高数2资料.docx
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高数2资料
高数二资料
书20页,习题一
1、试写出下列各随机试验的样本空间与事件A,B:
(1)、从标号分别为1,2,…,10的十个同类球中任取两球,A=“两球标号均为偶数”;B=“两球标号之和大于18”。
解:
(2)、某电话交换台在某段时间内收到的呼叫次数。
A=“呼叫次数在1000到1008之间”;B=“呼叫次数小于1000”;
(3)、在一批晶体管中任取一支进行寿命试验。
A=“寿命超过1000h”;B=“寿命不超过500h”;
2、设A、B、C为三个事件,试化简下列事件:
(1)、
(2)、
(3)、
(4)、
3、设与甲、乙、丙、丁四人进行股票投资,A1,A2,A3,A4分别表示在未来一年中甲、乙、丙、丁的股票投资获利事件,试用Ai(i=1,2,3,4)表示下列事件:
(1)、都获利;A1A2A3A4
(2)、至少一个获利;
4、设A、B、C为三个事件,问在什么条件下下列各式成立;
(1)、
(2)、
(3)、
(4)、
5、在五个数字1,2,3,4,5中任取一个数字,设A={1,2,3},A={3,4,5},即A、B分别表示取得数字小于4与取得数字大于2,试问下列事件各表示什么?
(1)、
(2)、(3)、
6、设A、B、C为三个事件,证明:
7、设某袋中有4个白球和两个黑球,现不放回从袋中任摸两个球,求摸到的两个求都是白球的概率。
解:
根据题意它是古典概率,设摸到两球的概率为A
8、设100个晶体管中有5个是废品,现不放回从中任抽15个,求抽出的15个晶体管中:
(1)恰有2个废品的概率;
(2)至少有一个废品的概率;(3)至多有一个废品的概率。
解:
根据题意它是古典概率,
(1)设恰有2个废品的概率为A
(2)设至少有一个废品的概率为B
(3)设至多有一个废品的概率为C
9、从1、2、3、4、5、6这六个数字不放回随机取三个数字,球下列事件的概率:
(1)A=“最大的是4”
(2)B=“有2”
(3)C=“恰有两个小于4”(4)D=“没有4”
解:
根据题意它是古典概率,样本点的总数
(1)设最大的是4为A
(2)设有2为B
(3)设恰有两个小于4为C
(4)设没有4为D
10、在第9题中如果取数是有放回的求相应四个事件的概率。
解:
根据题意它是古典概率,样本点的总数
(1)设最大的是4为A
(2)设有2为B
(3)设恰有两个小于4为C
(4)设没有4为D
15、从0,1,2…,9这10个数字中不放回随机取出4个数字,求取出的4个数字能排成一个4位偶数的概率。
解:
根据题意它是古典概率,设4个数字能排成一个4位偶数为A
16、在区间(0,1)中任取两数,求这两数乘积大于0.25的概率。
解:
根据题意知,是几何概型试验
设:
x,y分别为取的那两数,样本空间
设A=“两数乘积大于0.25”=
如图所示:
所以
18、设P(A)=P(B)=1/2,证明:
20、
27、设P(A)=0.6,P(B)=0.25
(1)如果A与B互斥,求
(2)如果
解:
(1)因为A、B互斥,所以AB=
书36页,习题2
1、设A、B为两个事件,且P(B)>0。
证明:
(1)若
(2)若
(3)若AB=,
证明:
因为P(B)>0
(1)
(2)
(3)
2、设P(B)>0,记。
证明:
(1)对任意事件A,有;
(2)
(3)
证明:
P(B)>0,记
(1)
(2)
3、一袋中有4个红球3个白球,现不放回从中摸两个球,令A=“第一次摸到的是白球”,B=“第二次摸到的红球”。
求:
与
解:
A=“第一次摸到的是白球”,B=“第二次摸到的红球”
4、甲、乙两工厂共生产1000个零件,其中300个是乙厂生产的,而在这300个零件中有189个是标准品,现从1000个零件中任取一个。
(1)求该零件是乙厂生产的标准品的概率;
(2)如果已知该零件是乙厂生产的,求它是标准品的概率。
解:
A=“甲厂生产的”“乙生产的标准品”189个
