届高三理科数学一轮复习学案 定积分与微积分基本定理.docx
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届高三理科数学一轮复习学案定积分与微积分基本定理
第五节定积分与微积分基本定理
突破点
(一) 求定积分
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
1.定积分的定义
一般地,如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0 2.定积分的相关概念 在f(x)dx中,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式. 3.定积分的性质 (1)kf(x)dx=kf(x)dx(k为常数); (2)[f1(x)±f2(x)]dx=f1(x)dx±f2(x)dx; (3)f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(其中a 4.微积分基本定理 如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么f(x)dx=F(b)-F(a).其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.为了方便,我们常常把F(b)-F(a)记为F(x),即f(x)dx=F(x)=F(b)-F(a). 考点贯通抓高考命题的“形”与“神” 利用微积分基本定理求定积分 [例1] 计算下列定积分: (1)(-x2+2x)dx; (2)(sinx-cosx)dx; (3)dx; (4) dx. [解] (1)(-x2+2x)dx=(-x2)dx+2xdx=-x3+x2|=-+1=. (2)(sinx-cosx)dx=sinxdx-cosxdx =(-cosx)|-sinx|=2. (3)dx=e2xdx+dx =e2x+lnx|=e4-e2+ln2-ln1 =e4-e2+ln2. (4) dx= |sinx-cosx|dx= (cosx-sinx)dx+ (sinx-cosx)dx =(sinx+cosx)0+(-cosx-sinx) =-1+(-1+)=2-2. [方法技巧] 利用微积分基本定理求定积分的步骤 (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差. (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分. (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数. (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值. (5)计算原始定积分的值. 利用定积分的几何意义求定积分 [例2] 利用定积分的几何意义计算下列定积分: (1)dx; (2)(3x3+4sinx)dx. [解] (1) 根据定积分的几何意义,可知dx表示的是圆(x-1)2+y2=1的面积的(如图所示的阴影部分). 故dx=. (2)(3x3+4sinx)dx表示直线x=-5,x=5,y=0和曲线y=3x3+4sinx所围成的曲边梯形面积的代数和,且在x轴上方的面积取正号,在x轴下方的面积取负号. 设y=f(x)=3x3+4sinx, 则f(-x)=3(-x)3+4sin(-x)=-(3x3+4sinx)=-f(x),又f(0)=0, 所以f(x)=3x3+4sinx在[-5,5]上是奇函数, 所以(3x3+4sinx)dx=-(3x3+4sinx)dx, 所以(3x3+4sinx)dx=(3x3+4sinx)dx+(3x3+4sinx)dx=0. [方法技巧] 1.利用定积分几何意义求定积分的策略 当被积函数的原函数不易求,而被积函数的图象与直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边梯形的面积易求时,利用定积分的几何意义求定积分. 2.两个常用结论 设函数f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则由定积分的几何意义和奇、偶函数图象的对称性可得两个结论: (1)若f(x)是偶函数,则f(x)dx=2f(x)dx; (2)若f(x)是奇函数,则f(x)dx=0. 能力练通抓应用体验的“得”与“失” 1.(x-1)dx=( ) A.2B.-2 C.D. 解析: 选B (x-1)dx==-=-2. 2. sin2dx=( ) A.0B.- C.-D.-1 解析: 选B ∫ sin2dx= dx=x-sinx=-. 3.设f(x)=(其中e为自然对数的底数),则f(x)dx的值为( ) A.B.2C.1D. 解析: 选A 根据定积分的性质,可知f(x)dx可以分为两段,则f(x)dx=x2dx+dx=x3+lnx=+1=. 4.dx=________. 解析: 根据定积分的几何意义,可知dx表示圆(x-2)2+y2=1与x=1,x=2及y=0所围成的圆的面积的,即dx=. 答案: 5.[-sinx]dx=________. 解析: 令=y,则x2+y2=1(y≥0),该方程表示以(0,0)为圆心,1为半径的圆的一半.所以dx表示圆x2+y2=1与x轴所围成的上半圆的面积,因此=.