南京市届高三数学三模含答案.docx
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南京市届高三数学三模含答案
南京市2020届高三年级第三次模拟考试
注意事项:
1.本试卷共4页,包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分.本试卷满分为160分,考试时间为120分钟.
2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内.试题的答案写在答题卡,上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题卡.
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在
答题卡的指定位置上)
1,已知集合A={x|2vxv4},B={x|1vxv3},则AUB=▲2,若z=-a-+i(i是虚数单位)是实数,则实数a的值为▲
1+i
3.某校共有教师300人,男学生1200人,女学生1000人,现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本,则从男学生中抽取的人数为▲.
4.如图是一个算法的伪代码,其输出的结果为▲.
5.将甲、乙、丙三人随机排成一行,则甲、乙两人相邻的概率为▲.
6
.已知函数f(x)=2sin(cox+昉(其中0,—2vK夕的部分图象如图所示,则f
(2)的值为
S—0
IForiFrom1To4
S—S+i
IEndFor
PrintS
I〜
(第4题图)
7.已知数列{an}为等比数列.若a1=2,且a1,a2,a3—2成等差数列,则{an}的前n项和为▲.
8.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线*=1(2>0,b>0)的右焦点为F.若以F为
圆心,a为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A,B两点,且AB=2b,则该双曲线的
离心率为▲.
9.若正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2,则三棱锥A—BiCDi的体积为▲.
一一x+2,x<0,..一...一,,一一.
10.已知函数f(x)=〃g(x)=f(x—2).若g(x—1)>1,则x的取值范围为▲.
',f(—x),x>U,ii'
11.在平面直角坐标系xOy中,A,B是圆O:
x2+y2=2上两个动点,且OA,OB.若A,B两点到直线l:
3x+4y—1U=U的距离分别为di,d2,则di+d2的最大值为▲.
12.若对任意aC[e,+8)(e为自然对数的底数),不等式x ......——一一—一一一一一一.- 13.已知点P在边长为4的等边三角形ABC内,满足AP=AAB+必C,且2H3尸1,延 长AP交边BC于点D.若BD=2DC,则PAPB的值为A 14.在△ABC中,/A=D是BC的中点.右ADW 3 二、解答题: 本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内. 15.(本小题满分14分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD,平面ABCD,PA±PD, E,F分别为AD,PB的中点. 求证: (1)EF//平面PCD; (2)平面PABL平面PCD. 16.(本小题满分14分) 1 已知向量m=(cosx, sinx),n=(cosx,—sinx),函数f(x)=mn+j (1)若f(x)=1,xC(0,t),求tan(x+? 的值; ⑵若f(a)=-A,氏(2t,? sin3=7102,BC(0,2),求2a+3的值. 17.(本小题满分14分) 如图,港口A在港口O的正东100海里处,在北偏东方向有一条直线航道OD,航道和正东方向之间有一片以B为圆心,半径8/5海里的圆形暗礁群(在这片海域行船有触礁危险),其中OB=2053海里,tan/AOB=3,cos/AOD=*.现一艘科考船以10/5海里/小时的速度从O出发沿OD方向行驶,经过2个小时后,一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A出发,并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇. (1)若快艇立即出发,判断快艇是否有触礁的危险,并说明理由; (2)在无触礁危险的情况下,若快艇再等x小时出发,求x的最小值. D (第17题图) 18.(本小题满分16分) 如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: x2+y2=1(a>b>0)经过点(—2,0)和(1,"3), a,b2" 椭圆C上三点A,M,B与原点O构成一个平行四边形AMBO. (1)求椭圆C的方程; (2)若点B是椭圆C的左顶点,求点M的坐标; (3)若A,M,B,。 四点共圆,求直线AB的斜率. (第18题图) 19.