六年级下册数学讲义小升初空间与图形人教版含答案.docx

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六年级下册数学讲义小升初空间与图形人教版含答案

空间与图形

学生姓名

年级

学科

授课教师

日期

时段

核心内容

平面图形和立体图形的拓展应用

课型

一对一/一对N

教学目标

1、能灵活运用计算公式求较复杂的平面图的周长或面积；

2、能灵活运用计算公式求较复杂的立体图形的表面积或体积。

重、难点

1、平面图形的特征、周长和面积公式的应用；

2、立体图形的特征、表面积和体积公式的应用。

课首沟通

1.回顾小学所学平面图形的特征、周长和面积公式。

2.回顾小学所学立体图形的特征、表面积和体积公式。

知识导图

课首小测

1.

如右图，正方形的面积是5平方厘米，圆的面积是（）平方厘米。

2.（黄埔区单元试题）用多种方法计算下面图形的面积。

3.

下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。

4.（广州市第二外国语学校面试真题）一个由27块小正方体组合而成的大正方体，表面被涂为黑色。

测量后发现，这个大正方体的棱长为2，那么所有小正方体未被涂黑部分的表面之和是多少？

5.（省实天河面谈题）一个半圆里有一个小圆，求谁的面积大。

导学一：

平面图形

知识点讲解1：

求组合图形周长的方法。

组合图形的周长：

围成组合图形的所有线段的长度和。

例1.如图所示，圆的周长是16.4厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等，图中阴影部分的周长是多少厘米？

【学有所获】当发现无法用求半径或直径的方法去求阴影部分的周长时，要转换思考方向，考虑用其它方法来解答。

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1.

计算下列图形的周长

2.

如右图为某楼梯的形状及长度（单位:

米），要在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要（）米.

3.

如图，用一根铁丝将四根直径2dm的管子紧紧捆住（接头处不计），至少需要铁丝多少分米？

知识点讲解2：

求组合图形面积的常用方法。

1.平移法：

将一个组合图形中的一部分平移，与另一部分组合成一个新的图形，再求出它的面积。

2.分割法：

把一个组合图形分割成几个学过的规则图形，分别求出它们的面积后，再求它们的面积和。

3.割补法：

把一个不规则图形的空缺部分补上一块或从其它地方割下一块补上，组成一个学过的规则图形，再求出其面积。

4.等积变形法：

将一个组合图形中的一个图形变成另一个与其面积相等的图形，再求出其面积。

计算一个组合图形的面积，有时可以有多种方法，我们要根据图形的特征、已知条件，以及整体与部分的关系，选择最佳解法。

例1.求阴影部分的面积（单位：

厘米）。

【学有所获】当一个组合图形比较零散时，可将零散的几部分通过平移，拼成一个规则图形，从而快速求出图形的面积。

例2.求阴影部分的面积（单位：

分米）。

例3.在一块长方形草地里有一条宽1米的曲折小路，如右图所示，草坪的面积是（）平方米。

例4.如图所示，BO＝2DO，阴影部分的面积是16平方厘米。

那么，梯形ABCD的面积是（）

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1.

求下图阴影部分的面积（单位：

厘米）。

【学有所获】无法直接计算的图形面积，一般可采用间接计算的方法求出面积。

2.

如下图，AD=6厘米，B、C两点将半圆的弧长三等分，求阴影部分的面积。

3.

（西关外国语学校面试真题）正六边形的面积是90，求阴影部分的面积。

4.

如图，在梯形ABCD中，OD:

OB=2:

3，三角形AOB的面积是12平方厘米，则梯形ABCD的面积是（）平方厘米。

5.

