初中数学函数求法十一种.docx
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初中数学函数求法十一种
函数值域求法十一种
在函数得三要素中,定义域与值域起决定作用,而值域就是由定义域与对应法则共同确定。
研究函数得值域,不但要重视对应法则得作用,而且还要特别重视定义域对值域得制约作用。
确定函数得值域就是研究函数不可缺少得重要一环。
对于如何求函数得值域,就是学生感到头痛得问题,它所涉及到得知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定得地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍得作用。
本文就函数值域求法归纳如下,供参考。
1、直接观察法
对于一些比较简单得函数,其值域可通过观察得到。
例1、求函数得值域。
解:
∵
∴
显然函数得值域就是:
例2、求函数得值域。
解:
∵
故函数得值域就是:
2、配方法
配方法就是求二次函数值域最基本得方法之一。
例3、求函数得值域。
解:
将函数配方得:
∵
由二次函数得性质可知:
当x=1时,,当时,
故函数得值域就是:
[4,8]
3、判别式法
例4、求函数得值域。
解:
原函数化为关于x得一元二次方程
(1)当时,
解得:
(2)当y=1时,,而
故函数得值域为
例5、求函数得值域。
解:
两边平方整理得:
(1)
∵
∴
解得:
但此时得函数得定义域由,得
由,仅保证关于x得方程:
在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程
(1)有实根,由求出得范围可能比y得实际范围大,故不能确定此函数得值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数得值域。
∵
代入方程
(1)
解得:
即当时,
原函数得值域为:
注:
由判别式法来判断函数得值域时,若原函数得定义域不就是实数集时,应综合函数得定义域,将扩大得部分剔除。
4、反函数法
直接求函数得值域困难时,可以通过求其原函数得定义域来确定原函数得值域。
例6、求函数值域。
解:
由原函数式可得:
则其反函数为:
其定义域为:
故所求函数得值域为:
5、函数有界性法
直接求函数得值域困难时,可以利用已学过函数得有界性,反客为主来确定函数得值域。
例7、求函数得值域。
解:
由原函数式可得:
∵
∴
解得:
故所求函数得值域为
例8、求函数得值域。
解:
由原函数式可得:
可化为:
即
∵
∴
即
解得:
故函数得值域为
6、函数单调性法
例9、求函数得值域。
解:
令
则在[2,10]上都就是增函数
所以在[2,10]上就是增函数
当x=2时,
当x=10时,
故所求函数得值域为:
例10、求函数得值域。
解:
原函数可化为:
令,显然在上为无上界得增函数
所以,在上也为无上界得增函数
所以当x=1时,有最小值,原函数有最大值
显然,故原函数得值域为
7、换元法
通过简单得换元把一个函数变为简单函数,其题型特征就是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法就是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数得值域中同样发挥作用。
例11、求函数得值域。
解:
令,
则
∵
又,由二次函数得性质可知
当时,
当时,
故函数得值域为
例12、求函数得值域。
解:
因
即
故可令
∴
∵
故所求函数得值域为
例13、求函数得值域。
解:
原函数可变形为:
可令,则有
当时,
当时,
而此时有意义。
故所求函数得值域为
例14、求函数,得值域。
解:
令,则
由
且
可得:
∴当时,,当时,
故所求函数得值域为。
例15、求函数得值域。
解:
由,可得
故可令
∵
当时,
当时,
故所求函数得值域为:
8、数形结合法
其题型就是函数解析式具有明显得某种几何意义,如两点得距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
例16、求函数得值域。
解:
原函数可化简得:
上式可以瞧成数轴上点P(x)到定点A
(2),间得距离之与。
由上图可知,当点P在线段AB上时,
当点P在线段AB得延长线或反向延长线上时,
故所求函数得值域为:
例17、求函数得值域。
解:
原函数可变形为:
上式可瞧成x轴上得点到两定点得距离之与,
由图可知当点P为线段与x轴得交点时,,
故所求函数得值域为
例18、求函数得值域。
