完整word版双曲线及其标准方程详解docx.docx
- 文档编号:7159550
- 上传时间:2023-01-21
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:25KB
完整word版双曲线及其标准方程详解docx.docx
《完整word版双曲线及其标准方程详解docx.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《完整word版双曲线及其标准方程详解docx.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
完整word版双曲线及其标准方程详解docx
2.2双曲线
2.2.1双曲线及其标准方程
【课标要求】
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.
2.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题.
【核心扫描】
1.用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程.(重点)
2.与双曲线定义有关的应用问题.(难点)
自学导引
1.双曲线的定义
F1、F2的距离的差的绝对值等于常数
把平面内与两个定点
(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做
双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
试一试:
在双曲线的定义中,必须要求
“常数小于|F1F2|”,那么“常数等于|F1F2|”,
“常数大于|F1F2|”或“常数为0”时,动点的轨迹是什么?
提示
(1)若“常数等于|F1F2|”时,此时动点的轨迹是以
F1,F2为端点的两条射线
F1A,F2B(包括端点),如图所示.
1
(2)若“常数大于|F1F2|”,此时动点轨迹不存在.
(3)若“常数为0”,此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程
标准方程
焦点坐标
a,b,c的关系
焦点在x轴上
x2y2
a2-b2=1
(a>0,b>0)
F1(-c,0),F2(c,0)
焦点在y轴上
y2x2
a2-b2=1
(a>0,b>0)
F1(0,-c),F2(0,c)
c2=a2+b2
想一想:
如何判断方程
x2y2y2x2
a2-b2=1(a>0,b>0)和a2-b2=1(a>0,b>0)所表示双曲线的焦点
的位置?
提示如果x2项的系数是正的,那么焦点在
x轴上,如果y2项的系数是正的,那么焦点
在y轴上.对于双曲线,a不一定大于b,因此,不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点
在哪一个坐标轴上.
名师点睛
1.对双曲线定义的理解
(1)把定常数记为2a,当2a<|FF|时,其轨迹是双曲线;当
2a=|F
F
|时,其轨迹是以
1
2
1
2
F1、F2为端点的两条射线(包括端点);当2a>|F1F2|时,其轨迹不存在.
(2)距离的差要加绝对值,否则只为双曲线的一支.若
F、F
2
表示双曲线的左、右焦
1
点,且点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则点P在右支上;若点
P满足|PF2|-|PF1|=2a,则点P在
左支上.
|PF1|-|PF2|
1F2|).
(3)双曲线定义的表达式是|
|=2a(0<2a<|F
(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距
离.”
2.双曲线的标准方程
(1)只有当双曲线的两焦点F1、F2在坐标轴上,并且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程.
(2)标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,
这里b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2相区别,且椭圆中a>b>0,而双曲线中a、b大小则不确定.
(3)焦点F1、F2的位置,是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦
点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,那么焦点在y轴上.
(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时,如不能确定焦点的位置,可设双曲线的标准
方
程为Ax2+By2=1(AB<0)或进行分类讨论.
2
题型一求双曲线的标准方程
【例1】根据下列条件,求双曲线的标准方程.
1516
(1)经过点P3,4,Q-3,5;
(2)c=6,经过点(-5,2),焦点在x轴上.
[思路探索]由于
(1)无法确定双曲线焦点的位置,可设
1(a>0,b>0)两种情况,分别求解.另外也可以设双曲线方程为
=1(mn<0),直接代入两点坐标求解.对于
(2)可设其方程为
=1(0<λ<6).
x2y2y2x2
a2-b2=1(a>0,b>0)和a2-b2=
22
mx2+ny2=1(mn<0)或xm+yn
2
2
2
-y
2
x
2-y
2=1(a>0,b>0)或x
a
b
λ
6-λ
2
2
解
(1)法一
若焦点在x轴上,设双曲线的方程为
x2-y2=1(a>0,b>0),
15和Q-16,5在双曲线上,
a
b
由于点P3,
4
3
9
225
a2-
16b2=1,
a2=-16,
(舍去).
所以
25
解得
9
256
b2=-
9a
2-
2=1,
b
2
2
若焦点在y轴上,设双曲线的方程为
y2-x2=1(a>0,b>0),
a
b
225
-9=1,
将P、Q两点坐标代入可得
16a2
b2
252-2562=1,
a
9b
a2=9,
解之得
b2=16,
y2
-x2
所以双曲线的标准方程为
=1.
