高考数学第一轮复习第四单元平面向量数系的扩充与复数的引入教案.docx
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高考数学第一轮复习第四单元平面向量数系的扩充与复数的引入教案
2020年高考数学第一轮复习
第四单元平面向量、数系的扩充与复数的引入
第24讲 平面向量的概念及其线性运算
课前双击巩固
1.向量的有关概念及表示
名称
定义
表示
向量
在平面中,既有 又有 的量
用a,b,c,…或,,…表示
向量的模
向量a的 ,也就是表示向量a的有向线段的 (或称模)
或
零向量
长度为 的向量
用 表示
单位向量
长度等于 个单位的向量
用e表示,|e|=
平行向量
方向 或相反的非零向量(或称共线向量)
a∥b
相等向量
相等且方向 的向量
a=b
相反向量
相等,方向 的向量
向量a的相反向量是
说明:
零向量的方向是 、 .
规定:
零向量与任一向量 .
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量 的运算
法则
法则
(1)加法交换律:
a+b= ;
(2)加法结合律:
(a+b)+c=
减法
减去一个向量相当于加上这个向量的
法则
a-b=
数乘
实数λ与向量a的积是一个 ,这种运算叫作向量的 ,
记作
(1)|λa|= .
(2)当λ>0时,λa与a的方向 ;当λ<0时,λa与a的方向 ;当λ=0时,λa=
(1)对向量加法的分配律:
λ(a+b)= ;
(2)对实数加法的分配律:
(λ1+λ2)a=
3.向量的共线定理
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一的实数λ,使 .
常用结论
1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,即+++…+=.特别地,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.
2.若P为线段AB的中点,O为平面内任意一点,则=(+).
3.若A,B,C是平面内不共线的三点,则++=0⇔P为△ABC的重心.
4.在△ABC中,AD,BE,CF分别为三角形三边上的中线,它们交于点G(如图4-24-1所示),易知G为△ABC的重心,则有如下结论:
(1)++=0;
(2)=(+);
(3)=(+),=(+).
图4-24-1
5.若=λ+μ(λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1.
题组一 常识题
1.[教材改编]-+-+++= .
2.[教材改编]如图4-24-2,D,E,F分别是△ABC各边的中点,给出下列结论:
(1)=;
(2)与共线;(3)与是相反向量;(4)=||.其中错误结论的序号是 .
图4-24-2
3.[教材改编]M是△ABC的边BC的中点,=a,=b,则= .
4.[教材改编]向量e1与e2不共线,若a=e1-e2与b=-2e1+λe2共线,则λ= .
题组二 常错题
◆索引:
向量概念不清致误;向量相等的隐含条件挖掘不全致误.
5.给出下列结论:
①+=2;②已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向与向量a的方向相同;③设a0为单位向量,则平面内向量a=|a|·a0.其中正确结论的序号是 .
6.若四边形ABCD满足=且||=||,则四边形ABCD的形状是 .
7.已知向量a,b,若|a|=2,|b|=4,则|a-b|的取值范围为 .
课堂考点探究
探究点一 平面向量的基本概念
1
(1)设a,b都是非零向量,下列条件中一定能使+=0成立的是( )
A.a=2bB.a∥bC.a=--b D.a⊥b
(2)给出下列说法:
①若|a|=|b|,则a=b;
②若a∥b,b∥c,则a∥c;
③a与b是非零向量,若a与b同向,则a与-b反向;
④若与共线,则A,B,C三点在同一条直线上.
其中错误说法的序号是 .
[总结反思]对于平面向量的有关概念应注意以下几点:
(1)平行向量就是共线向量,二者是等价的,它们均与起点无关;非零向量的平行具有传递性;相等向量一定是平行向量,而平行向量则未必是相等向量;相等向量具有传递性.
(2)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负数,可以比较大小.
(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图像的移动混为一谈.
(4)非零向量a与的关系:
是与a同方向的单位向量.
式题
(1)如图4-24-3,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式中成立的是( )
A.=B.=
C.=D.=
图4-24-3
(2)给出下列说法:
①若A,B,C,D是不共线的四个点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量与相等;④若a=b,b=c,则a=c.其中正确说法的序号是( )
A.①④B.③④
C.②③D.①②
探究点二 平面向量的线性运算
考向1 平面向量加减法的几何意义
2
(1)[2017·南昌重点学校模拟]已知O为△ABC内一点,满足4=+2,则△AOB与△AOC的面积之比为( )
A.1∶1B.1∶2
C.1∶3D.2∶1
(2)已知△ABC,若|+|=|-|,则△ABC的形状为 .
