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波动光学复习题.docx
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波动光学复习题
波动光学-复习题
第一章
1.2光自真空进入金刚石(nd=2.4)中,若光在真空中的波长λ0=600nm,试求该光波在金刚石中的波长和传播速度。
解:
,,
1.4有一个一维简谐波沿z方向传播,已知其振幅a=20mm,波长λ=30mm,波速v=20mm/s,初相位φ0=π/3。
(1)试问该简谐波的振动物理量是什么?
(2)写出该简谐波的波函数。
(3)试在同一图中画出t=0和t=0.5s两个时刻的波形图(z的范围自0~2λ),并指出波的传播方向。
解:
(1)EB
(2)该简谐波的波函数如下:
(3)该波沿z轴方向传播。
1.6试求一维简谐波的相速度,问该简谐波的传播方向为何?
(z和t的单位分别是米和秒)
解:
将z写成:
,
,,
试求该波的频率、波长、传播速度,并求玻璃的折射率。
解:
,
频率:
1.28一束平面光波以布儒斯特角入射到一透明平行平板上,试证明在平板上、下表面反射的都是线偏振光。
证明:
如图,设平板的折射率为n,上、下皆为空气,当光线以布儒斯特角入射时,则有:
sinθB=nsinθt,由于平班上、下表面平行,,现在只要证明θt正好为下表面的布儒斯特角即可。
由上式:
,根据布儒斯特定律,布儒斯特角为:
,θB+θt=90°
∵平板两表面平行,对于下表面来说,
,,
对于下表面也是布儒斯特角,所以反射光也为线偏振光。
1.33一玻璃平板(n=1.5)置于空气中,设一束振幅为E0、强度为I0的平行光垂直射到玻璃表面上,试求前三束反射光R1、R2、R3和前三束透射光T1、T2、T3的振幅和强度。
(图见书p49)
解:
根据菲涅耳公式,当光线垂直入射时,有:
,
对于上表面,有:
,
,
对于下表面,有:
,,,
先看反射光:
R1反射一次,
R2:
R3:
强度:
,,
对于透射光,T1:
T2:
T3:
,,
1.35一束振动方向平行于入射面的平行光以布儒斯特角射到玻璃棱镜(n=1.5)的侧面AB上,如图所示,欲使入射光通过棱镜时没有反射损失,问棱镜顶角A应为多大?
解:
与入射面平行的是P分量,当以布儒斯特角入射到界面上时,P分量的反射系数为0,没有能量损失。
所以,只要该光线在AC面上仍旧以布儒斯特角入射,就没有反射损失。
,
在AC面上,
由1-28题可知,当时,
所以此时光线在AB面上也满足布儒斯特定律
θB
又因为,D是AB、AC两法线的交点,
,,
,
1.38如图所示,一直角棱镜(n=1.5)置于空气中,试问为了保证在棱镜斜面上发生全反射,最大入射角αmax为何?
解:
若要在斜面上全反射,则
,
θt与θc之间的关系是:
,
答:
最大入射角约为4.79°
第三章光的干涉
3.1试利用复数表示法求下述两个波:
的合成波函数,并说明该合成波的主要特点。
解:
,
,这是两个传播方向相反的波,合成后为驻波,利用驻波合成:
,该驻波满足时,为驻波;满足时,为波节。
3.3有两个波面与y轴平行的单色平面波分别以α1和α2角射向观察屏II(z=0平面),如图所示。
已知此两光波的振幅均为E0,振动方向平行于xz平面,波长λ=500mm,初相位分别为φ10=0,φ20=30°。
(1)试求沿x轴的光强分布表达式;
(2)试问距离O点最近的光强极大值位置为何?
(3)设α1=20°,α2=30°,求x方向光强度分布(即条纹)的空间频率和空间周期。
(4)求干涉条纹的反衬度。
解:
根据空间频率的计算公式,在x轴方向,波的空间频率分别为:
,
现在,两列波在xy面上相遇并干涉,则在xy面上,波的复振幅可表示为:
,或可表示为
,或可表示为
所以,干涉场为:
则光强为:
,其中,
利用欧拉公式,
将φ1、φ2代入,最终得到:
当时,为干涉极大,;当m=0时,,此时,为距O点最近的极大处。
求出m=0时条纹位置和m=1时条纹位置,它们的差就是条纹的间距。
当m=1时,,
与m=0时的位置之差:
其空间频率为空间周期的倒数,则:
。
(4)由公式:
,其中α为两支光的振动方向的夹角,可以得到:
所以,此时干涉条纹的反衬度为0.71。
3.5在杨氏实验装置的一个小孔s1后面放置一块n=1.5、厚度h=0.01mm的薄玻璃片,如图所示。
试问与放玻璃片之前相比,屏II上干涉条纹将向哪个方向移动?
