善徵(1616-?
)所著作的《默思集算法》裡,解答了三題『物不知數』的問題,並且作詩文輔助記憶解題的關鍵數字。
慶善徵將此題型歸類為『引剩求總門』。
慶善徵是朝鮮李朝『中人算學者』出身,可謂算學者中的第一級人物。
當時,傳統數學並不是很受到重視,卻更激起他著作此書的使命感。
在此之前,中國的《孫子算經》、《楊輝算法》以及《算法統宗》等書曾傳入韓國,『引剩求總門』是否與此有關連,尚且無從得知。
底下,引述『引剩求總門』三則文本內容:
三人同行七十稀,五鳳樓前廿十一;
七月秋風三五夜;冬至寒食百五除。
今有物不知其數,只云三三計之剩一,五五計之剩二,七七計之剩三,問元數幾何?
答曰:
五十二。
法曰:
凡物數七十,則五五計之無盈縮,七七計之亦無盈縮,三三計之,則餘只一,故曰三人同行七十稀;
凡物數二十一,則三三計之無盈縮,七七計之亦無盈縮,五五計之,則餘只一,故曰五鳳樓前二十一;
凡物數十五,則三三計之無盈縮,五五計之亦無盈縮,七七計之,則餘只一,故曰七月秋風三五夜;
凡物數一百五,則三三五五七七計之皆無盈縮,而上項三位併之得數,於內減此一百五,則之其元總,故曰冬至寒食百五除;
卻以三三五五七七計之,餘剩二,則各隨其數各自倍之;餘剩三,則三因;四則四因;餘倣此。
而併三為合數,更多則以一百五為限,減之又減,不滿一百五而止,乃得合問。
底下兩題的解法以及說明方式,跟上題是一樣的,因此,我們僅將詩歌與問題的文本內容呈現給大家。
五人同居兩七九,七貴公侯五九五;
重陽節滿八五七,冬至寒食三合除。
今有數不知其數,只云五五計之剩三,七七計之剩一,九九計之剩二,問元數幾何?
答曰︰二百一十八。
七月七日新月夕,螽斯生子九十九;
重陽佳節風景好,兩叟同庚七十七;
至月雪天酒價錢,半貫纔除五十九;
六百九十三春和,除夜餘興倣此識。
今有物不知其數,只云七七計之剩三,九九計之剩二,以十一計之剩一,問元總幾何?
答曰:
三百五十三。
接著,我們再來欣賞中國的『孫子歌』。
此題編載於《算法統宗》(1592)中,又稱為『韓信點兵』︰
三人同行七十稀,五樹梅花廿一枝;
七子團圓正半月,除百令(零)五便得知。
今有物不知數,只云三數剩二箇(個),五數剩三三箇,七數剩二箇,問共若干?
荅(答)曰︰共二十三箇。
法曰︰列三五七維乘,以三乘五得一十五,又以七乘之得一百零五,為滿法數列位。
另以三乘五得十五,為七數剩一之衰;又以三乘七得二十一,為五數剩一之衰;又以五乘七得三十五,倍作七十,以三除之餘一,故用七十為三數剩一之衰。
其三數剩二者,剩一下七十,剩二下一百四十;五數剩三者,剩一下二十一,剩二下四十二,剩三下六十三;七數剩二者,剩一下十五,剩二下三十。
併之得二百三十三,內減去滿數一百令五,又減一百令五,餘二十三箇合問。
『引剩求總門』和『孫子歌』這兩則文本,都對解法的關鍵數字70、21、15與105提供了說明,也將餘一、餘二、餘三時,各應取多少,加以解釋。
但是,經我們比對之後,可以發現『孫子歌』的解釋更為詳盡。
例如,儘管『引剩求總門』說明了七十可被五、七整除;被三除則餘一,然而,『孫子歌』卻更進一步說明七十如何取得︰
。
整體來講,這兩則文本都解答得十分清楚。
相信眼尖的讀者已經能看出詩詞中的端睨,在此,也就不再贅述了。
程大位除了有廣泛的數學知識,也喜歡古文字、書法與詩詞。
底下,引述他描述元宵節的一首詞︰
水仙子
元宵十五鬧縱橫,來往觀燈街上行。
我見燈上下,紅光映,達三遭,數不真。
從頭兒三數無零,五數時四甌不盡,七數時六盞不停,端的是幾盞明燈?