[总结反思]利用向量加减法的几何意义解决问题通常有两种方法:
(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形,再结合其他知识求解相关问题;
(2)平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形的问题,可考虑利用向量知识来求解.
考向2 平面向量的线性运算
3
(1)[2017·西宁一模]如图4-24-4所示,
图4-24-4
在△ABC中,点D在BC边上,且CD=2DB,点E在AD上,且AD=3AE,则=( )
A.+B.-
C.+D.-
(2)[2017·长春二模]在△ABC中,D为△ABC所在平面内一点,且=+,则=( )
A.B.C.D.
[总结反思]向量线性运算的解题策略:
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.
(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:
①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.
考向3 利用向量的线性运算求参数
4[2017·运城三模]在△ABC中,=,P是直线BN上一点,且=m+,则实数m的值为( )
A.-2B.-4C.1D.4
[总结反思]与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
强化演练
1.【考向1】设D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,则+=( )
A.B.
C.D.
2.【考向1】[2017·长沙长郡中学三模]已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2++=0,则( )
A.=B.=2
C.=3D.2=
3.【考向2】在△ABC中,点D是BC的中点,点E是AC的中点,点F在线段AD上,且AF=2DF,设=a,=b,则=( )
A.a-bB.a-b
C.a-bD.a-b
4.【考向1】已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且|a-b|=,则|a+b|= .
5.【考向3】[2017·山东滨州二模]如图4-24-5所示,在△ABC中,O为BC的中点,过点O的直线分别交AB,AC所在直线于点M,N.若=m,=n,则m+n= .
图4-24-5
探究点三 共线向量定理及应用
考向1 向量共线的问题
5已知e1,e2是两个不共线的向量,若a=2e1-e2与b=e1+λe2共线,则λ=( )
A.-B.-2C.D.2
[总结反思]两个向量共线是指两个向量的方向相同或相反,因此共线包含两种情况:
同向共线或反向共线.一般地,若a=λb(a≠0),则a与b共线:
(1)当λ>0时,a与b同向;
(2)当λ<0时,a与b反向.
考向2 三点共线的问题
6
(1)已知a,b是不共线的向量,=a+5b,=-3a+6b,=4a-b,则( )
A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线
C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线
(2)已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则λ=( )
A.-1B.2
C.-2或1D.-1或2
[总结反思]
(1)三点共线问题可转化为向量共线问题来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.根据A,B,C三点共线求参数问题,只需将问题转化为=λ,再利用对应系数相等列出方程组,进而解出系数.
(2)三点共线的一个常用结论:
A,B,C三点共线⇔存在实数λ,μ,对平面内任意一点O(O不在直线BC上)满足=λ+μ(λ+μ=1).
强化演练
1.【考向1】已知e1,e2是不共线的向量,则下列各组向量中是共线向量的有( )
①a=5e1,b=3e1;②a=3e1-2e2,b=-e1+e2;③a=e1+e2,b=-2e1+2e2.
A.①②B.①③C.②③D.①②③
2.【考向1】[2017·景德镇模拟]已知O,A,B三点不共线,P为该平面内一点,且=+,则( )
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的延长线上
C.点P在线段AB的反向延长线上
D.点P在射线AB上
3.【考向1】[2017·哈尔滨三中四模]设e1,e2是不共线的向量,a=e1+ke2,b=ke1+e2,若a与b共线,则实数k=( )
A.0B.-1C.-2D.±1
4.【考向2】已知O为△ABC内一点,且=(+),=t,若B,O,D三点共线,则t=( )
A.B.C.D.
第25讲 平面向量基本定理及坐标表示
课前双击巩固
1.平面向量的基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任意向量a, 一对实数λ1,λ2使 .其中,不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组 .
2.平面向量的坐标运算
(1)平面向量的坐标运算
向量
a
b
a+b
a-b
λa
坐标
(x1,y1)
(x2,y2)
(2)向量的坐标求法
已知A(x1,y1),B(x2,y2),则= ,
||= .
3.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔ .
常用结论
1.若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0.
2.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则P点坐标为
;已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为
.
题组一 常识题
1.[教材改编]已知向量=(-5,2),点P(2,3),则点Q的坐标为 .
2.[教材改编]如图4-25-1,已知向量e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a用基底e1,e2表示为 .