9
16
法二设双曲线方程为x2+y2=1(mn<0).
mn
∵P、Q两点在双曲线上,
3
9+225=1,
m=-16,
m
16n
∴
25
解得
256
n=9.
9m
+n=1,
∴所求双曲线的标准方程为
y2
x2
9
-
=1.
16
2
2
(2)法一
依题意,可设双曲线方程为
x2-y2=1(a>0,b>0).
a
b
a2+b2=6,
2
依题设有
252-
42=1,
解得
a=5,
b2=1,
a
b
2
∴所求双曲线的标准方程为
x
-y2=1.
5
法二∵焦点在x轴上,c=
6,
∴设所求双曲线方程为
x2
-y2
=1(其中0<λ<6).
λ6-λ
∵双曲线经过点(-5,2),
∴25-4=1,∴λ=5或λ=30(舍去).
λ6-λ
2
∴所求双曲线的标准方程是x-y2=1.
5
规律方法求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位
置设出标准方程的形式,然后用待定系数法求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点
在x轴和y轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂,注意到双曲线过两定
点,可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0),通过解方程组即可确定m、n,避免了讨论,实为一
种好方法.
【变式1】求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)a=3,c=4,焦点在x轴上;
(2)焦点为(0,-6),(0,6),经过点A(-5,6).
解
(1)由题设知,a=3,c=4,
由c2=a2+b2,得b2=c2-a2=42-32=7.
因为双曲线的焦点在
x轴上,所以所求双曲线的标准方程为
x2
-
x2
9
=1.
7
(2)由已知得c=6,且焦点在y轴上.因为点A(-5,6)在双曲线上,所以点
A与两焦点的
距离的差的绝对值是常数
2a,
即2a=|-5-0
2+6+62-
-5-02+6-62|=|13-5|=8,则a=4,b2=c2-a2
=62-42=20.
y2
-x2
因此,所求双曲线的标准方程是
=1.
16
20
x2y2
2.若椭圆m+n=1(m>n>0)和双曲线
x2-y2=1(a>0,b>0)有相同的焦点,P是两曲线ab
的一个交点,则
A.m-aC.m2-a2
|PF1|·|PF2|的值为()
B.m-b
D.m-b
A解析:
设点P为双曲线右支上的点,由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2m.
由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a.∴|PF1|=m+a,|PF2|=m-a.
∴|PF1|·|PF2|=m-a.
4
题型二
双曲线定义的应用
【例2】
如图,若F1,F2是双曲线
x2
y2
的两个焦点.
-
=1
9
16
(1)若双曲线上一点
M到它的一个焦点的距离等于
16,求点M到另一个焦点的距离;
(2)若P是双曲线左支上的点,且|PF1||PF·2|=32,试求△F1PF2的面积.
[思路探索]
(1)由双曲线的定义,得||MF1|-|MF2||=2a,则点M到另一焦点的距离易得;
(2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积.
解双曲线的标准方程为x2-y2=1,
916
故a=3,b=4,c=a2+b2=5.
(1)由双曲线的定义,得||MF1|-|MF2||=2a=6,又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,假设点M到另一个焦点的距离等于x,则|16-x|=6,解得x=10或x=22.故点M到另一个焦点的距离为6或22.
(2)将||PF2|-|PF1||=2a=6,两边平方,得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,
∴|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1||PF·2|=
36+2×32=100.
在△F1PF2中,由余弦定理,得
|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2
cos∠F1PF2=
2|PF1||PF·2|
=100-100=0,∴∠F1PF2=90°,2|PF1|·|PF2|
1
1
∴S△F1PF2=2|PF1||PF·
2|=2×32=16.
规律方法
(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时,若已知该点的横、纵坐标,则根
据两点间距离公式可求结果;若已知该点到另一焦点的距离,则根据
||PF1
2
求
|-|PF||=2a
解,注意对所求结果进行必要的验证
(负数应该舍去,且所求距离应该不小于
c-a).
(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时,首先要注意定义中的条件||PF1|-|PF2||
=2a的应用;其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算,在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
5
2
-y
2
【变式2】1.已知双曲线的方程是
x
=1,点P在双曲线上,且到其中一个焦点F1
16
8
的距离为10,点N是PF1的中点,求|ON|的大小(O为坐标原点).
1.解:
连接ON,ON是△PF1F2的中位线,
所以|ON|=
1
2
2|PF|.
