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导数基础练习题
导数基础练习题
选择题
1.函数f(x)
2
2x的导数是(C)
(A)
f(x)
2
4x(B)f(x)4x(C)
2
f(x)8x(D)f(x)16x
2.函数
f(x)
x
xe
的一个单调递增区间是(A
)
(A)
1,0
(B)
2,8(C)1,2(D)
0,2
知
对任意实数x,有f(x)
0时,
f(x),g(
x)
g(x),
且x
3.已
2
f(x)axbxc的导数为f'(x),f'(0)
f(x)0,则卫9的最小值为(C)
12.函数f(x)
(x3)ex的单调递增区间是(
)
f'(0)
B
3
A.
13.函数f(x)2x36x2
A.(2,)B.(0,3)C.(1,4)D.(,2)
m(m为实数)在[2,2]上有最大值3,那么此函数在
[2,2]上的最小值为
A3
B27C37D
54
14三次函数
f(x)=mx—x在(—8,+^)上是减函数,则
m的取值范围是(
)
A.m<0
B.m<1
C.m<0
D.m<1
[答案]A
[解析]f'
(x)=3mx—1,由条件知f'(x)w0在(一8,
+8)上恒成立,
m<0
,二m<0,故选A.
△=12m<0
15曲线y=;x3+x在点1,:
处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()
33
A.1
1
B.9
1
C.3
2
D.3
[答案]
[解析]
B
•••y'=x+1,
134
二曲线y=3x3+x在点(1,3)处的切线斜率k=y'|x=1=1+1=2,
33
4
1121
•S=2X3X3=9-
f(x)可能是(D)
•••k=2,切线方程为y-3=2(x-1),即6x-3y-2=0,
令x=0得y=-3,令y=0得x=3,
2
16.若函数f(x)的导数为.f'(x)=_2x+1,
A.-2x3+1
B.-x+1C.-4xD.-
17.已知曲线
1
2,则切点的横坐标为(B
A-2B3C1
是(A)
33
)B[0,)C[4,3T]d[0,;](T^]
x3
A.
B.-
C.
D.-
19y厂3在点x处的导数值为(B
20若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()
A.a=1,b=1B.a=-1,b=1
C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1
21已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,贝Ua的值为()
A.1B.2C.-1D.—2
f(x)在点
2
22已知函数f(x)在R上满足f(x)2f(2x)x8x8,则曲线y
()
y2x3
(1,f
(1))处的切线方程是
A.y2x1B.y
23•函数f(x)的定义域为开区间
C.y3x2D.
(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,极小值点(
12
3
x
25.以下四图,
都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像,其中一定不正确
二.填空题
1函数f(x)
xlnx(x
0)的单调递增区间是.
2.已知函数
f(x)
12x8在区间[3,3]上的最大值与最小值分别为
M,m,则
32.
3.点P在曲线y
x3
x-上移动,设在点
3
P处的切线的倾斜角为为
,则的取值范
围是
4•已知函数y1x3
3
2
xax
5
(1)若函数在
总是单调函数,贝Ua的取值范围
若函数在[1,
)上总是单调函数,则a的取值范围
(3)若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数a的取值范围是
a3..
5.函数f(x)x3ax在[1,+m)上是单调递增函数,则a的取值范围是。
6.函数yx2cosx在区间[0,—]上的最大值是。
2
7函数f(x)x3ax2bxa2,在x1时有极值10,那么a,b的值分别为。
&已知直线y=kx与曲线y=lnx有公共点,则k的最大值为.
9已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是.
10.对于函数f(x)(2xx2)ex
(1)(2^/2)是f(x)的单调递减区间;
(2)f(.2)是f(x)的极小值,fC2)是f(x)的极大值;
(3)f(x)有最大值,没有最小值;
(4)f(x)没有最大值,也没有最小值.
其中判断正确的是.
11曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为.
[答案]y=3x+1
[解析]y'=ex+xex+2,y'|x=0=3,「.切线方程为y—1=3(x—0),即y=3x+1.
