GCT数学真题 含答案解析.docx
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GCT数学真题含答案解析
2009年GCT入学资格考试数学基础能力测试试题
1.如图,直角坐标系xOy中的曲线是二次函数y=f(x的图像,则f(x=(
A.-x2-6x-5
B.-x2+6x-5
C.x2+4x-5
D.x2-4x-5
2.=(
A.41
B.1681
C.49
D.2401
3.如图,长方形ABCD,AB=a,BC=b(b>a.若将长方形ABCD绕A点顺时针旋转90°,则线段CD扫过的面积(阴影部分等于(。
4.若将正偶数2,4,6,8,10,12,14,16,…依次排成一行:
246810121416…
则从左右数的第101个数码是(
A.4
B.3
C.2
D.1
5.函数y=f(x是定义在(-∞,+∞上的周期为3的周期函数,右图表示的是该函数在区间[-2,1]上的图像,则的值等于(。
A.-2
B.0
C.2
D.4
6.若两个正数的等差中项为15,等比中项为12,则这两数之差的绝对值等于(。
A.18
B.10
C.9
D.7
7.甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出,甲车的速度是50km/h,乙车的速度是
40km/h,当甲车驶到A,B两地路程的,再前行50km时与乙车相遇,A,B两地的路程是非曲直(km。
A.210
B.215
C.220
D.225
8.等腰△AB中,AB=AC=,底边BC>3,则顶角∠A的取值范围是(。
9.下图是我国古代的“杨辉三角形”,按其数字构成规律,图中第八行所有○中误码填数字和等于(。
A.96
B.128
C.256
D.312
10.若复数,z2=-2i2+5i3,则|z1+z2|=(。
11.在直角坐标系中,若直线y=kx与函数的图像恰有3个不同的交点,则众的取值范围是(。
A.(-∞,0D.(2,+∞
12.在边长为10的正方形ABCD中,若按下图所画嵌入6个边长一样的小正方形,使得P,Q,M,四个顶点落在大正方形的边上,则这六具小正方形的面积之和是(。
13.甲盒中有200个螺杆,其中A型的有160个;乙盒中有240个螺母,其中A型的有180个,从甲乙两盒中任取一个零件,能配成A型螺栓的概率为(。
14.一个四面体木块的体积是64cm3,若过聚在每个顶点的三个棱的中点作截面,沿所作的四个截面切下该四面体的4个“角”(小四面体,则剩余部分的体积是(。
A.32cm3
B.36cm3
C.40cm3
D.44cm3
15.设双曲线的左,右焦点分别是F1,F2。
若P是该双曲线右支上异于顶点的一点,则以线段PF2,为直径的圆与以该双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是(。
A.外离
B.相交
C.外切
D.内切
16.=(
A.-π
B.-1
C.0
D.1
17.若,则函数f(x的最小值等于(。
A.2
B.1D.0
18.设函数g(x在上连续,若在内g'(x≥0,则对任意的有(。
19.设函数g(x在x=0点某领域内有定义,若成立,则(。
A.x→0时,g(x是x的高阶无穷小量
B.g(x在x=0点可导
C.limg(x存在,但g(x在x=0点不连续
D.g(x在x=0点连续,但不可导
20.若连续函数f(x满足(。
21.若可导函数f(x满足f'(x=f'(x=f2(x,且f(0=-1,则在点x=0的三阶导数f'''(0=(
A.6
B.4
C.-4
D.-6
22.乙知A=(aij为3阶矩阵,ATA=E(AT的转置矩阵,E是单位矩阵,若(aij=-1,b=(100r,则方程组AX=b的解X=(
A.(-110r
B.(-101r
C.(-1-10r
D.(-100r
23.不恒为零的函数(
A.恰有3个零点
B.恰有2个零点
C.至多有1个零点
D.没有零点
24.若矩阵,A是B的相似矩阵,则矩阵A+E(E是单位矩阵是秩的(。
A.3
B.1
C.2
D.0
25.设向量a1=(120T,a2=(230T,a3=(01-1T,β=(35kT,若β可由a1,a2,a3线性表示,则k=(。
A.1
B.-1
C.-2
D.2
2009年GCT入学资格考试数学基础能力测试试题
参考答案与解析
1.[答案]D
[解析]考查的是二次函数的图像和解析式。
由二次函数的图像开口向上,由二次项系数大于0,故选项A、B错误:
由函数图像过(-1,0知选项C错误,所以正确答案是D选项。
2.[答案]B
[解析]考查的知识点是平方差公式和等差数列求和公式。
由题可知,分子为2010×
2008+1=(2009+1(2009-1+1=20092-1+1=20092,分母等于,故原式等于