[单选题]如图，阴影部分的环宽恰好等于小圆的半径，那么阴影部分面积是较大圆面积的（）。

例1.（省实小升初试题）求下图阴影部分的面积（单位：

厘米）。

例2.（卓越杯初赛试题）如图，把一个直角三角形场地设置为掷铅球的运动场，A、B为投掷点，空白处为投掷区，阴影部分为安全区。

已知：

O为AB的中点，AB=20米，AC=12米，BC=16米。

那么安全区的面积是多少平方米？

（π取

3.14）

例3.下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。

例4.下图是一个长方形和一个平行四边形重叠在一起，求阴影部分的面积。

例5.如图，平行四边形被划分成三个三角形，乙、丙的面积比是2:

3，已知乙的面积是4平方厘米，则平行四边形的面积是（）平方厘米

例6.如图，圆与平行四边形部分重叠在一起，重叠部分占圆的

，占平行四边形的

，已知甲的面积是20平方厘米，则平行四边形的面积比圆的面积多（）平方厘米。

例7.（华附新世界面谈题）图形甲=48平方厘米，乙占平行四边形的18%，问平行四边形的面积是

（）

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1.如图所示，长方形内的阴影部分面积之和为70，AB=8，AD=15，四边形EFGO的面积是。

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1.

如右图，平行四边形ABCD的底BC长是12厘米，线段FE长是4厘米，那么平行四边形中的阴影部分面积是（）平方厘米。

2.

如图，四边形ABCD的面积为42cm2，图中两个小三角形的面积分别是3cm2和4cm2，三角形ABE的面积是cm2。

3.

如图所示，BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米。

等腰梯形的面积是多少平方厘米？

4.一个大长方形被两条平行于它的两条边的线分成a、b、c、d四个长方形。

已知a的面积是10平方厘米，b的面积是14平方厘米，c的面积是35平方厘米。

求d的面积。

5.求阴影部分的面积。

6.

6.求阴影部分的面积

7.

如图，阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积。

导学二：

立体图形

知识点讲解1：

求立体图形的表面积

例1.一个长方体刚好可以分成三个底面积是6平方厘米的正方体，原来长方体的表面积是（）平方厘米。

【学有所获】将一个长方体截成几个正方体，每截一次，就会增加2个正方体的底面面积。

例2.（黄埔区第四届“春苗杯”试题）用一根56厘米长的铁丝，正好可以焊成长6厘米，宽5厘米，高（）厘米的长方体框架。

①2②3③4④5

例3.一根铁丝可以扎成一个长9分米，宽5分米、高1分米的长方体，如果用这根铁丝扎成一个正方体，这个正方体的棱长是多少分米？

例4.[单选题]一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面周长与高的比是（）

A．

B．

C．

D．

例5.（天津小外小升初面谈题）边长为1的小正方体堆积成如下图形，求该图形的表面积。

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1.（黄埔区第四届“春苗杯”试题）要做一个不带盖的长12分米，宽10分米，高8分米的金鱼缸，至少要买多少平方米玻璃？

（得数保留整平方米数）

2.

一个圆柱体木块，底面半径是2cm，高是10cm，横截成2个圆柱体之后，表面积增加（）。

【学有所获】一个圆柱体横截成几个圆柱体时，每截一次就增加2个底面的面积。

3.

一个圆柱体，底面直径是8厘米，高是10厘米，把它沿着直径垂直锯成两半，表面积增加了（）平方厘米。

4.一个棱长为4厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为2厘米的小正方体，表面积增加（）平方厘米。

5.要做5节长5dm，底面直径是2dm的圆柱形通风管，至少需要铁皮多少平方米？

6.一个圆柱形水池，底面直径是2米，深2米，要粉刷水池的四周和底面，每平方米用水泥5千克，至少需要多少千克水泥？

知识点讲解2：

求立体图形的体积

例1.（希望杯初赛试题）用底面内半径和高分别是12cm，20cm的空心圆锥和空心圆柱各一个组成如右图所示竖放的容器，在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱，经测量，圆柱部分的沙子高5cm，若将这个容器倒立，则沙子的高度是（）cm。

【学有所获】善于从多个角度去思考问题，找到解决问题最优化的方法。

例2.一个圆柱和一个圆锥等底等高，若它们的体积和是60立方分米，则圆柱的体积是（）立方分米，圆锥的体积是（）立方分米。

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1.把一块棱长是6分米的正方体钢块铸成一个长方体，这个长方体的长9分米，宽4分米。

长方体的高是多少分米？

2.一个长方体仓库从里面量约长10米，宽5米，高6米，如果放入棱长是2米的正方体木箱，至多可以放进（）个。

3.一根圆柱形木材长2米，把它截成相等的3段后，表面积增加了12.56平方厘米。

原来这根圆木的体积是多少立方厘米？

4.