(本小题满分16分)x 已知函数f(x)=2e।(aCR),其中e为自然对数的底数.x2—ax+a (1)若a=1,求函数f(x)的单调减区间; (2)若函数f(x)的定义域为R,且f (2)>f(a),求a的取值范围; (3)证明: 对任意a€(2,4),曲线y=f(x)上有且仅有三个不同的点,在这三点处的切线经过坐标原点. 20.(本小题满分16分) 若数列{an}满足n>2,nCN*时,anW0,则称数列{®}(nCN*)为{an}的“L数列”an+1 (1)若a1=1,且{an}的L数列”为{,,求数列{an}的通项公式; (2)若an=n+k—3(k>0),且{an}的“L数列”为递增数列,求k的取值范围; (3)若an=1+p-1,其中p>1,记{an}的“L数列”的前n项和为Sn,试判断是否存 在等差数列{Cn},对任意nCN*,者B有CnVSnVCn+1成立,并证明你的结论. 南京市2020届高三年级第三次模拟考试 数学附加题 注意事项: 1.附加题供选修物理的考生使用. 2.本试卷共40分,考试时间30分钟. 3.答题前,考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内.试题的答案写在答题,卡上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题卡. 21.【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4—2: 矩阵与变换 已知矩阵A=1—1,aCR.若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P'(0-2). a0 (1)求矩阵A; (2)求点Q(0,3)经过矩阵A的2次变换后对应点Q'的坐标. B.选修4—4: 坐标系与参数方程 x=1+cosfl. 在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数万程为(。 为参数),直线l的参数 y=sin0 方程为x=y3t: 。 为参数),求曲线c上的点到直线i的距离的最大值. y=1+t C.选修4—5: 不等式选讲 已知a,b为非负实数,求证: a3+b3>-\/ab(a2+b2). 【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分) 如图,在直三棱柱ABC—AiBiCi中,ABXAC,AB=3,AC=4,BiC±ACi, (1)求AAi的长. (2)试判断在侧棱BBi上是否存在点P,使得直线PC与平面AAiCiC所成角和二面角B—AiC—A的大小相等,并说明理由. Ai (第22题图) 23.(本小题满分i0分) 口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球.现有一抽奖游戏规则如下: 抽奖 者每次有放回的从口袋中随机取出一个球,最多取球2n+i(nCNj次.若取出白球的累计 次数达到n+i时,则终止取球且获奖,其它情况均不获奖.记获奖概率为Pn. (i)求Pi; (2)证明: Pn+iVPn. 南京市2020届高三年级第三次模拟考试 数学参考答案及评分标准 说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4 .只给整数分数,填空题不给中间分数. 答题纸的指定位置上) 请把答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分14分) 证明: ⑴取PC中点G,连接DG、FG. 1 在4PBC中,因为F,G分别为PB,PC的中点,所以GF//BC,GF=-BC. 因为底面ABCD为矩形,且E为AD的中点, 1 所以DE//BC,DE=1BC,2分 所以GF//DE,GF=DE,所以四边形DEFG为平行四边形, 所以EF//DG.4分 又因为EF平面PCD,DG平面PCD, 所以EF//平面PCD.6分 (2)因为底面ABCD为矩形,所以CDXAD. 又因为平面PAD,平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,CD平面ABCD, 所以CD,平面PAD.10分 因为PA平面PAD,所以CDXPA.12分 又因为PAXPD,PD平面PCD,CD平面PCD,PDACD=D,所以PAL平面PCD. 因为PA平面PAB,所以平面PABL平面PCD.14分 16.(本小题满分14分) 解: (1)因为向量m=(cosx,sinx),n=(cosx,—sinx), 1cc11 所以f(x)=mn+万=cos2x—sin2x+-=cos2x+-.2分 因为f(x)=1,所以cosx+1=1,即cosx=2. 又因为x€(0,句,所以x=zC,4分 3 兀,,一兀 tan3+tan4 所以tan(x+4)=tan(3+$=-=-2-^3. 1—tan-tanT (2)若f(a)=—',则C0S2a+—=-,即C0S2a=— 10210 因为长(。 ,3^),所以2衣(Tt,3^,所以sin2a=—71-cos22a=-^4.8分因为sin3=7102,队(0,2),所以cos3=小—sin23=兴,10分 所以cos(2a+,=cos20cos3—sin2asin3=(—$*零一(一$X702=乎.12分 又因为2a€(Tt,32^,代(。 ,2),所以2a+代(兀,2% 所以2a+3的值为7~^-14分 17.(本小题满分14分) 解: 如图,以。 为原点,正东方向为x轴,正北方向为y轴,建立直角坐标系xOy. 因为OB=20Vi3,tan/AOB=2,OA=100,3 所以点B(60,40),且A(100,0). (1)设快艇立即出发经过t小时后两船相遇于点C,则OC=10®+2),AC=50t. 高三数学试题第8页(共4页) 因为OA=100,cos/AOD= 所以AC2=OA2+OC2—20AOCcos/AOD, 即(50t)2=1002+[10V5(t+2)]2—2X100X10册(t+2)X平. 化彳导t2=4,解得t1=2,t2=—2(舍去),4分 所以OC=4045. 因为cos/AOD=/,所以sin/AOD=? §,所以C(40,80), 所以直线AC的方程为y=—条x—100),即4x+3y—400=0.6分 3 所以dvr,此时直线AC与圆B相交,所以快艇有触礁的危险. 答: 若快艇立即出发有触礁的危险.8分 (2)设快艇所走的直线AE与圆B相切,且与科考船相遇于点E. 设直线AE的方程为y=k(x-100),即kx-y-100k=0. 一,一,一…〜-、,-|60k-40—100k|c「 因为直线AE与圆B相切,所以圆心B到直线AC的距离d=J寸不一=875, .12+k2 1.. 即2k2+5k+2=0,解得k=—2或k=—2.10分 ...1人「 由 (1)可知k=—2舍去. 5 因为cos/A0D=15,所以tan/A0D=2,所以直线0D的万程为y=2x. y=2x,f/口x=50, 由y解得所以e(50,100), y=-2(x-100),y=100, 12分 14分 所以AE=50&,OE=50V5, 此时两船的时间差为5*—5505=5—泌,所以x>5-V5-2=3-仙. 答: x的最小值为(3—击)小时. 18.(本小题满分16分) 解: (1)因为椭圆与+¥=1缶>b>0)过点(—2,0)和(1,5), a"b"2' 所以a=2,三十a=1,解得b2=1,a24b2 所以椭圆C的方程为%y2=1.2分 (2)因为B为左顶点,所以B(—2,0). 因为四边形AMBO为平行四边形,所以AM//BO,且AM=BO=2. 设点M(xo,yo),则A(xo+2,yo). y=kx+m, 由x2।2d W+y2=1, (3)因为直线AB的斜率存在,所以设直线AB的方程为y=kx+m,A(xi,yi),B(X2,y2). 消去y,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2—4=0, 因为平行四边形AMBO,所以OM=OA+OB=(x1+x2,y1+y2). 所以M(谭,A).10分 因为点M在椭圆C上,所以将点M的坐标代入椭圆C的方程, 化彳导4m2=4k2+1.①12分 因为A,M,B,。 四点共圆,所以平行四边形AMBO是矩形,且OALOB, m2=m^, 1+4k2 所以OAOB=x〔x2+y〔y2=0. 因为y1y2=(kx1+m)(kx1+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+ 所以x1x2+y〔y2=4m—m—空~=0,化得5m2=4k2+4.②14分 1+4k21+4k2 16分 所以所求直线AB的斜率为土 19 .(本小题满分16分) ex(x—1)(x—2) f(x)—(x2-x+1)2, 令f(x)<0,解得1vxv2, 所以函数f(x)的单调减区间为(1,2). (2)由函数f(x)的定义域为R,得x2—ax+aw。 恒成立, 所以a2—4av0,解得0vav4.4分 方法1 由f(x)=;、,得吃尸吗一叱\2)・x2-ax+a(x2-ax+a)2 ①当a=2时,f (2)=f(a),不符题意. ②当0vav2时, 因为当avxv2时,fx)<0,所以f(x)在(a,2)上单调递减, 所以f(a)>f (2),不符题意.6分 ③当2vav4时, 因为当2vxva时,f'x)v0,所以f(x)在(2,a)上单调递减, 所以f(a)vf (2),满足题意. 综上,a的取值范围为(2,4).8分 方法2 由f (2)>f(a),得一e2—>e". 4—aa 因为0vav4,所以不等式可化为e2>e-(4-a). x 设函数g(x)=? (4—x)—e2,0Vxv4.6分 因为g'(x)=ex[(x;2)2w0恒成立,所以g(x)在(0,4)上单调递减.x 又因为g (2)=0,所以g(x)〈0的解集为(2,4). 所以,a的取值范围为(2,4).8分 ex0(xo_2)(x0_a) (3)证明: 设切点为(xo,f(xo)),则f(xo)=e(x22)(x一a), (xo—axo+a) 一x0X°, 所以切线方程为y-^-e=生空二皿*X(x-xo). xo—axo+a(xo—axo+a) xo-xo, 由o———=e(xr2)(xo-a)x(o-xo),xo2-axo+a(xo2-axo+a)2 化简得xo3—(a+3)xo2+3axo—a=o.io分 设h(x)=x3—(a+3)x2+3ax—a,a€(2,4), 则只要证明函数h(x)有且仅有三个不同的零点. 