1000个零件300个零件
=“乙厂生产的”“乙厂生产的非标准品”
设B=“标准品”=“非标准品”
5、某厂产品中有4%是废品,而在100件合格品中有75件一等品,求任取一件产品是一等品的概率。
解:
A=“合格品”B=“一等品”
产品
=“废品”(4%)=“其他的合格品”
6、某人提出一个问题,甲先答,答对的概率为0.4,如果甲答错,由乙答,乙答对的概率为0.5,求问题由乙答对的概率。
解:
设A=“甲答对”B=“乙答对”
7、10个零件中有3个次品,现不放回从中任取4件,求第4次才取得次品的概率。
解:
设Ai=“第i次取得正品”i=1,2,3,4
8、在n张奖券中有2张大奖,现用不放回方式抽奖,求第k次抽到大奖的概率(n≥2,1≤k≤n)。
解:
K次抽到大奖的概率为2/n
改题:
在100张奖卷中有3张大奖,求第100次抽到大奖概率是3/1000
11、乒乓球盒中有15只球,其中9只是没有用过的新球,第一次比赛时任取3只使用,用毕放回。
第二次比赛时也任取3只。
求此3只球都是新的(没有用过的)概率。
解:
设Ai=“第i次取得正品”i=1,2,3,4B=“第2次取得的都是新球”
13、设P(A)>0,1>P(B)>0。
证明:
(1)A与B独立
证明:
P(A)>0,1>P(B)>0
14、每次射击命中的概率为0.2,问至少要进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?
解:
设A=“射击命中目标”P(A)=0.2
Ai=“第i次射中的命中目标”P(Ai)=0.2,i=1,2,3,4
16、设A、B为两个事件,P(A)=0.2
书61页习题三
1、一批产品中有13件正品2件次品,现从中不放回抽取3件,求抽到次品数X的分布函数。
P{X=0}=,P{X=1}=,P{X=2}=
分布律:
X的分布函数
F(X)=
2、一袋中有4个红球2个白球
(1)现有放回从袋中摸5个球,求摸到红球数X的分布律
由题意可知X~B(5,)
红球数X的分布律
k=0,1,2,3,4,5
(2)现不放回从袋中摸5个球,求摸到红球数X的分布律
X所有可能取得值为3,4
P{X=3}=P{X=4}=
红球X的分布律:
4、将一枚均匀的硬币连掷n次,以X表示正面出现的次数,求X的分布律
解:
由题意可知X~B
∴X的分布律k=0,1,…n
5、随机变量X的分布律为:
P{X=k}=,k=1,2,…,n,求常数c和X的分布函数
由分布律的性质2
1=∴c=1
分布律
故X的分布函数
8、设X~P(),且P{X=1}=P{X=2},,。
12、设连续型随机变量X的密度函数为
(1)求常数C;求P{X<1}
解:
∵X的密度函数为
由密度函数性质:
=
∴C=
密度函数
15、设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx,x∈R.
(1)求常数A与B
(2)求P{X∈(-1,1)}
(3)求X得密度函数(称X服从柯西分布)
解:
∵X的分布函数F(x)=A+Barctanx,x∈R.
由分布函数的性质得:
∴
分布函数F(x)=
P{X∈(-1,1)=F
(1)-F(-1)=
x∈R
16、设随机变量X具有密度函数,
(1)求常数A
(2)求(3)求X的分布函数
解:
X的密度函数
由密度函数的性质得:
∴A=
密度函数
当
当
当
故X的分布函数
17、设随机变量X具有密度函数,x∈R
(!
)求常数A
(2)求P{0 解: X密度函数,x∈R 由密度函数的性质 ∴ 密度函数 当 当 故X的分布函数 23、设X~N(-1,16),求 26、设X具有分布律 求 (1)X+2 (2)-X+1(3)的分布律 解: ∵X的分布律 故X+2的分布律: -X+1的分布律: 的分布律: 书115页习题五 1、设随机变量X具有分布律:
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