解:
将函数变形为:
上式可瞧成定点A(3,2)到点P(x,0)得距离与定点到点得距离之差。
即:
由图可知:
(1)当点P在x轴上且不就是直线AB与x轴得交点时,如点,则构成,根据三角形两边之差小于第三边,有
即:
(2)当点P恰好为直线AB与x轴得交点时,有
综上所述,可知函数得值域为:
注:
由例17,18可知,求两距离之与时,要将函数式变形,使A、B两点在x轴得两侧,而求两距离之差时,则要使A,B两点在x轴得同侧。
如:
例17得A,B两点坐标分别为:
(3,2),,在x轴得同侧;例18得A,B两点坐标分别为(3,2),,在x轴得同侧。
9、不等式法
利用基本不等式,求函数得最值,其题型特征解析式就是与式时要求积为定值,解析式就是积时要求与为定值,不过有时需要用到拆项、添项与两边平方等技巧。
例19、求函数得值域。
解:
原函数变形为:
当且仅当
即当时,等号成立
故原函数得值域为:
例20、求函数得值域。
解:
当且仅当,即当时,等号成立。
由可得:
故原函数得值域为:
10、一一映射法
原理:
因为在定义域上x与y就是一一对应得。
故两个变量中,若知道一个变量范围,就可以求另一个变量范围。
例21、求函数得值域。
解:
∵定义域为
由得
故或
解得
故函数得值域为
11、多种方法综合运用
例22、求函数得值域。
解:
令,则
(1)当时,,当且仅当t=1,即时取等号,所以
(2)当t=0时,y=0。
综上所述,函数得值域为:
注:
先换元,后用不等式法
例23、求函数得值域。
解:
令,则
∴当时,
当时,
此时都存在,故函数得值域为
注:
此题先用换元法,后用配方法,然后再运用得有界性。
总之,在具体求某个函数得值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当得方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法与基本不等式法,然后才考虑用其她各种特殊方法。
●难点磁场
(★★★★★)设m就是实数,记M={m|m>1},f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+)、
(1)证明:
当m∈M时,f(x)对所有实数都有意义;反之,若f(x)对所有实数x都有意义,则m∈M、
(2)当m∈M时,求函数f(x)得最小值、
(3)求证:
对每个m∈M,函数f(x)得最小值都不小于1、
●案例探究
[例1]设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm2,画面得宽与高得比为λ(λ<1),画面得上、下各留8cm得空白,左右各留5cm空白,怎样确定画面得高与宽尺寸,才能使宣传画所用纸张面积最小?
如果要求λ∈[],那么λ为何值时,能使宣传画所用纸张面积最小?
命题意图:
本题主要考查建立函数关系式与求函数最小值问题,同时考查运用所学知识解决实际问题得能力,属★★★★★级题目、
知识依托:
主要依据函数概念、奇偶性与最小值等基础知识、
错解分析:
证明S(λ)在区间[]上得单调性容易出错,其次不易把应用问题转化为函数得最值问题来解决、
技巧与方法:
本题属于应用问题,关键就是建立数学模型,并把问题转化为函数得最值问题来解决、
解:
设画面高为xcm,宽为λxcm,则λx2=4840,设纸张面积为Scm2,则S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,将x=代入上式得:
S=5000+44(8+),当8=,即λ=<1)时S取得最小值、此时高:
x==88cm,宽:
λx=×88=55cm、
如果λ∈[]可设≤λ1<λ2≤,则由S得表达式得:
又≥,故8->0,
∴S(λ1)-S(λ2)<0,∴S(λ)在区间[]内单调递增、
从而对于λ∈[],当λ=时,S(λ)取得最小值、
答:
画面高为88cm,宽为55cm时,所用纸张面积最小、如果要求λ∈[],当λ=时,所用纸张面积最小、
[例2]已知函数f(x)=,x∈[1,+∞
(1)当a=时,求函数f(x)得最小值、
(2)若对任意x∈[1,+∞,f(x)>0恒成立,试求实数a得取值范围、
命题意图:
本题主要考查函数得最小值以及单调性问题,着重于学生得综合分析能力以及运算能力,属★★★★级题目、
知识依托:
本题主要通过求f(x)得最值问题来求a得取值范围,体现了转化得思想与分类讨论得思想、
错解分析:
考生不易考虑把求a得取值范围得问题转化为函数得最值问题来解决、
技巧与方法:
解法一运用转化思想把f(x)>0转化为关于x得二次不等式;解法二运用分类讨论思想解得、
(1)解:
当a=时,f(x)=x++2
∵f(x)在区间[1,+∞上为增函数,
∴f(x)在区间[1,+∞上得最小值为f
(1)=、
(2)解法一:
在区间[1,+∞上,f(x)=>0恒成立x2+2x+a>0恒成立、
设y=x2+2x+a,x∈[1,+∞
∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1递增,
∴当x=1时,ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时,函数f(x)>0恒成立,故a>-3、
解法二:
f(x)=x++2,x∈[1,+∞
当a≥0时,函数f(x)得值恒为正;
当a<0时,函数f(x)递增,故当x=1时,f(x)min=3+a,
当且仅当f(x)min=3+a>0时,函数f(x)>0恒成立,故a>-3、
●歼灭难点训练
一、选择题
1、(★★★★)函数y=x2+(x≤-)得值域就是()
A、(-∞,-B、[-,+∞
C、[,+∞D、(-∞,-]
2、(★★★★)函数y=x+得值域就是()
A、(-∞,1B、(-∞,-1
C、RD、[1,+∞
二、填空题
3、(★★★★★)一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车间距离不得小于2千米,那么这批物资全部运到B市,最快需要_________小时(不计货车得车身长)、
4、(★★★★★)设x1、x2为方程4x2-4mx+m+2=0得两个实根,当m=_________时,x12+x22有最小值_________、
三、解答题
5、(★★★★★)某企业生产一种产品时,固定成本为5000元,而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元,市场对此商品年需求量为500台,销售得收入函数为R(x)=5x-x2(万元)(0≤x≤5),其中x就是产品售出得数量(单位:
百台)
(1)把利润表示为年产量得函数;
(2)年产量多少时,企业所得得利润最大?
(3)年产量多少时,企业才不亏本?
6、(★★★★)已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1]
(1)若f(x)得定义域为(-∞,+∞),求实数a得取值范围;
(2)若f(x)得值域为(-∞,+∞),求实数a得取值范围、
7、(★★★★★)某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台、已知生产家电产品每台所需工时与每台产值如下表:
家电名称
空调器
彩电
冰箱
工时
产值(千元)
4
3
2
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高?
最高产值就是多少?
(以千元为单位)
8、(★★★★)在Rt△ABC中,∠C=90°,以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥,设这两个圆锥得侧面积之积为S1,△ABC得内切圆面积为S2,记=x、
(1)求函数f(x)=得解析式并求f(x)得定义域、
(2)求函数f(x)得最小值、
参考答案
难点磁场
(1)证明:
先将f(x)变形:
f(x)=log3[(x-2m)2+m+],
当m∈M时,m>1,∴(x-m)2+m+>0恒成立,故f(x)得定义域为R、
反之,若f(x)对所有实数x都有意义,则只须x2-4mx+4m2+m+>0,令Δ<0,即16m2-4(4m2+m+)<0,解得m>1,故m∈M、
(2)解析:
设u=x2-4mx+4m2+m+,∵y=log3u就是增函数,∴当u最小时,f(x)最小、而u=(x-2m)2+m+,显然,当x=m时,u取最小值为m+,此时f(2m)=log3(m+)为最小值、
(3)证明:
当m∈M时,m+=(m-1)++1≥3,当且仅当m=2时等号成立、
∴log3(m+)≥log33=1、
歼灭难点训练
一、1、解析:
∵m1=x2在(-∞,-)上就是减函数,m2=在(-∞,-)上就是减函数,
∴y=x2+在x∈(-∞,-)上为减函数,
∴y=x2+(x≤-)得值域为[-,+∞、
答案:
B
2、解析:
令=t(t≥0),则x=、
∵y=+t=-(t-1)2+1≤1
∴值域为(-∞,1、
答案:
A
二、3、解析:
t=+16×2/V=+≥2=8、
答案:
8
4、解析:
由韦达定理知:
x1+x2=m,x1x2=,∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=m2-=(m-)2-,又x1,x2为实根,∴Δ≥0、∴m≤-1或m≥2,y=(m-)2-在区间(-∞,1)上就是减函数,在[2,+∞上就是增函数又抛物线y开口向上且以m=为对称轴、故m=1时,
ymin=、
答案:
-1
三、5、解:
(1)利润y就是指生产数量x得产品售出后得总收入R(x)与其总成本C(x)之差,由题意,当x≤5时,产品能全部售出,当x>5时,只能销售500台,所以
y=
(2)在0≤x≤5时,y=-x2+4、75x-0、5,当x=-=4、75(百台)时,ymax=10、78125(万元),当x>5(百台)时,y<12-0、25×5=10、75(万元),
所以当生产475台时,利润最大、
(3)要使企业不亏本,即要求
解得5≥x≥4、75-≈0、1(百台)或5<x<48(百台)时,即企业年产量在10台到4800台之间时,企业不亏本、
6、解:
(1)依题意(a2-1)x2+(a+1)x+1>0对一切x∈R恒成立,当a2-1≠0时,其充要条件就是,
∴a<-1或a>、又a=-1时,f(x)=0满足题意,a=1时不合题意、故a≤-1或a>为所求、
(2)依题意只要t=(a2-1)x2+(a+1)x+1能取到(0,+∞)上得任何值,则f(x)得值域为R,故有,解得1<a≤,又当a2-1=0即a=1时,t=2x+1符合题意而a=-1时不合题意,∴1≤a≤为所求、
7、解:
设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台,由题意得:
x+y+z=360①
②x>0,y>0,z≥60、③
假定每周总产值为S千元,则S=4x+3y+2z,在限制条件①②③之下,为求目标函数S得最大值,由①②消去z,得y=360-3x、④
将④代入①得:
x+(360-3x)+z=360,∴z=2x⑤
∵z≥60,∴x≥30、⑥
再将④⑤代入S中,得S=4x+3(360-3x)+2·2x,即S=-x+1080、由条件⑥及上式知,当x=30时,产值S最大,最大值为S=-30+1080=1050(千元)、得x=30分别代入④与⑤得y=360-90=270,z=2×30=60、
∴每周应生产空调器30台,彩电270台,冰箱60台,才能使产值最大,最大产值为1050千元、
8、解:
(1)如图所示:
设BC=a,CA=b,AB=c,则斜边AB上得高h=,
∴S1=πah+πbh=,
∴f(x)=①
又
代入①消c,得f(x)=、
在Rt△ABC中,有a=csinA,b=ccosA(0<A<,则
x==sinA+cosA=sin(A+)、∴1<x≤、
(2)f(x)=+6,设t=x-1,则t∈(0,-1),y=2(t+)+6在(0,-1上就是减函数,∴当x=(-1)+1=时,f(x)得最小值为6+8、
圆
一、选择题。
1、(2010南通)如图,⊙O得直径AB=4,点C在⊙O上,∠ABC=30°,则AC得长就是()
A.1B.C.D.2
2、(2010浙江嘉兴)如图,A、B、C就是⊙O上得三点,
已知,则( )
ABCD
3、(2010湖南郴州)如图,就是⊙得直径,为弦,于,则下列结论中不成立得就是()
A. B.C. D.
4、如图,PA、PB就是O得切线,切点分别就是A、B,如果∠P=60°,那么∠AOB等于()
A、60°B、90°C、120°D、150°
5、(2010山东青岛市)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=4cm,以点C为圆心,以2cm得长为半径作圆,则⊙C与AB得位置关系就是().
A.相离B.相切C.相交D.相切或相交
二、填空题。
6、(2010重庆綦江县)如图所示,A、B、C、D就是圆上得点,∠1=68°,∠A=40°.则∠D=_______.
7、(2010黄冈)如图,⊙O中,得度数为320°,则圆周角∠MAN=____________、
8.(2010福建宁德)如图,在直径AB=12得⊙O中,弦CD⊥AB于M,且M就是半径OB得中点,则弦CD得长就是_______(结果保留根号)、
9、(2009年娄底)如图6,已知AB就是⊙O得直径,PB就是⊙O得切线,PA交⊙O于C,AB=3cm,PB=4cm,则BC=、
10、.(2010陕西西安)如图就是一条水平铺设得直径为2米得通水管道横截面,其水面宽为1、6米,则这条管道中此时最深为米。
三、解答题。
11、(2010福建福州)如图,AB就是⊙O得直径,弦CD⊥AB于点E,点P在⊙O上,∠1=∠C.
