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K12学习集合函数与导数知识点
集合、函数与导数知识点
第一篇集合与简易逻辑第1讲集合及其运算
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或表示.2.集合间的基本关系表示关系相等集合间的基本关系真子集空集子集文字语言集合A与集合B中的所有元素都相同A中任意一个元素均为B中的元素A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集符号语言A=BAB3.集合的基本运算图形语言符号语言 UA={x|x∈U,且xA}集合的并集集合的交集集合的补集A∪B={x|x∈A,或x∈A∩B={x|x∈A,且x∈B}B}第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件
1.四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系.2.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若pq,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的既不充分也不必要条件
第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1.简单的逻辑联结词
(1)逻辑联结词
命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词.
(2)命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断
p真真假假2.全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有:
“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.
(2)常见的存在量词有:
“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.
(3)全称量词用符号“”表示;存在量词用符号“”表示.3.全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题.
(2)含有存在量词的命题叫特称命题.4.命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.
q真假真假p∧q真假假假p∨q真真真假綈p假假真真ppq且qppq且qppqq且qp
(2)p或q的否定为:
非p且非q;p且q的否定为:
非p或非q. 第二篇函数与导数
第1讲函数的概念及其表示
1.函数的基本概念
(1)函数的定义
一般地,设A,B是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应;那么就称:
f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作y=f(x),x∈A.
(2)函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.(3)函数的三要素是:
定义域、值域和对应关系.(4)表示函数的常用方法有:
解析法、列表法和图象法.(5)分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽几个部分组成,但它表示的是一个函数.2.函数定义域的求法
类型2nfx,n∈N*x满足的条件f(x)≥0f(x)≠0f(x)>0各个函数定义域的交集使实际问题有意义1与[f(x)]0fxlogaf(x)四则运算组成的函数实际问题3.函数值域的求法
方法配方法性质法单调性法换元法分离常数法
示例y=x2+x-2y=exy=x+x-2y=sin2x+sinx+1xy=x+1示例答案9y∈-4,+∞y∈(0,+∞)y∈[2,+∞)3y∈4,3y∈(-∞,1)∪(1,+∞)第2讲函数的单调性与最值
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义增函数减函数一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2定义当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数续表当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.2.函数的最值
前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足(3)对于任意x
(1)对于任意x∈I,都有条件f(x)≤M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.∈I,都有f(x)≥M;(4)存在x0∈I,使得f(x0)=M.结论M为最大值M为最小值 第3讲函数的奇偶性与周期性1.函数的奇偶性奇偶性偶函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数图象特点关于y轴对称奇函数关于原点对称2.奇(偶)函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”).
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数.②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数.③一个奇函数,一个偶函数的积函数是奇函数.(3)若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.3.周期性
(1)周期函数:
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
第4讲幂函数与二次函数
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质定义域RRR[0,+∞){x|x∈R,且x≠0}{y|y∈R,且y≠0}奇(-∞,0)减,(0,+∞)减(1,1)y=xy=x2y=x31y=x2y=x-1值域奇偶性R奇[0,+∞)偶(-∞,0]R奇[0,+∞)非奇非偶单调性增减,[0,+∞)增增增定点2.二次函数
(1)二次函数的定义
(0,0),(1,1)形如f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数.
(2)二次函数的三种常见解析式①一般式:
f(x)=ax2+bx+c(a≠0);
②顶点式:
f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),(m,n)为顶点坐标;
③两根式:
f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)其中x1,x2分别是f(x)=0的两实根.(3)二次函数的图象和性质
函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)a>0a0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.2.对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
几个恒等式(M,N,a,b都是正数,且a,b≠1)①
logaN
=N;②logaaN=N;③logbN=logb;④a
=
n1loglogbc·logcd=logad.ab;⑤logab=mlogba,推广logab·
(2)对数的运算法则(a>0,且a≠1,M>0,N>0)
M①loga(M·N)=logaM+logaN;②logaN=logaM-logaN;③logaMn=nlogaM(n∈R);1n④logaM=nlogaM.3.对数函数的图象与性质
a>10<a<1图象
(1)定义域:
(0,+∞)
(2)值域:
R (3)过点(1,0),即x=1时,y=0性质(4)当x>1时,y>0当0<x<1时,y<0(6)在(0,+∞)上是增函数
第7讲函数的图象
(5)当x>1时,y<0当0<x<1时,y>0(7)在(0,+∞)上是减函数1.函数的图象及作法
2.图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
关于x轴对称
①y=f(x)――→y=-f(x);关于y轴对称②y=f(x)――→y=f(-x);关于原点对称③y=f(x)――→y=-f(-x);
关于y=x对称④y=a(a>0且a≠1)――→y=logax(a>0且a≠1).
x
(3)翻折变换
保留x轴上方图象①y=f(x)―――――――→y=|f(x)|.将x轴下方图象翻折上去保留y轴右边图象,并作其
②y=f(x)――――――――→y=f(|x|).
关于y轴对称的图象
(4)伸缩变换
纵坐标伸长a>1或缩短0<a<1为原来
①y=f(x)――→y=
的a倍,横坐标不变af(x)(a>0)
横坐标伸长0<a<1或缩短a>1为原来
②y=f(x)―→y=f(ax)(a>0)1―
的a倍,纵坐标不变第8讲函数与方程
1.函数的零点
(1)函数的零点的概念
对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)函数的零点与方程的根的关系
方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.(3)零点存在性定理
如果函数y=f(x)满足:
①在闭区间[a,b]上连续;②f(a)·f(b)<0;则函数y=f(x)在(a,b)上存在零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.2.二分法
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
第9讲函数模型及其应用
1.函数模型及其性质比较
(1)几种常见的函数模型
函数模型一次函数模型二次函数模型与指数函数相关模型与对数函数相关模函数解析式f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)型与幂函数相关模型
(2)三种函数模型性质比较函数性质在(0,+∞)上的单调性增长速度y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠0)单调增函数越来越快单调增函数越来越慢单调增函数相对平稳a2.“f(x)=x+x”型函数模型
a
形如f(x)=x+x(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型,在现实生活中有着广泛的应用,常利用基本不等式、导数、函数单调性求解最值.