由 (2)可知aC(2,4)时,函数h(x)的定义域为R,h'(x)=3x2—2(a+3)x+3a. 因为△=4(a+3)2—36a=4(a—3)2+27>0恒成立,2, 所以h'(x)=0有两不相等的实数根X1和X2,不妨X1VX2. 因为 x (—8,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+M) h'(x) 十 0 一 0 十 h(x) 增 极大 减 极小 增 所以函数h(x)最多有三个零点.12分 因为aC(2,4),所以h(0)=—a<0,h (1)=a—2>0,h (2)=a—4v0,h(5)=50—11a>0,所以h(0)h (1)<0,h (1)h (2)<0,h (2)h(5)v0. 因为函数的图象不间断,所以函数h(x)在(0,1),(1,2),(2,5)上分别至少有一个 零点. 综上所述,函数h(x)有且仅有三个零点.16分 20.(本小题满分16分) 解: (1)因为{an}的L数列”为{白,所以包=白,nCN*,即史坦=2n, 2an+12an On*n—1oo।।।n(n—1) 所以n>2时,an=Ha—…置a1="12『2…21=2(n-1)(『2)…1=2丁. an1an2a1 n(n1) 又a1=1符合上式,所以{an}的通项公式为an=2-k,nCN*.2分 (2)因为an=n+k-3(k>0),且n>2,nCN*时,anW0,所以kw1. 方法1 设bn=-an-,nCN*,所以bn=n+k-3=1——1一. an+1(n+1)+k—3n+k—2 因为{bn}为递增数列,所以bn+1—bn>0对nCN*恒成立, 即——1—————1——>0对n€N*恒成立.4分 n+k—2n+k—1 因为一1---1—=1, n+k—2n+k—1(n+k—2)(n+k—1) 所以一1一一一1—>0等价于(n+k—2)(n+k-1)>0. n+k—2n+k—1 当0vkv1时,因为n=1时,(n+k—2)(n+k—1)<0,不符合题意.6分 当k>1时,n+k—1>n+k-2>0,所以(n+k-2)(n+k-1)>0, 综上,k的取值范围是(1,+8).8分 方法2 当0vkv1时, f (1)=1-->1,f (2)=1-1<1,所以b2〈bi,不符合题意.6分 k-1k 当k>1时, 因为2-k<1,所以f(x)在[1,+8上单调递增,所以{bn}单调递增,符合题意. 综上,k的取值范围是(1,+8).8分 (3)存在满足条件的等差数列{cn},证明如下: 所以Sn=-+(1--)(-^+^^+-+—^^+^^),PP)(1+p1+P21+pn11+pn) 又因为p>1,所以1—1>0,所以n〈Svn+(1一,)C1+2+…+磊+4),ppppppp1p 即nVSnVn+1[1一(,)n].14分 pppp 因为1[1—(^Ivl,所以nVSnv"•ppppp 设Cn=n,则Cn+1-Cn=n^^--n=~,且CnVSnVCn+1, pppp 所以存在等差数列{Cn}满足题意.16分 南京市2020届高三年级第三次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 21.【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答卷. 纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. -1 0 A.选修4-2: 矩阵与变换 …1 解: ⑴a 因为点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P'(0—2),所以a=—2, „03-10-3 所以A3=—223=6 所以,点Q'的坐标为(—3,6).10分 B.选修4—4: 坐标系与参数方程 解: 由l的参数方程;[13t;(t为参数)得直线l方程为x-<3y+V3=0.2分 曲线C上的点到直线l的距离d=|1+c0s『V3sin吐血4分 2 12cos(时3)+1十43| 当0+-=2k&即0=—2kMkeZ)时,8分 33 C.选修4—5: 不等式选讲 证明: 因为a,b为非负实数, 所以a3+b3—gb(a2+b2)=02-^(^-b[b)+bS/b(Vb-^a) 因为B1CXAC1,所以B1CAC1=0,即16—12=0,解得t=4, 所以AA〔的长为4.4分 (2)由 (1)知B(3,0,0),C(0,4,0),A1(0,0,4), 所以A1C=(0,4,—4),BC=(-3,4,0). 取y=3,解得z=3,x=4,所以n=(4,3,3)为平面A〔CB的一个法向量. 又因为AB上面AA1C1C,所以AB=(3,0,0)为平面A1CA的一个法向量, 则cosvn,AB>=JABn|AB||n| 〜一,二^一3 以sinvn,AB>=- .i7 设P(3,0,m),其中0WmW4,则Cp=(3,—4,m). 因为AB=(3,0,
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