多边形内角和与外角和模型专题.docx
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多边形内角和与外角和模型专题
.多边形内角和与外角和模型专题
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多边形内角和与外角和专题训练(模型)
【模型一】“A字”模型
求证:
∠1+∠2=180°+∠A
证法一:
连接BC,利用“三角形内和为180°”.
证法二:
连接BC,利用“三角形内和为180°”与“四边形内和为360°”.
证法三:
利用“三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和”.
C
A
B
D
E
2
1
3
F
证法四:
延长EA至F,利用“多边形外角和为360°”.
【模型二】飞镖模型
求证:
∠A+∠B+∠C=∠D
证法一、
证明:
连接BC,
证法二、连接并延长AD,
证法三、连接并延长BD,交AC于点E,
【模型三】“8字”模型
求证:
∠A+∠B=∠C+∠D
证法一、利用“三角形内角和为180°”
证法二、利用“三角形任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和”
A
B
C
D
O
1
注意:
“8字”模型的变式.
如图,∠1+∠2=∠C+∠D
【模型四】“五角星”模型
求证:
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
【模型五】“角平分线”模型
1、两条内角平分线
已知:
如图,∠B、∠C的平分线BP、CP交于点P
求证:
∠BPC=90°+∠A
2、两条外角平分线
已知:
如图,∠CBE、∠BCF的平分线BP、CP交于点P
求证:
∠P=90°-∠A
3、一条内角平分线和一条外角平分线
已知:
如图,∠ABC、∠ACD的平分线BP、CP交于点P
求证:
∠P=∠A
【模型六】“高线角平分线”模型
求证:
∠DCE=(∠B-∠A).(其中∠B>∠A)
【模型七】“折角”模型
求证:
∠1+∠2=2∠A
求证:
∠2-∠1=2∠A
求证:
∠1-∠2=2∠A
【直接运用】
在“填空题”、“选择题”的客观题型中,可以直接运用模型结论解题.注意结论的准确性.
1.☆如图,在△ABC中,∠A=50°,∠B=65°,则∠ACD=°
2.☆如图,∠1+∠2=260°,则∠A=°
3.☆如图,∠1=25°,∠2=75°,∠C=65°,则∠D=°
4.☆如图,在△ABC中,∠A=62°,∠1=20°,∠2=35°,则∠BDC=°
5.☆如图,若∠A=∠B=∠C=∠D=∠E,则∠A=°
6.☆如图,若∠A=40°,则∠P=°
7.☆如图,△ABC中,CD⊥AB,CE平分∠ACB,∠B=50°,∠A=20°,则∠DCE=°
8.☆如图,纸片△ABC中,∠A=55°,∠B=75°,将纸片的一角折叠,使C点落在△ABC内的C’处,则∠1+∠2=°
9.☆☆如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=°
10.☆☆如图,∠A+∠B+∠C+∠D=°
11.☆☆如图,BE、CF交于点O,∠EOF=105°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=°.
12.☆☆如图,∠ABD与∠ACB的角平分线相交于点P,若∠A=50°,∠D=10°,则∠P=°.
【过程重现】
在“解答题”中,重现模型证明过程.注意方法的选择.
1.☆☆如图,在∠AMB的两边AM、BM上分别取点P、Q,在∠AMB内取一点N,连接PN、QN,探索∠PNQ、∠AMB、∠MPN、∠MQN之间的数量关系,并证明你的结论.
2.☆☆如图,∠MON=90°,点A、B分别在射线PM、PN上,∠MAB和∠NBA的平分线相交于点P.点A和点B在运动过程中,∠P的大小是否发生变化?
请说明你的理由.
3.☆☆如图,已知AB∥CD,BD平分∠ABC交AC于点O,CE平分∠DCG.若∠ACE=90°,试判断BD与AC的位置关系,并说明理由.
4.☆☆在△ABC中,内角∠ABC、∠ACB的平分线夹角为α,外角∠DBC、∠ECB的平分线夹角为β.
D
A
B
C
E
P
O
(1)若α=110°,则∠A=°,
(2)若∠A=40°,则β=°,
(3)猜想α与β之间的关系,并说明理由.
【探索新知】
在模型的基础上探索新知,或用与探索模型类似的方法探索新知.注意的模型生成过程.
1.☆☆如图,则∠1+∠2+∠3+∠4=°;
如图,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=°;
如图,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=°.
2.☆☆
(1)如图
(1),则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠FJ=°;
(2)如图
(2),则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠HJ=°;
(3)如图(3),则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠J=°.
3.☆☆☆已知:
如图,在△ABC中,BO1、BO2是∠ABC的三等分线,CO1、CO2是∠ACB的三等分线.
(1)当∠A=60°时,∠BO2C=°;
(2)探索∠BO1C与∠BO2C之间的数量关系,并证明你的结论.
4.☆☆☆已知:
如图,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点E.
(1)若∠D=140°,∠E=110°,则∠A°;
(2)求证:
∠E=(∠A+∠D)
5.☆☆☆☆如图,线段AB、CD交于点O,连接AD、BC,我们把形如图1的图形称为“8字形”.
(1)如图
(1),直接写出∠A+∠D与∠B+∠C的关系;
(2)如图
(2),∠DAB和∠BCD的平分线AP、CP交于点P,且分别与AB、CD交于点M、N,∠D=46°,∠B=30°.先观察图中还有哪些“8字形”,再利用
(1)的结论求∠P的度数;
(3)在
(2)中,若∠D=α,∠B=β,直接写出∠P的度数(用含有α、β的式子表示).
6.☆☆☆☆如图,在△ABC中,将点A向下拖动,依次可以得到图1、图2、图3.分别探究图
(1)、图
(2)、图(3)中∠EAD、∠B、∠C、∠D与∠E之间有什么数量关系?
7.☆☆☆☆如图,线段AB、CD交于点O.将图
(1)中线段AD上一点E(点A、D除外)向下拖动,依次可以得到图
(2)、图(3)、图(4).分别探究图
(2)、图(3)、图(4)中∠A、∠B、∠C、∠D与∠AED之间有什么数量关系?
8.☆☆☆☆转化是数学中的重要思想,即把陌生的问题转化成熟悉的问题,把复杂的问题转化简单的问题,把复杂的问题转化为简单的问题,把抽象的问题转化为具体的问题.
(1)请你根据学过的知识求出下面星形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数;
(2)若将图
(1)中的星形截去一个角,如图
(2),请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数;
(3)若再将图
(2)中角进一步截去,如图
(2),你能由题
(2)中的方法或规律,猜想出图(3)中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠J的度数?
(直接写出结果,不需要写出解题过程)
(2)
(1)
10.☆☆☆☆☆如图,四边形ABCD中,内角∠ABC的角平分线与外角∠DCE的角平分线交于点F,且∠F为锐角.设∠A=α,∠D=β.
(1)如图,α+β>180°,试用α、β表示∠F;
(2)如图,α+β<180°,请在图中画出∠F,并试用α、β表示∠F;
(3)一定存在∠F吗?
如有,求出∠F的值;如不一定,指出α、β满足什么条件时,不存在∠F.
9.☆☆☆☆☆如图,把三角形纸片ABC折叠,使3个顶点重合于点P,这时∠α+∠β+∠γ=°,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=°.
如果三角形纸片ABC折叠后,3个顶点并不重合于点P(如图),那么
(1)中关于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6”的结论是否仍然成立?
请说明理由.
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- 多边形 内角 外角 模型 专题
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