因为||PF1|-|PF2||=8,|PF1|=10,
所以|PF2
1
2
或9.
|=2或18,|ON|=2|PF|=1
2.设P为双曲线x
2
2
-y=1上一点,F1,F2是该双曲线的两个焦点,若∠
F1PF2=60°,
求△PF1F2的面积.
16
9
x2
y2
解:
由方程
16-9=1,得a=4,b=3,故c=
16+9=5,
所以|F1F2|=2c=10.
又由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=8,两边平方,得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=64.①
在△PF1F2中,由余弦定理,得
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60,°
即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=100.②①-②,得|PF1||PF2|=36,
所以SPF1F2
=
1
|PF1||PF2|sin60
1
3
2
=°×36×
=93.
2
2
3.已知双曲线x2
-y2
=1的左、右焦点分别是
F1、F2,若双曲线上一点
P使得∠F1PF2=
60°,求△FPF
9
16
的面积.
1
2
x2
y2
解由9-
16=1,得a=3,b=4,c=5.
由定义和余弦定理,得|PF1|-|PF2|=±6,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60
,°
所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1
||PF·2|,
所以|PF1||PF·2|=64,
6
1
∴S△F1PF2=2|PF1||PF·2|·sin∠F1PF2
=1×64×3=163.
22
误区警示
忽略双曲线焦点位置致误
【示例】
方程
x2
+
y2
m的取值范围是________.
=1表示双曲线,那么
2-m|m|-3
[错解]由
2-m>0,
解得-3 |m|-3<0 ∴m的取值范围是{m|-3 只考虑焦点在x轴上,忽视了焦点在y 轴上的情况. 2-m>02-m<0, [正解]依题意有或 |m|-3<0|m|-3>0, 解得-3 ∴m的取值范围是{m|-3 x2y2 方程m+n=1既可以表示椭圆又可以 7 表示双曲线.当方程表示椭圆时, m、n应满足m>n>0或n>m>0,当m>n>0时,方程表示焦 点在x轴上的椭圆;当 n>m>0时,方程表示焦点在 y轴上的椭圆.当方程表示双曲线时, m、n应满足mn<0,当m>0,n<0时,方程表示焦点在x轴上的双曲线;当m<0,n>0时, 方程表示焦点在 y轴上的双曲线. 当堂检测 F (-5,0)和F(5,0),动点P满足|PF|-|PF |=6,则动点P的轨迹 1.平面内有两个定点 1 2 1 2 方程是( ) A.x2 y2 =1(x≤-4) B.x2 y2 =1(x≤-3) 16 9 9 16 C.x2 y2 =1(x≥4) D.x2 y2=1(x≥3) 16 9 9 16 答案: D 解析: 由已知动点P的轨迹是以 F1,F2为焦点的双曲线的右支,且 a=3,c =5,b2=c2-a2=16,∴所求轨迹方程为 x2 y2 =1(x≥3). 9 16 2.已知双曲线为 x2 y2 =1,则此双曲线的焦距为( ) 2 A.2 B.22 C. 2 D.22 答案: D 解析: 由已知λ<0,a2=2,b2=-λ,c2=2-λ,∴焦距2c22 . 3.已知双曲线 x2 y2 =1上的点P到(5,0)的距离为15,则点P到点(-5,0)的距离为() 16 9 A.7 B.23 C.5或25 D.7或23 答案: D 解析: 设F1 (-5,0),F2(5,0), 则由双曲线的定义知: ||PF1 2 |- |PF||=2a=8, 而|PF2|=15,解得|PF1|=7或23. 4.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-6,0)和C(6,0),顶点B在双曲线 x2 y2 =1的左支上,则 sinA sinC=______. 25 11 sinB 答 案 : 5 解 析 : 如 图 , 6 |BC||AB| sinA sinC |BC||AB| 2a 10 5 2R 2R . sinB |AC| |AC| 2c 12 6 2R 8 5.在平面直角坐标系 x2 y2 3,则点M xOy中,已知双曲线 =1上一点M的横坐标为 4 12 到此双曲线的右焦点的距离为 __________. 答案: 4解析: 设右焦点为F,则点F的坐标为(4,0). 把x=3代入双曲线方程得 y=±15,即M点的坐标为(3,±15). 由两点间距离公式得|MF|= 3-42+±15-0 2=4. 9
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 完整 word 双曲线 及其 标准 方程 详解 docx