移动多少个条纹间距?
(设光源波长为500nm)。
解:
(1)放入玻璃片之后,由s1到达P点的光波的光程增加,所以,屏上的干涉条纹的零级将向上方移动。
(2)由厚度为h的玻璃片引进的光程差为,由于这个光程差,使原来的0级条纹可能移动到了P处,原来P处的条纹可能是m级,mλ是s1P和s2P的差,现在这个差被h中和了,,
,条纹移动了10个间距。
3.6在图3-16的杨氏干涉装置中,设光源s是一个轴外点光源,位于ξ=0.2mm处,光源波长λ=550nm。
已知双缝间距l=1mm,光源至双缝距离a=100mm,双缝至观察屏II的距离d=1m。
试求:
(1)屏II上的强度分布;
(2)零级条纹的位置;(3)条纹间距和反衬度。
解:
由于s位于轴外,此时由s发出的经s1、s2到达P点的光的光程差就由两部分组成:
,所以,根据干涉公式:
(1)屏上的光强分布为。
(2)零级条纹位于Δ=0处,
,,,
零级条纹位于P点下方2mm处。
(3)条纹间距为:
当为2mπ时,,
当为(2m+1)π时,,,。
3.9已知He–Ne激光器的波长λ=632.8nm,谱线宽度约为0.00006nm,试问若用它作为光源,干涉条纹的最高干涉级和相干光程各为何?
解:
由公式:
最大干涉级,相干长度
3.11假设图示菲涅耳双棱镜的折射率n=1.5,顶角α=0.5°,光源s和观察屏II至双棱镜的距离分别为a=100mm和d=1m,若测得屏II上干涉条纹间距为0.8mm,试求所用光源波长的大小。
解:
根据双棱镜干涉的公式:
屏幕上条纹间距为,
3.13瑞利干涉仪可用来测量媒质折射率的大小,其光路如图所示,T1和T2是两个完全相同的玻璃管,对称地放置在双缝S1、S2后的光路中。
通过玻璃管的两束光被透镜L2汇聚在屏II上产生干涉条纹。
测量时,光在T1、T2管内以相同气压的空气开始观察干涉条纹;然后把T1管逐渐抽成真空,与此同时计数到条纹向下移动了49条。
其后,再向T1管内充以相同气压的CO2气体,观察到条纹回到原位后又向上移动了27条。
已知管长为100mm,光源波长为589nm,试求空气和CO2气体的折射率大小。
解:
(1)移动的49个条纹是由两路光程不一样引起的,即此时两路光的光程差为Δ1=49λ,此是由管内分别为空气和真空引起的,所以:
,,=1.00028861
将CO2充入T1后,条纹回到原位又向上移了27条,这27条是空气和CO2的折射率不同造成的,,或者,与真空的T1管情况相比条纹共移动了27+49=76条,这是由真空和CO2的折射率不同引起的,所以,由此可求出nCO2:
或:
3.14在海定格干涉仪中,设平板玻璃折射率为n=1.5,板厚d=2mm,宽光源s的波长λ=600nm,透镜焦距f=300mm。
试求:
(1)干涉条纹中心的干涉级,试问是亮纹还是暗纹;
(2)从中心向外数第8个暗环的半径及第8个和第9个暗纹间的条纹间距;
(3)条纹的反衬度。
解:
(1)诲定格干涉仪圆环中心处对应的干涉级为:
,所以中心处为暗级。
(2)从中心处自外数,第8个暗纹的半径为:
,N=8
第9个暗纹的半径为(N=9):
所以,它们的条纹间距为:
(3)在不考虑其它因素的情况下(可以用扩展光源,光源只有一个λ),干涉条纹的反衬度与I1、I2有关,海定格干涉仪是双光束反射光干涉,其第一支光的反射光强为0.04I0,I0为入射光强,第二支反射光的光强度为0.037I0,所以:
,当时,有:
,当时,有:
3.15一束波长λ=600nm的平行光垂直照射到位于空气中的薄膜上,设薄膜的折射率为n=1.5。
试问使两表面反射光干涉抵消的最小薄膜厚度为多少?