荅(答)曰︰六十九盞。
將數學問題的表達,轉換成詩詞形式來呈現時,充份提供了問題的情境及想像的空間。
從這一首詞中,我們可以想像當時的街道是井然有序的互相垂直,兩旁懸掛著燈籠,紅光輝映,人來人往,好不熱鬧呀!
此時又有個人在那兒數燈籠,雖然答案是六十九盞,是最小的正整數解。
但是,一百七十四、二百七十九、…,以一百零五累加上去的數,也能符合所求。
由此可見,數學也可以不只是一堆數字與符號,只要多一點創意,如同此處將它隱藏到詩詞裡,讀起來倒也別有一番意境呢!
倘若能適當地應用到數學教學上,相信會趣味無窮!
五、『翦管術』和『天算頌』
在南宋楊輝的著作集《楊輝算法》之〈續古摘奇算法〉(1275)上卷中,孫子問題被稱為『秦王暗點兵,猶覆射之術』,並且題術定名為『翦管術』。
本書給出五題一次同餘組的題目,分別為「三五七數」二問、「七八九數」、「十一十二十三數」、「二五七九數」。
底下,引述兩則比較有特色的問題︰
1.物不知總數,只云三三數之剩二,五五數之剩二,七七數之剩二,問本總數幾何?
荅(答)曰:
二十三
解題:
俗名秦王暗點兵,猶覆射之術。
或過一百五數,須於題內之知。
翦管術曰:
三數剩一下七十,題內剩二下百四十;五數剩一下二十一,題內剩三下六十三;七數剩一下十五,題內剩二下三十。
三位併之得二百三十三,滿一百五數去之,減兩箇(個)一百五餘二十三為荅數。
2.用工不知其數,差人支犒。
每三人支肉一斤,剩零五兩八銖,乃三數剩二;每五人支錢一貫,剩零四百,是五數剩三;每七人支酒一掇,拾撞成掇,是七數無剩。
問總工所支各幾何?
荅曰︰九十八人、錢一十九貫六百,
酒十四掇、肉三十二斤一十兩十六銖。
草曰︰三剩二下百四十;五剩三下六十三;七無剩不下。
併之得二百三,減一百五餘九十八工。
以二百乘工數為錢;七除工數為酒;三除為肉。
由於第2題應用題的題意比較不清楚,在此,略作解釋。
「每三人支肉一斤,剩零五兩八銖,乃三數剩二」,其意思為三個人合領一斤肉為獎賞,但由於總人數被三除時,還差一人可整除,則剩餘的五兩八銖,即為所差之人的獎賞;同樣地,剩下的錢數四百,是總人數被五除時,所差的二人之錢數。
換算單位為一斤等於十六兩,一兩等於二十四銖;一貫等於錢一千。
綜觀『翦管術』術文,可以發現它的程序性說明之特色。
朝鮮算學家黃胤錫(1729-1791)在他的《算學入門》中,引用了楊輝『翦管術』的全部內容,將楊輝的解法做更詳細的說明和評註;此外,他還給出兩首隱語詩,並且稱此類型的問題為『天算頌』。
首先,我們引述『天算頌』的歌訣︰
三朋共暇七旬休,五鳳樓前訪昔儔;赤壁秋生寒月滿,介山春盡落花稠。
三朋三也,七旬七十也,昔二十一也,秋生七月也,月滿十五也,春盡寒食三月也,由冬至至此一百五日也。
三人同行七十稀,五老峰頭廿一餘;七月十五初秋夜,冬至寒食百五除。
再看黃胤錫對『翦管術』題1的說明︰
(三)以三為主,用五七相因得三十五,滿三去之餘二,非餘一,故須倍三十五得七十,滿三去之始餘一,所以三數剩一下七十;(五)以五為主,用三七相因得二十一,滿五去之餘一,所以五數剩一下二十一;(七)以七為用,三五相因得十五,滿七去之餘一,所以七數剩一下十五。
右三五七循次相乘得一百五數,故本文滿一百五數去之。
以上,今俗稱為天算法,三五七皆天數故也。
顯然,黃胤錫進一步提供『翦管術』概念上的解說。
另外,由黃胤錫對『翦管術』題2的評註︰
今按三數剩二,當云剩一;五數剩三,當云剩二。