图4-25-1
3.[教材改编]在平面直角坐标系中,A(-1,2),B(3,1),且=3,则向量= .
4.[教材改编]已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(x-y)e1+(2x+y)e2=6e1+3e2,则x+y= .
题组二 常错题
◆索引:
平面向量基本定理的前提是基底不能共线;由点的坐标求向量坐标时忽视起点与终点致误;两个向量共线的坐标表示公式掌握不牢.
5.给出下列三个向量:
a=(-2,3),b=
1,-
c=(-1,1).在这三个向量中任意取两个作为一组,能构成基底的组数为 .
6.已知A(-5,8),B(7,3),则与向量共线的单位向量为 .
7.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则m= .
课堂考点探究
探究点一 平面向量的基本定理
1
(1)已知向量a=(3,4),若存在实数x,y,使得a=xe1+ye2,则e1,e2可以是( )
A.e1=(0,0),e2=(-1,2)
B.e1=(-1,3),e2=(-2,6)
C.e1=(-1,2),e2=(3,-1)
D.e1=,e2=(1,-2)
(2)[2017·珠海二模]已知D为△ABC所在平面内一点,且=3+4,若点E为直线BC上一点,且=λ,则λ的值为( )
A.4B.5C.6D.7
[总结反思]
(1)应用平面向量基本定理表示向量,实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:
先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决问题.
式题在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,BC的中点,若=λ+μ其中λ,μ∈R,则λ+μ=( )
A.B.2C.D.1
探究点二 平面向量的坐标运算
2
(1)[2017·鹰潭一中期中]已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则a-b=( )
A.(-2,-1)B.(-1,2)
C.(-1,0)D.(-2,1)
(2)已知M(-2,7),N(10,-2),点P是线段MN上的点,且=-2,则点P的坐标为( )
A.(-14,16)B.(22,-11)
C.(6,1)D.(2,4)
[总结反思]
(1)利用向量的坐标运算解题,首先利用加、减、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解.
(2)向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.
式题
(1)[2018·石家庄二中模拟]已知向量a=(3,t),b=(-1,2),若存在非零实数λ,使得a=λ(a+b),则t=( )
A.6B.-6C.-D.
(2)已知向量a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=0,则c=( )
A.B.
C.D.
探究点三 平面向量共线的坐标表示
3
(1)设k∈R,已知平面向量a=(-3,1),b=(-7,3),则下列向量中与2a-b一定不共线的向量是( )
A.c=(k,k)B.c=(-k,-k)
C.c=(k2+1,k2+1)D.c=(k2-1,k2-1)
(2)[2017·日照二模]已知点P(-3,5),Q(2,1),向量m=(2λ-1,λ+1),若∥m,则实数λ等于( )
A.B.-C.D.-
[总结反思]
(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:
①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0;②已知b≠0,则a∥b的充要条件是a=λb(λ∈R).
(2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均为非零实数时,也可以利用坐标对应成比例来求解.
式题
(1)若A(-2,3),B(3,-2),C
m
三点共线,则m=( )
A.B.-C.-2D.2
(2)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若μa+b与a-2b平行,则μ=( )
A.-2B.2C.-D.
第26讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例
课前双击巩固
1.平面向量的数量积
(1)概念
已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量 叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b= ,并规定零向量与任一向量的数量积为 ,即 .
(2)几何意义
①向量的投影:
叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.
②向量数量积的几何意义:
数量积a·b等于a的长度|a|与 的乘积.
(3)向量的夹角
已知两个 向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作 .
2.平面向量数量积的运算律
已知向量a,b,c和实数λ.
①交换律:
;
②数乘结合律:
(λa)·b= = (λ∈R);
③分配律:
(a+b)·c= .
3.平面向量数量积的性质
设a,b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量,θ是a与e的夹角.
①e·a=a·e= .
②a⊥b⇔ .
③当a与b同向时,a·b= ;当a与b反向时,a·b= .
特别地,a·a= 或|a|= .
④cosθ= .
⑤|a·b| |a||b|.
4.平面向量数量积的有关结论
已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
向量表示
坐标表示
向量a的模
|a|=
|a|=
a,b的数量积
a·b=|a||b|cosθ
a·b=
a与b垂直
a⊥b⇔a·b=0
a⊥b⇔
a,b的夹角
cosθ=
cosθ=
常用结论
1.平面向量数量积运算的常用公式:
(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;
(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.