又因为sinxdx=(-cosx)=-cos1-[-cos(-1)]=0,所以-1[-sinx]dx=. 答案: 突破点 (二) 定积分的应用 基础联通抓主干知识的“源”与“流” 1.定积分与曲边梯形面积的关系 如图: 设阴影部分面积为S. 图形 阴影部分面积 S=f(x)dx S=-f(x)dx S=f(x)dx-f(x)dx S=f(x)dx-g(x)dx =[f(x)-g(x)]dx 2.求变速运动的路程 做变速运动的物体在时间[a,b]上所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即s=v(t)dt. 具体步骤为: ①找出速度函数v=v(t),作出图形.②观察v=v(t)的图形是否满足v(t)≥0.③若v(t)≥0,则相应的时间段[a,b]上的路程为s=v(t)dt;若v(t)<0,则相应的时间段[a,b]上的路程为s==-v(t)dt. 考点贯通抓高考命题的“形”与“神” 利用定积分求平面图形的面积 [例1] 由曲线y=,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为( ) A.B.4 C. D.6 [解析] 作出曲线y=和直线y=x-2的草图(如图所示),所求面积为阴影部分的面积. 由得交点A(4,2). 因此y=与y=x-2及y轴所围成的图形的面积为 dx==x-x2+2x=×8-×16+2×4=. [答案] C [方法技巧] 利用定积分求平面图形面积的步骤 (1)根据题意画出图形; (2)借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限; (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和; (4)计算定积分,写出答案. 定积分在物理中的应用 [例2] (1)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位: s,v的单位: m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位: m)是( ) A.1+25ln5 B.8+25ln C.4+25ln5D.4+50ln2 (2)一物体在力F(x)=(单位: N)的作用下沿与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4(单位: m)处,则力F(x)做的功为________J. [解析] (1)由v(t)=7-3t+=0,可得t=4,因此汽车从刹车到停止一共行驶了4s,此期间行驶的距离为v(t)dt=dt==4+25ln5. (2)由题意知,力F(x)所做的功为 W=F(x)dx=5dx+(3x+4)dx =5x|+ =5×2+=36(J). [答案] (1)C (2)36 [方法技巧] 定积分在物理中的两个应用 (1)求物体做变速直线运动的路程: 如果物体做变速直线运动,且其速度为v=v(t)(v(t)≥0),那么从时刻t=a到t=b所经过的路程s=v(t)dt. (2)求变力做功: 一物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同方向从x=a移动到x=b时,力F(x)所做的功是W=F(x)dx. 能力练通抓应用体验的“得”与“失” 1.若x(单位: m)表示位移的大小,一物体在力F(x)=(单位: N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4m,力F(x)做功为( ) A.8JB.12JC.15JD.J 解析: 选D 由题意得W=dx=x =J. 2.曲线y=与直线y=x-1及x=4所围成的封闭图形的面积为( ) A.2ln2B.2-ln2 C.4-ln2D.4-2ln2 解析: 选D 由曲线y=与直线y=x-1联立,解得x=-1,x=2,如图所示,故所求图形的面积为 S=dx=x2-x-2lnx=4-2ln2. 3.(2016·衡阳一模)如图,阴影部分的面积是( ) A.32B.16C.D. 解析: 选C 由题意得,阴影部分的面积S=(3-x2-2x)dx==. 4.由抛物线y=x2-1,直线x=0,x=2及x轴围成的图形面积为________. 解析: 如图所示,由x2-1=0,得抛物线与x轴的交点分别为(-1,0)和(1,0). 所以S=|x2-1|dx=(1-x2)dx+(x2-1)dx =+ =+ =2. 答案: 2 5.物体A以速度v=3t2+1(t的单位: s,v的单位: m/s)在一直线上运动,在此直线上与物体A出发的同时,物体B在物体A的正前方5m处以v=10t(t的单位: s,v的单位: m/s)的速度与A同向运动,当两物体相遇时,相遇地与物体A的出发地的距离是________m. 解析: 设bs后两物体相遇,则(3t2+1)dt-10tdt=5,即b3+b-5b2=5,(b2+1)(b-5)=0,解得b=5,此时物体A离出发地的距离为(3t2+1)dt=(t3+t)=53+5=130(m). 答案: 130 近五年全国卷对本节内容未直接考查 [课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基,二练题点过高考 [练基础小题——强化运算能力] 1.exdx的值等于( ) A.eB.1-e C.e-1D.(e-1) 解析: 选C exdx=ex|=e1-e0=e-1. 2.