答當云七人;錢一貫四百;酒一掇;肉兩斤五兩八銖。
草當云︰三剩一下七十;五剩二下四十二,併之一百一十二,減一百五餘七。
以五除七為錢;七除七為酒;三除七為肉。
我們發現黃胤錫對題2提出另一個答案。
其實,追究楊輝和黃胤錫兩人的答案之所以會有所不同,是因為他們兩人對題意的看法不同。
所以,如何將題目敘述得簡單明瞭,也是值得注意的。
六、古今輝映
最後,我們試著將此文本的數學想法延拓,並附上一個很有意思的調查結果。
N≡
(mod
),i=1,2,3,…,nand
當
。
令
存在有
使得
≡1(mod
),i=1,2,3,…,n。
於是
N≡
(modM)。
我們可以很輕易的心算出這兩則文本的
。
如果數據較大時,
就無法輕而易舉心算出來了。
不過秦九韶的『大衍求一術』卻解決了這個問題︰
大衍求一術云︰置奇右上,定居右下,立天元一於左上。
先以右上除右下,所得商數與左上一相生,入左下。
然後乃以右行上下,以少除多,遞互除之,所得商數隨即遞互累乘,歸左行上下。
須使右上末後奇一而止,乃驗左上所得,以為乘率。
例如︰K‧20≡1(mod27)
27=1×20+720=2×7+67=1×6+16=5×1+1
1×1+0=12×1+1=31×3+1=45×4+3=23
所以得到K=23。
『孫子問題』為什麼能引起許多人的興趣?
讀者們閱讀至此處,應該不難理解了。
但是,能像秦九韶這樣給出一般化的解法,跨出問題的侷限,賦予新意,卻是難能可貴。
接著,就讓我們來看看現代的數學系大學生怎麼看待『物不知數』題。
讓台灣師大數學系(一、二、三、四年級)學生閱讀《孫子算經》『物不知數』的文本內容,請在廿分鐘『翻譯』成一般化的數學式子。
底下摘錄部分『答案』︰
兩兩互質
1.
,
2.x=
x=
=
=
=
=
3.令
x
我們發現;將近一半的學生能從文本閱讀找出其中蘊藏規律,給出一般化的結果(雖然並不是很完整)。
至於未能找出N的通式者,大多數都是想藉由
將
代換或式子變換去導出N。
由此看來,數學文本對數學學習的幫助是毋庸置疑的,但面對同一文本,有的人能夠自自然然的從中吸取養分—儘管我們無從知道學生是否既知其然,亦知其所以然。
而有的學生,非得一番天人交戰不可,試圖證明導出結果,或許在這當中,教師可以扮演文本與學生之間的橋樑。
或許數學學習的過程,可以分為四部曲「想、寫、證、說」。
首先,深入的思考、閱讀,激發自己的想法後,將腦袋裡的概念用最簡潔的數學式寫出來,再給予嚴謹的證明,然後將它說明清楚,讓別人也能理解。
其實,僅僅只是「寫」,就要有相當的數學功力。
能夠完成這四個過程,是相當不容易的,這徵之於我們所操作的這個『文本』實驗,多少可以知道問題癥結之所在了。
七、結語
黃胤錫的『天算頌』,提供中韓數學文化交流的文本寫照。
此時,讀者不妨回顧檢視我們一開始針對『物不知數』所作的中西數學文化交流之猜測,並將『物不知數』和『一次同餘組』再對比於『翦管術』和『天算頌』。
面對後者(『翦管術』和『天算頌』),我們可以清楚看到在數學文化交流下所呈現的文本內容,如此一來,相較於前者(『物不知數』和『一次同餘組』)的交流問題,答案不就更顯得有趣多了嗎?
最後,經由本文的論述,不知道讀者是否也能感受到數學史的知識性、文化性及趣味性?
祝福大家進入寶山,滿載而歸。
參考文獻
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