。
所以正确的答案是B选项。
3.[答案]B
[解析]面积计算题目。
由题可知,阴影部分面积为所以正确的答案为B选项。
4.[答案]D
[解析]从2到100的偶数列共有6+10×8+11=97位数码,后面紧接着的偶数是分别是102,104,所以第101位数码是104的百位数字1。
所以正确答案是D选项。
5.[答案]C
[解析]周期函数题。
由于函数f(x的周期是3,所以f(2009=f(-=-1,f(-3=f(0=1,
f(4=f(1=2,故原式等于。
所以正确答案是C选项。
6.[答案]A
[解析]设这两个整数分别为a,b,由题可知a+b=15×2=30,a*b=122=144,所以
。
所以正确的答案是A选
项。
7.[答案]D
[解析]设A,B两地的距离是xkm,由题可列出方程,易解出x=225。
故正确答案是D选项。
8.[答案]D
[解析]三角函数题目。
由题知,显然正确的结果为D选项。
9.[答案]B
[解析]由二项式系数和公式知,杨辉三角第8行的数字和等于n=7时的二项式系数和,故结果为27=128,选则B选项。
10.[答案]B
[解析]复数的代数运算。
由题知,z2=-2i2+5i3=2-5i,可得
11.[答案]C
[解析]由题知,当时,直线y=kx过点(-3,2,与分段函数刚好有两个交点;当
时,直线y=kx仅与函数的y=2x-8分支有一个交点:
当时,直线y=kx与分段函数刚好有三个交点,符合题意;当k=2时,直线y=kx与分段函数的y=2x-8分支和y=-2个有一个交点,共两个交点。
综上可知,正确的结果是选项C,此时直线y=kx与函数图像刚好有三个交点。
12.[答案]D
[解析]平面几何计算题目。
过Q作线段QR垂直DA交DA于R。
设DM=b,DN=b,设MN=c,则。
由图易知,△DMN≈△RNQ,故。
又MN=c,
NQ=5c,所以RQ=5b=10,RN=5a,容易解得b=2。
又5a+2b=10,所以小正方形的面积为。
从而可得六个故正确的答案是D选项。
13.[答案]A[解析]概率计算题目。
由题知,能配成A型螺栓意味着从甲盒和乙盒中均取出的为A型,所以概率为14.[答案]A[解析]由于每个小角与原四面体相似,且相似比为,故小角的体积为整个四面体的。
故剩余部分的体积为,正确的答案是A选项。
15.[答案]C[解析]圆锥曲线问题。
设点P的坐标为P(x,y,PF2的中点为M。
根据双曲线的焦半径公式可得,|PF2|=ex-a,故两个圆的半径和为。
又两个圆的圆心。
故正确的答案是A选项。
距离,利用容易计算可得d2-s2=0,由此可以推出d=s,所以两个圆外切。
故正确的答案是C选项。
16.[答案]B[解析]极限运算。
利用罗必达法则,易得选项。
17.[答案]B[解析]函数极值问题。
令当1<x<2时,;当x>2时,易得x=1,或者x=4。
0≤x<1时,当;。
所以正确答案是B;所以函数f(x的最小值是在x=1处取得的,且f(1=1。
故正确的答案是B选项。
18.[答案]C[解析]积分题目。
易知,当故时,sinx<x。
又由题已知在内,g'(x>0。
,有时,g(sinx<g(x。
由定积分的比较性质,不难得到对与任意的,故正确答案是C选项;19.[答案]A[解析]极限的性质。
由题知,故1-1=0。
由高阶无穷小的定义,易知x→0时,g(x是x的高阶无穷小量。
故正确答案是A选项。
20.[答案]C[解析]积分题目。
令t=x-u,则。
故原方程两边对x求导,得。
令x=1,得。
故正确答案是C选项。
21.[答案]A[解析]导数计算题目。
由题知f'(x=f(x2,故f''(x=2f(xf'(x=2f3(x,进而可得,f'''(x=6f2(xf'(x=6f4(x。
所以f'''(0=6f4(0=6,正确的答案是A选项。
22.[答案]D[解析]线性方程组问题。
由题知ATA=E,故矩阵A满秩,方程组AX=b必然有唯一的解。
方程组两边同乘以AT,得ATAX=EX=X=ATb=AT(100T。
而AT(100T=(a1100T=(-100T,所以正确的答案是D选项。
23.[答案]C[解析]行列式问题。
由题知,又函数f(x不恒为零,故f(x至多为一次函数,即f(x至多有一个零点,所以正确的答案是C选项。
24.[答案]B[解析]矩阵的秩问题。
因为,故,故矩阵B的特征值为λ=-1,-1,1。
因为。
A是B的相似矩阵,故矩阵A的特征值也为λ=-1,-1,1,从而矩阵A+E的特征值为λ=0,0,2,故其秩为1,因此正确答案是B选项。
25.[答案]A[解析]有题知,易知k=1,所以正确的答案是A选项。
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