12如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=—x+8,贝Uf(5)+f'(5)=
[答案]2
[解析]f(5)+f'(5)=(—5+8)+(—1)=2.
13已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,x€[-2,2]表示过原点的曲线,且在x=±1处的切线的倾斜
3
角都是no
4
则关于如下命题,其中正确命题的序号有①③。
3
1f(x)的解析式为f(x)=x-4xx€[-2,2];
2f(x)的极值点有且只有一个;
3f(X)最大值与最小值之和为零。
三.解答题
14.设函数f(X)
2时取得极值.
32
2x3ax3bx8c在x1及x
(1)求a、b的值;
(2)若对于任意的x[0,3],都有f(x)c2成立,求c的取值范围.
14.解:
(1)f(x)6x26ax3b,
因为函数f(x)在x1及x2取得极值,则有f⑴0,f
(2)0.
66a3b0,
即
2412a3b0.
解得a3,b4.
(2)由
(1)可知,f(x)2x39x212x8c,
f(x)6x218x
12
6(x1)(x
2).
当x(0,1)时,f(x)
0;
当x(1,2)时,f(x)
0;
当x(2,3)时,f(x)
0.
所以,当x1时,
f(x)取得极大值
f
(1)58c,又f(0)8c,
f(3)98c.
则当x0,3时,
f(x)的最大值为
f(3)98c.
因为对于任意的x
0,3
有f(x)
2
c2恒成立,
所以98cc2,
解得c1或c
9,
因此c的取值范围为
(
1)U(9,
).
15.设函数f(x)
x3
3x2分别在x1、x2处取得极小值、极大值
.xoy平面上点AB的
坐标分别为(x!
f(x1))>
x2,f(x2)),
uuuruuur
该平面上动点P满足PA?
PB
4,点Q是点P关于直
线y2(x4)的对称点,
.求
(I)求点AB的坐标;
(n)求动点Q的轨迹方程
15•解:
(1)令f(x)(
x33x2)
3x2
30解得x1或x1
当x1时,f(x)0,
当1x1时,f(x)
0,
当x1时,f(x)0
所以,函数在x
1处取得
极小
值,
在x1取得极大
值,故
X11,X21,f
(1)
0,f
(1)4
所以,点AB的坐标为A(1,0),B(1,4).
(2)设p(m,n),Q(x,y)
PA?
PB
1m,
n?
1
m,4nm21n2
4n4
kPQ丄,所以A"
1
,又PQ的中点在y
2(x
4)上,所以yn2x
m4
2xm
2
2
2
2
消去m,n得x8y
229.
另法:
点P的轨迹方程为
m2n22
9,其轨迹为以
(0,2)为圆心,半径为
3的圆;
设点(0,2)关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q的轨迹为以(a,b),为圆心,半径为3
b21
的圆,由b2'
b2
2-―04得a=8,b=-2
a02
2
2
16已知函数f(x)
2x33x2
3.
(1)求曲线y
f(x)在点
x2处的切线方程;
(2)若关于x的方程fx
m0有三个不同的实根,求实数m的取值范围
16•解
(1)f(x)6x26x,f
(2)12,f
(2)7,2分
•••曲线yf(x)在x2处的切线方程为y712(x2),即12xy170;……4分
(2)记g(x)2x33x2m3,g(x)6x26x6x(x1)
令g(x)0,x0或1.6分
则x,g(x),g(x)的变化情况如下表
x
(,0)
0
(0,1)
1
1(1,)
g(x)
0
0
g(x)
Z
极大
]
极小
Z
当x0,g(x)有极大值m3;X1,g(x)有极小值m2.10分
g(0)0
由g(x)的简图知,当且仅当,
g
(1)0
亦m30亠
即,3m2时,
m20
函数g(x)有三个不同零点,过点A可作三条不同切线.
所以若过点A可作曲线yf(x)的三条不同切线,m的范围是(3,2)14分
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