2.有关向量夹角的两个结论:
(1)两个向量a与b的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立);
(2)两个向量a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(因为a与b夹角为π时不成立).
题组一 常识题
1.[教材改编]已知向量a=(1,-2),b=(3,-4),则a·(a-b)= .
2.[教材改编]已知|a|=,|b|=,a·b=,则向量a与b的夹角为 .
3.[教材改编]已知=1,=2,且向量a与b的夹角为120°,则|2a-b|= .
4.[教材改编]已知两个单位向量e1,e2的夹角为45°,且满足e1⊥(λe2-e1),则λ= .
5.[教材改编]在长江南岸渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h.若渡船要垂直渡过长江,则渡船的航向应为 .
题组二 常错题
◆索引:
向量的夹角没有找准导致出错;向量的数量积的几何意义不理解致误;向量的数量积的有关性质应用不熟练.
6.在边长为1的等边三角形ABC中,设=a,=b,=c,则a·b+b·c+c·a= .
7.已知=(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量在方向上的投影为 .
8.若四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是 .
课堂考点探究
探究点一 平面向量的数量积的运算
1
(1)[2017·长沙模拟]已知向量a=(2,-1),b=(3,x),若a·b=3,则x= .
(2)[2017·江西重点中学联考]在边长为1的正三角形ABC中,设=2,=2,则·= .
[总结反思]向量数量积的运算问题可从三个方面考虑:
(1)直接使用定义(已知两个向量的模与夹角)或利用数量积的坐标公式求解;
(2)把两个向量各自使用已知的向量表示,再按照法则计算;
(3)建立平面直角坐标系,把求解的两个向量使用坐标表示,再按照坐标法计算.
式题
(1)[2017·资阳期末]已知菱形ABCD的边长为2,∠B=,点P满足=λ,λ∈R.若·=-3,则λ=( )
A.B.-C.D.-
(2)[2017·襄阳四中月考]已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,|a-b|=7,则a·b= .
探究点二 向量的夹角与向量的模
考向1 平面向量的模
2
(1)[2017·芜湖、马鞍山联考]已知向量a=(1,-3),b=(2,m),若a∥b,则|a-2b|=( )
A.45B.90C.3D.3
(2)[2017·河南新乡三模]已知向量,满足||=||=2,·=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),且λ+μ=1,则||的最小值为( )
A.1B.C.D.
[总结反思]
(1)利用数量积求解向量模的问题常用的公式:
①a2=a·a=|a|2或|a|=;
②|a±b|==;
③若a=(x,y),则|a|=.
(2)最值问题是在变化中求得一个特殊情况,在此情况下求解目标达到最值,因此函数方法是最基本的方法之一.
考向2 平面向量的垂直
3
(1)已知向量a=(2,-1),b=(1,7),则下列结论正确的是( )
A.a⊥bB.a∥b
C.a⊥(a+b)D.a⊥(a-b)
(2)[2017·重庆外国语学校月考]已知向量a=(5,m),b=(2,-2),(a+b)⊥b,则m=( )
A.-9B.9C.6D.-6
(3)如图4-26-1所示,等腰梯形ABCD中,AB=4,BC=CD=2,若E,F分别是BC,AB上的点,且满足==λ,当·=0时,则λ的值为 .
图4-26-1
[总结反思]
(1)当向量a与b是坐标形式时,若证明a⊥b,则只需证明a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
(2)当向量a,b是非坐标形式时,要把a,b用已知的不共线向量作为基底来表示,且不共线的向量要知道其模与夹角,进行运算证明a·b=0.
(3)数量积的运算a·b=0⇔a⊥b是对非零向量而言的,若a=0,虽然有a·b=0,但不能说a⊥b.
考向3 平面向量的夹角
4
(1)[2017·北京朝阳区期末]已知平面向量a=(1,0),b=
-,
则a与a+b的夹角为( )
A.B.
C.D.
(2)已知向量a=(m,3),b=(,1),若向量a,b的夹角为30°,则实数m= .
(3)[2017·四川绵阳中学模拟]平面向量a=(1,2),b=(6,3),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角与c与b的夹角相等,则m= .
[总结反思]
(1)研究向量的夹角应注意“共起点”;两个非零共线向量的夹角分别是0°与180°;求角时,注意向量夹角的取值范围是[0,π];若题目给出向量的坐标表示,可直接利用公式cosθ=求解.
(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角.
强化演练
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