第10讲变化率与导数、导数的计算
1.导数的概念
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数
①定义:
称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
ΔyΔx=
fx0+Δx-fx0
为
Δx
函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或.
②几何意义:
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
(2)称函数f′(x)=
fx+Δx-fx
为f(x)的导函数.
Δx
2.基本初等函数的导数公式
原函数f(x)=xα(α∈Q*)f(x)=sinxf(x)=cosx导函数f′(x)=αxα-1f′(x)=cos_xf′(x)=-sin_xf(x)=axf(x)=exf(x)=logaxf(x)=lnx3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x).
(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).f′xgx-fxg′xfx′=(3)(g(x)≠0).
[gx]2gx4.复合函数的导数
f′(x)=axln_a(a>0)f′(x)=ex1f′(x)=xlna1f′(x)=x设u=v(x)在点x处可导,y=f(u)在点u处可导,则复合函数f[v(x)]在点x处可导,且f′(x)=f′(u)·v′(x).
第11讲导数在研究函数中的应用
1.函数的导数与单调性的关系函数y=f(x)在某个区间内可导,则
(1)若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内单调递增.
(2)若f′(x)0,右侧f′(x)0,则x0为函数的极小值点,f(x0)叫函数的极小值极小值3.函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件
如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值.
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
第12讲导数的综合应用
1.生活中的优化问题
通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题,一般地,对于实际问题,若函数在给定的定义域内只有一个极值点,那么该点也是最值点.2.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
3.导数在研究方程(不等式)中的应用
研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式;反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等,又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题,利用导数进行研究.
第13讲定积分与微积分基本定理
1.定积分的概念与几何意义
(1)定积分的定义
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间上任取一点ξi(i=1,2,,n),作和式
Snf(i)xi1i1nnbaf(i),当n→∞时,上述和式无限接近于某个常数,这n个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作Sbaf(x)dx,即
baf(x)dxlimfini1nban
(2)定积分的几何意义
①当f(x)≥0时,定积分f(x)dx表示直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y
ab=f(x)所围成的曲边梯形的面积.(图1)
②当f(x)在区间[a,b]上有正有负时,如图2所示,则定积分f(x)dx表示介于
abx轴.曲线y=f(x)以及直线x=a,x=b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和,即f(x)dx=A1+A3-A2.ab2.定积分的性质
(1)kf(x)dxkf(x)dx
aabb
(2)[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dx
aaabcbbbb(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)
aac3.微积分基本定理
一般地,如果f(x)是在区间[a,b]上的连续函数,且F′(x)=f(x).那么f(x)dx
ab=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式.
第一篇集合与简易逻辑第1讲集合及其运算
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或表示.2.集合间的基本关系表示关系相等集合间的基本关系真子集空集子集文字语言集合A与集合B中的所有元素都相同A中任意一个元素均为B中的元素A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集符号语言A=BAB3.集合的基本运算图形语言符号语言 UA={x|x∈U,且xA}集合的并集集合的交集集合的补集A∪B={x|x∈A,或x∈A∩B={x|x∈A,且x∈B}B}第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件
1.四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系.2.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若pq,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的既不充分也不必要条件
第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1.简单的逻辑联结词
(1)逻辑联结词
命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词.
(2)命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断
p真真假假2.全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有:
“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.
(2)常见的存在量词有:
“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.
(3)全称量词用符号“”表示;存在量词用符号“”表示.3.全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题.
(2)含有存在量词的命题叫特称命题.4.命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.
q真假真假p∧q真假假假p∨q真真真假綈p假假真真ppq且qppq且qppqq且qp
(2)p或q的否定为:
非p且非q;p且q的否定为:
非p或非q. 第二篇函数与导数
第1讲函数的概念及其表示
1.函数的基本概念
(1)函数的定义
一般地,设A,B是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应;那么就称:
f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作y=f(x),x∈A.
(2)函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.(3)函数的三要素是:
定义域、值域和对应关系.(4)表示函数的常用方法有:
解析法、列表法和图象法.(5)分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽几个部分组成,但它表示的是一个函数.2.函数定义域的求法
类型2nfx,n∈N*x满足的条件f(x)≥0f(x)≠0f(x)>0各个函数定义域的交集使实际问题有意义1与[f(x)]0fxlogaf(x)四则运算组成的函数实际问题3.函数值域的求法
方法配方法性质法单调性法换元法分离常数法
示例y=x2+x-2y=exy=x+x-2y=sin2x+sinx+1xy=x+1示例答案9y∈-4,+∞y∈(0,+∞)y∈[2,+∞)3y∈4,3y∈(-∞,1)∪(1,+∞)第2讲函数的单调性与最值
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义增函数减函数一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2定义当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数续表当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.2.函数的最值
前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足(3)对于任意x
(1)对于任意x∈I,都有条件f(x)≤M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.∈I,都有f(x)≥M;(4)存在x0∈I,使得f(x0)=M.结论M为最大值M为最小值 第3讲函数的奇偶性与周期性1.函数的奇偶性奇偶性偶函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数图象特点关于y轴对称奇函数关于原点对称2.奇(偶)函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”).
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数.②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数.③一个奇函数,一个偶函数的积函数是奇函数.(3)若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.3.周期性
(1)周期函数:
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
第4讲幂函数与二次函数
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