已知t是常数,若(2x-2)dx=8,则t=( ) A.1B.-2 C.-2或4D.4 解析: 选D 由(2x-2)dx=8得,(x2-2x)=t2-2t=8,解得t=4或t=-2(舍去). 3.从空中自由下落的一物体,在第一秒末恰经过电视塔顶,在第二秒末物体落地,已知自由落体的运动速度为v=gt(g为常数),则电视塔高为( ) A.gB.g C.gD.2g 解析: 选C 由题意知电视塔高为gtdt=gt2=2g-g=g. 4.由曲线y=x2,y=围成的封闭图形的面积为( ) A.B.C.D.1 解析: 选B 由得交点为(0,0)和(1,1),故所求面积(如图阴影部分的面积)为(-x2)dx= |=. 5. sindx=________. 解析: 依题意得 sindx= (sinx+cosx)dx=(sinx-cosx)=-(sin0-cos0)=2. 答案: 2 [练常考题点——检验高考能力] 一、选择题 1.定积分|x2-2x|dx=( ) A.5B.6C.7D.8 解析: 选D ∵|x2-2x|= ∴x2-2xdx=(x2-2x)dx+(-x2+2x)dx=+=8. 2.(2017·河北五校联考)若f(x)=f(f (1))=1,则a的值为( ) A.1B.2C.-1D.-2 解析: 选A 因为f (1)=lg1=0,f(0)=3t2dt=t3|=a3,所以由f(f (1))=1得a3=1,所以a=1. 3.若S1=dx,S2=(lnx+1)dx,S3=xdx,则S1,S2,S3的大小关系为( ) A.S1 C.S1 解析: 选A 如图,分别画出对应图形,比较围成图形的面积,易知选A. 4.(2017·贵阳监测)若由曲线f(x)=与y轴及直线y=m(m>0)围成的图形的面积为,则m的值为( ) A.2B.3C.1D.8 解析: 选A 由题意得,围成的图形的面积S=(m-)dx=m20=m3-m3=,解得m=2. 5.设变力F(x)(单位: N)作用在质点M上,使M沿x轴正方向从x=1m处运动到x=10m处,已知F(x)=x2+1且方向和x轴正方向相同,则变力F(x)对质点M所做的功为( ) A.1JB.10JC.342JD.432J 解析: 选C 变力F(x)=x2+1使质点M沿x轴正方向从x=1运动到x=10所做的功W=∫F(x)dx=∫(x2+1)dx=|=342(J). 6.若函数f(x),g(x)满足-1f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数: ①f(x)=sinx,g(x)=cosx;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数为( ) A.0B.1C.2D.3 解析: 选C 对于①,sinxcosxdx=sinxdx=0,所以①是区间[-1,1]上的一组正交函数;对于②,(x+1)(x-1)dx=(x2-1)dx≠0,所以②不是区间[-1,1]上的一组正交函数;对于③,x·x2dx=x3dx=0,所以③是区间[-1,1]上的一组正交函数.选C. 二、填空题 7.若函数f(x)=x+,则f(x)dx=________. 解析: dx==. 答案: 8.(2017·洛阳统考)函数f(x)=的图象与直线x=1及x轴所围成的封闭图形的面积为________. 解析: 由题意知所求面积为(x+1)dx+exdx=+ex=-+(e-1)=e-. 答案: e- 9.dx+dx=________; 解析: dx=lnx=1-0=1,因为dx表示的是圆x2+y2=4在x轴上方的面积,故dx=π×22=2π.所以原式=2π+1. 答案: 2π+1 10.如图,由曲线y=x2和直线y=t2(0 解析: 设图中阴影部分的面积为S(t),则S(t)=(t2-x2)dx+(x2-t2)dx=t3-t2+.由S′(t)=2t(2t-1)=0,得t=为S(t)在区间(0,1)上的最小值点,此时S(t)min=S=. 答案: 三、解答题 11.已知f(x)为二次函数,且f(-1)=2,f′(0)=0,f(x)dx=-2. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值. 解: (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则f′(x)=2ax+b. 由f(-1)=2,f′(0)=0, 得即 ∴f(x)=ax2+2-a. 又f(x)dx=(ax2+2-a)dx ==2-a=-2. ∴a=6,从而f(x)=6x2-4. (2)∵f(x)=6x2-4,x∈[-1,1]. ∴当x=0时,f(x)min=-4; 当x=±1时,f(x)max=2. 12.已知函数f(x)=x3-x2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x2围成的图形的面积. 解: ∵(1,2)为曲线f(x)=x3-x2+x+1上的点, 设过点(1,2)处的切线的斜率为k, 则k=f′ (1)=(3x2-2x+1)=2, ∴过点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x. y=2x与函数g(x)=x2围成的图形如图: 由可得交点A(2,4),O(0,0), 故y=2x与函数g(x)=x2围成的图形的面积 S=(2x-x2)dx==4-=.
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