如右图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？

5.一个棱长为5厘米的正方体木块，把它的表面积涂成红色，然后切割成棱长为1厘米的小正方形木块，在这些小正方形木块中：

（1）三个面是红色的木块有多少块？

（2）两个面是红色的木块有多少块？

（3）只有一个面是红色的木块有多少块？

（4）没有涂色的木块有多少块？

6.一个圆柱和一个圆锥等底等高，若圆柱的体积比圆锥的体积多60立方分米，则圆柱的体积是（）立方分米，圆锥的体积是（）立方分米。

限时考场模拟：

分钟完成

1.（天河省实面试真题）一块张方形的草地，边长为3米，在两个对角的顶点处各种一棵树，树上各栓一只羊，绳长都是3米。

问两只羊都能吃到草的草地面积有多大？

（圆周率取3.14）

2.（黄冈中学面试真题）有一个装有水的圆柱形容器，底面直径是20厘米，现将一个底面半径3厘米的圆锥形铁块全部浸没在水中，这时水面上升0.3厘米。

圆锥形铁块的高是多少厘米？

3.

王阿姨炒菜后剩下的火腿肠的形状如下图，求它的体积。

（单位：

厘米）

4.有一个小金钱缸，长4分米，宽3分米，水深2分米。

把一小块石头浸入水中后，水面上升了0.8分米。

这块石头的体积是多少立方分米？

课后作业

1.[单选题]（中大附中面试真题）你们学到的知识是一个小圆，我学到的知识是一个大圆，但未接触的知识面是广阔的，圆周越长说明未接触面越（）。

A.大B.小C.不变

2.一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为2厘米的小正方体，表面积增加多少平方厘米？

3.有一个底面是正方形的长方体，高16厘米，侧面展开后是一个正方形，这个长方体的表面积是（）平方厘米。

4.如图，在一个棱长为10厘米的正方体中间，挖去一个长、宽、高分别为6厘米、4厘米、5厘米的长方体。

剩下部分的表面积是多少平方厘米？

5.

一个酒瓶里面深30厘米，底面直径是8厘米,瓶里有酒深12厘米，把酒瓶塞紧后倒置（瓶口向下），这时酒深20厘米，你能算出酒瓶的容积是多少毫升吗？

6.一根圆柱形木材长2米，把它截成相等的4段后，表面积增加了18.84平方厘米。

原来这根圆木的体积是多少立方厘米？

1、整理本次课的笔记、重要例题、错题；

2、按时完成课后作业；

3、家长检查课后作业，督促改正练习中的错题。

课首小测

1.15.7

解析:

要求圆的面积，首先要求出圆的半径。

但此题中圆的半径不能直接求出，只告诉了正方形的面积，那就要找到圆的半径与正方形面积的关系入手。

由于圆的半径等于正方形的边长，那么正方形面积=r×r=r2，圆的面积公式是S=πr2，圆的面积是：

3.14×5=15.7cm2。

2.90cm2

解析:

可用分割法或割补法求出阴影部分的面积。

具体添加辅助线的方法如下图：

5×8+（8+12）×（10—5）÷2=90（cm2）

12×10—（5+10）×（12—8）÷2=90（cm2）

8×10+5×（10—8）÷2=90（cm2）

3.20

解析:

两个大三角形的面积相等，中间重叠部分的面积相等，剩下的两个梯形面积相等。

阴影部分的面积无法求出，可以转化为求最下面那个梯形的面积：

（12—4+12）×2÷2=20。

4.24

解析:

大正方体由27块小正方体组成，反过来也可以说，小正方体是由大正方体沿着长、宽、高的方向各切2次切成的。

这样，一个大正方体的底面相当于9个小正方体的底面。

小正方体未被涂黑的表面积之和是（27×6÷9—6）×2=24。

5.半圆

导学一

知识点讲解1：

求组合图形周长的方法。

例题

1.20.5cm

解析:

当圆面积与长方形面积相等时，长等于圆周长的一半。

可用BC替换OA，则AB+BC+CD=OB+DC=16.4cm，再加上弧AD的长度：

16.4÷4=4.1cm，就是阴影部分的周长。

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1.35.42m

解析:

10×2+6+6×3.14÷2=35.42（m）2.10

解析:

将楼梯通过水平和垂直方向的平移，变成一个长方形（如下图）。

地毯的长度就等于长方形的长与宽的和：

6+4=10m。

3.14.28dm

解析:

如下图，铁丝长度包括4条直径和一个圆周长，即：

2×4+2×3.14=14.28（dm）

知识点讲解2：

求组合图形面积的常用方法。

例题

1.300cm2

解析:

先将中间的平行四边形转化为与它等底等高的长方形，再将两个小长方形分别平移到大长方形的顶端和左边，四块阴影部分则变成合并成了一个长方形。

这个新长方形的长和宽分别比原来少了2厘米，面积是（22-2）（17-2）

=300（cm2）。

如下图：

2.126dm2

解析:

因为中间的空隙一样大，都是相隔3分米，所以可以将右边的小梯形向左边的大梯形平移，合成一个新的梯形。

这个新梯形的上底和下底比原来整个图形的上底和下底分别少3分米，高相等，因此可求出新梯形的面积，也就是阴影部分的面积，即：

（9—3+18—3）×12÷2=126（dm2）

3.170m2

解析:

可将水平的小路向上平移，垂直的小路向左平移（如下图），则可将草地面积拼成一个长方形。

求出空白部分的长方形面积，就是草坪的面积。

（18—1）（11—1）=170m2

4.72cm²

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1.50cm2

解析:

方法1.可利用等积变形，将现三角形通过等积变形为下图中的三角形（阴影部分），面积是10×10÷2=50（cm2）方法2.可用整个图形面积—空白部分面积=阴影部分面积，即：

10×10+（10+7）×7÷2—（10+7）×7÷2=50（cm2）

2.4.71cm2

解析:

三角形ABC与三角形OBC等底等高，所以它们的面积相等，则阴影部分的面积就可以转换为扇形BOC的面积（如下

图）。

由于B、C两点将半圆弧长三等分，那么扇形BOC的面积则等于圆面积的

。

只要求出圆面积的

，就是阴影部分的面积，即：

3.14×（6÷2）2×=4.71（cm2）

3.30

解析:

上半部空白部分的三角形与下图中上半部空白部分的三角形等底等高，所以两个三角形的面积相等，等于整个六边形面积的，而阴影部分的面积等于六边形面积的

，即：

90×

=30。

4.50

5.C

例题

1.78.5cm2

解析:

连接AO和CD（如下图）。

因AO与CD分别是两正方形的对角线，所以它们平行，三角形ACD与三角形OCD的高相等。

同时这两个三角形的底边CD是同一条边，那么两个三角形等底等高，因此它们的面积相等。

阴影部分的面积则转换成了扇形COD的面积。

求出扇形COD的面积就是要求的阴影部分的面积。

cm2

2.174.5m2

解析:

要求安全区的面积，也就是求阴影部分的面积。

阴影部分的面积=三角形ABC面积—两个扇形的面积，由于两个扇形的圆心角不知道，但知道它是一个直角三角形，两锐角的度数和是90度，因此要把两个扇形拼成一个圆心角是90度的扇形，从而求出扇形的面积：

16×12÷2—3.14×（20÷2）2÷4=174.5（m2）

3.34

解析:

两个大三角形的面积相等，重叠部分b的面积相等，剩下部分c和a的面积相等。

c的面积无法求出，可以转化为求a的面积：

（10—3+10）×4÷2=34。

4.30cm2

解析:

长方形和平行四边形等底等高，所以它们的面积相等，中间重叠部分的面积相等，剩下的两个梯形面积相等。

阴影部分的面积无法求出，可以转化为求左边那个梯形的面积：

（8+2）×6÷2=30（cm2）。

5.20

6.4

7.150cm²

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1.10

解析:

三角形BDF与三角形ABF等底等高，所以三角形BDF与三角形ABF的面积相等。

长方形面积—阴影部分面积=空白部分面积=三角形ABC面积—四边形EFGO的面积。

因此，四边形EFGO的面积=三角形ABC面积—空白部分面积。

空白部分面积：

15×8—70=50

四边形EFGO面积：

15×8÷2—50=10

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1.48

解析:

首先引导学生明白：

三角形ACD中阴影部分的面积与三角形BCF的面积相等。

平行四边形ABCD沿AC一分为二，分得的三角形ABC和ACD面积相等，又由于三角形BAG和CAG等底等高，且面积相等，那么它们分别减去三角形AFG后的面积差

（即两个空白部分面积）相等，因此得到三角形ACD中阴影部分的面积与三角形BCF的面积相等。

所以整个阴影部分面积等于三角形BCF面积的2倍：

12×4÷2×2=48（cm2）。

2.15cm2；20cm2

解析:

由于两个小三角形的高相等，那么它们的底边比等于它们的面积比3：

4。

由四边形ABCD的面积和两个小三角形面积可求出三角形ADE和ABE面积的和：

42—3—4=35cm2。

又因三角形ADE和ABE的高相等，它们的面积比也是3：

4，所以三角形ADE面积是35÷（3+4）×3=15cm2，三角形ABE面积是35÷（3+4）×4=20cm2。

3.18cm2

解析:

由BO=2DO可知，BO：

DO=2：

1。

因三角形BOC与DOC等高，所以它们的面积比等于底边BO与DO的比。

三角形DOC面积

=4÷2=2cm2，又由于三角形BOC与AOD面积相等，所以它们的面积都是4。

三角形AOD与AOB高相等，所以它们的面积比等于底边BO与DO的比。

那么三角形AOB的面积是4×2=8cm2。

整个等腰梯形的面积是：

2+4+4+8=18cm2。

4.25

解析:

由于a和d的长相等，所以它们的面积比等于它们宽的比；同理，b和c的面积比也等于它们宽的比。

由于两个面积比的宽相等，所以它们的面积比相等：

a：

d=b：

c。

将四个长方形的面积组成一个比例，解比例即可求出图形d的面积。

解：

设图形d的面积为x平方厘米。

10：

x=14：

35x=25

5.8cm2

解析:

阴影部分的面积=大圆的面积—7个小圆的面积。

由于大圆和小圆的半径都无法求出来，因此想从求半径的方法去解答此题没法完成。

从图中可看出大圆半径是小圆半径的3倍，那么大圆面积是小圆面积的9倍，通过倍数关系，求出小圆面积，最后求出阴影部分的面积。

36—36÷9×7=8cm2

6.7.74

解析:

可连接四个圆的圆心，组成一个正方形。

再用正方形的面积减去一个圆的面积，就是阴影部分的面积。

（3×2）2—3.14×32=7.747.157cm2

解析:

要求环形的面积，先要知道大圆和小圆的半径。

由于题中条件求不出大圆和小圆的半径，但知道了阴影部分的面积，思路要转向求两圆半径与阴影部分面积之间的关系，再利用此关系，求出环形面积。

S阴=大三角形面积—小三角形面积=

R2—

r2=25

由上可得：

（R2—r2）=25

R2—r2=50

S环=π（R2—r2）=3.14×50=157（cm2）

导学二

知识点讲解1：

求立体图形的表面积例题

1.84

解析:

因为一个长方体可以分成三个同样的正方体，每分一次就增加了2个正方体的底面面积，共分了2次，增加了4个正方体的底面面积，那么原长方体的表面积就相当于正方体的6×3—4=14个底面面积。

6×（6×3—4）=84cm2

2.②

解析:

先用棱长总和除以4，先可求出一条长、一条宽和一条高的和，再减去一条长和一条宽，剩下的就是一条高的长度：

56÷4—6—5=3cm

3.5分米

解析:

长方体的棱长总和等于正方体的棱长总和。

先求出长方体的棱长总和，再除以12，就是正方体的棱长。

（9+5+1）×4÷12=5（分米）4.C

5.34

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1.3平方米

解析:

由于此金鱼缸没有盖，只要求一个面积的面积和即可：

12×10+（10×8+12×8）=296平方分米≈3平方米。

注意此题最后的近似值要用进一法取值。

2.25.12cm2

解析:

把一个圆柱横截成两个圆柱，它们的表面积比原来增加了两个底面。

3.14×22×2=25.12（cm2）3.160cm2

解析:

垂直剖开后，增加了2个长方形，长方形的长等于圆柱的底面直径，宽等于圆柱的高。

增加的表面积就是2个长方形的面积。

8×102=160（cm2）

4.96

解析:

将棱长4厘米的正方体切成棱长2厘米的小正方体，要沿着长、宽和高的方向各切一次，每切一次增加2个正方体的底面积，切3次共增加了6个底面积，即：

4×4×6=96（平方厘米）。

5.1.57

解析:

由于通风管只有一个面圆柱的侧面，因此只要求出圆柱的侧面积，就是铁皮的面积。

列式为：

3.14×2×5×5=157平方分米=1.57平方米6.78.5千克

解析:

此题要求圆柱的侧面积与一个底面积的和。

再求出用水泥的重量。

列式：

3.14×2×2+3.14×（2÷2）2=15.7（平方米）15.7×5=78.5（千克）

知识点讲解2：

求立体图形的体积例题

1.

解析:

由于下面的圆锥体与上面的圆柱体底面积相等，那么圆锥形状的沙倒入圆柱体后，它的高度只有圆锥体高度的

。

倒入圆柱体后的沙子高度就是5和

的和：

5+20×

=

cm。

2.40；20

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1.6dm

解析:

根据等量关系：

长方体体积=正方体体积，列出方程。

解：

设长方体的高是x分米。

9×4x=6×6×6

x=6

2.30个

解析:

学生容易从主观经验出发，而不是从实际情况出发，直接用仓库的容积去除以一个正方体的体积，得出放木箱的个数，导致最终结果出现错误。

此题的解答方法必须从实际情况出发，先算出长方体仓库的长、宽每行各能放几个，再根据高求出能放几层，再得出最终的答案。

10÷2=5（个）

5÷2≈2（个）

6÷3=3（层）

5×2×3=30（个）

3.628

解析:

将一个圆柱截成3个同样的圆柱，增加了4个底面面积，12.56平方厘米就相当于4个圆柱的底面面积，可求出圆柱体的底面面积，再乘以高，就是圆柱的体积。

注意要进行单位转化。

列式：

12.56÷4×200=628（立方厘米）4.35升

解析:

由于圆锥的高是未知的，底面半径未知，根据公式直接求圆锥容积的思路行不通。

只有转换为思考两个圆锥容积之间的倍数关系，才能解答出来。

由于大圆锥的高是小圆锥高的2倍，可知大圆锥的底面半径也是小圆锥底面半径的2倍，则大圆锥的底面积是小圆锥底面积的4倍，容积是小圆锥的8倍，还能装水的容积是小圆锥的7倍。

列式：

5×（2×2×2-1）=35（升）5.8；36；54；27

解析:

三面涂色的木块在正方体的顶点处，有8个顶点，则有8块三面涂红色；两面涂色的在正方体的棱上，每条棱上各有3块，共有3×12=36块；一面涂色的在正方体每个面的中心处，每个面各有9块，共有9×6=54块；没有涂色的，则包在正方体里面，将最外面涂色的那层扒掉，剩下的都是没有涂色的，共有（5-2）3=27块。

6.90；30

限时考场模拟

1.5.13平方米

解析:

求两只羊都能吃到的草地面积，就是求它们重叠部分的吃草面积。

用两个扇形面积（或半圆面积）减去正方形面积。

3.14×32÷2—3×3=5.13（平方米）

2.10厘米

解析:

圆锥的体积等于圆柱体中