解:
此为一平行光正入射的平行平板的双光束反射光干涉,根据光程差公式:
,,,,
若干涉相消,即得到暗纹,
,即时,得到暗纹,所以,
当时,干涉相消;当m=1时,d最小,
,最小膜厚为200nm。
3.16利用干涉法测细丝直径,如书上图。
形成的是空气楔。
当用λ=589nm的纳黄光垂直照明时,可观察到10个条纹,试求细丝直径φ的大小。
解:
此时是等厚条纹,相邻亮纹或暗纹处所对应的厚度差为λ/2,所以,厚度差即细丝的直径为:
。
3.19在平凸透镜和平晶产生牛顿环的装置中,若已知透镜材料的折射率为1.5,照明光波波长为λ=589nm,测得牛顿环第5个暗环半径为1.2mm,试问透镜曲率半径?
解:
根据牛顿环的公式,第k个暗纹的半径与透镜的曲率半径之比为:
,
现k=5,则
3.21在做迈克尔逊干涉仪实验时,若将钠灯作为光源,则在移动M1镜的过程中会看到条纹由清晰到模糊再到清晰的周期变化。
已知纳双线的波长分别为589nm和589.6nm,试问在条纹相继两次消失之间,M1镜动了多少距离?
解:
设现在纳双线的波长分别为λ1、λ2,显然当波长λ1的单色光的亮条纹和波长为λ2的单色的亮条纹重合时,条纹的可见度最好,即为清晰可见;而当λ1的亮条纹和λ2的暗条纹重合时,条纹消失,此时相当于光程差等于λ1的整数倍和λ2的半整数倍的情形,此时的光程差可表示为:
,,
当h增加Δh时,条纹两次消失,但这时两种波长的干涉级的差增加了1,所以:
,与上式相减:
,。
将纳双线的波长代入,可得到:
。
可以这样理解,λ1的m级和λ2的m+1级重合时,条纹清晰,当λ1的m级和λ2的m+2级重合时,条纹又变得清晰,两次重合之间条纹的级差为1,条纹消失也是如此。
3.24设法–珀干涉仪两反射镜的距离d=2mm,准单色宽光源波长λ=546nm,透镜焦距f=320mm。
试求从中心向外算第6个亮纹的角半径,半径和条纹间距。
解:
根据公式:
半径:
,
条纹间距:
3.26汞的同位素Hg198、Hg200、Hg202和Hg204在绿光范围各有一条特征谱线,波长分别为546.0753nm、546.0745nm、546.0734nm和546.0728nm。
分别用一法–珀标准具(ρ=0.9)分析这一精细结构,试问标准具的间隔d需要满足什么条件?
解:
标准具的自由光谱范围为,
其分辨率为:
要使用此干涉仪,可使用λ=546nm,最小的波长差为δλ,最大的波长差为Δλ。
,=0.0025nm
,即,当m=30537时,G=0.0179nm,该标准具所允许的最大波长差为0.0179nm。
而题中,4个波长的最大差别为:
546.0753-546.0728=0.0025nm,小于0.0179nm,符合要求,可以用此标准具来测量。
根据法–珀的光程差公式,,n=1,
,所以,标准具的间隔大于8.3mm即可。
第四章
4.4波长为546nm的绿光垂直照射到缝宽为1mm的狭缝,在狭缝后面放置一个焦距为1m的透镜透镜,将衍射光聚焦在透镜后焦面的观察屏上。
试求:
(1)衍射图形中央亮环的宽度与角宽度;
(2)衍射图形中央两侧2mm处的辐照度与中央辐照度的比值。
解:
(1)根据单缝衍射的公式,,时为极小,则当m=1时,得到的是中央亮环的半角宽度,此时:
,中央亮环的角宽度为2θ,
亮环宽度
(2)根据辐照度公式:
,
则,距中央2mm处的辐照度为:
,它和中央的辐照度之比为:
由此可见,此处的辐照度很低,可以认为基本为0。
4.5如图所示,一束平行光以角β
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