(1)求证:
CB∥PD;
(2)若BC=3,sinP=
求⊙O得直径.
12、(2010广东中山)如图,PA与⊙O相切于A点,弦AB⊥OP,垂足为C,OP与⊙O相交于D点,已知OA=2,OP=4.
(1)求∠POA得度数;
(2)计算弦AB得长.
13、如图,AB就是⊙O得直径,BD就是⊙O得弦,延长BD到点C,使DC=BD,连结AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E、
(1)求证:
AB=AC;
(2)求证:
DE为⊙O得切线;
(3)若⊙O得半径为5,∠BAC=60°,求DE得长、
14、如图,⊙O得直径AB=6cm,D为⊙O上一点,∠BAD=30°,过点D得切线交AB得延长线于点C。
求:
(1)∠ADC得度数;
(2)AC得长。
15、如图,在得外接圆中,就是弧BC得中点,交于点,连结.
(1)列出图中所有相似三角形;
(2)连结,若在弧BAC上任取一点(点除外),连结交于点,就是否成立?
若成立,给出证明;若不成立,举例说明.
圆知识点总结
圆与三角形、四边形一样都就是研究相关图形中得线、角、周长、面积等知识。
包括性质定理与判定定理及公式。
一集合:
圆:
圆可以瞧作就是到定点得距离等于定长得点得集合;
圆得外部:
可以瞧作就是到定点得距离大于定长得点得集合;
圆得内部:
可以瞧作就是到定点得距离小于定长得点得集合
二轨迹:
1、到定点得距离等于定长得点得轨迹就是:
以定点为圆心,定长为半径得圆;
2、到线段两端点距离相等得点得轨迹就是:
线段得中垂线;
3、到角两边距离相等得点得轨迹就是:
角得平分线;
4、到直线得距离相等得点得轨迹就是:
平行于这条直线且到这条直线得距离等于定长得两条直线;
5、到两条平行线距离相等得点得轨迹就是:
平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等得一条直线
三位置关系:
1点与圆得位置关系:
点在圆内d 点在圆上d=r点B在圆上 点在此圆外d>r点A在圆外 2直线与圆得位置关系: 直线与圆相离d>r无交点 直线与圆相切d=r有一个交点 直线与圆相交d 3圆与圆得位置关系: 外离(图1)无交点d>R+r 外切(图2)有一个交点d=R+r 相交(图3)有两个交点Rr 内切(图4)有一个交点d=Rr 内含(图5)无交点d 四垂径定理: 垂径定理: 垂直于弦得直径平分弦且平分弦所对得弧 推论1: (1)平分弦(不就是直径)得直径垂直于弦,并且平分弦所对得两条弧; (2)弦得垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对得两条弧; (3)平分弦所对得一条弧得直径,垂直平分弦,并且平分弦所对得另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理: 此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB就是直径②AB⊥CD③CE=DE④⑤ 推论2: 圆得两条平行弦所夹得弧相等。 即: 在⊙O中,∵AB∥CD 五圆心角定理 圆心角定理: 同圆或等圆中,相等得圆心角所对得弦相等,所对得弧相等,弦心距相等 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,只要知道其中得1个相等,则可以推出其它得3个结论也即: ①∠AOB=∠DOE②AB=DE③OC=OF④ 六圆周角定理 圆周角定理: 同一条弧所对得圆周角等于它所对得圆心得角得一半 即: ∵∠AOB与∠ACB就是所对得圆心角与圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理得推论: 推论1: 同弧或等弧所对得圆周角相等;同圆或等圆中,相等得圆周角所对得弧就是等弧 即: 在⊙O中,∵∠C、∠D都就是所对得圆周角 ∴∠C=∠D 推论2: 半圆或直径所对得圆周角就是直角;圆周角就是直角所对得弧就是半圆,所对得弦就是直径 即: 在⊙O中,∵AB就是直径或∵∠C=90° ∴∠C=90°∴AB就是直径 推论3: 三角形一边上得中线等于这边得一半,那么这个三角形就是直角三角形 即: 在△ABC中,∵OC=OA=OB ∴△ABC就是直角三角形或∠C=90° 注: 此推论实就是初二年级几何中矩形得推论: 在直角三角形中斜边上得中线等于斜边得一半得逆定理。 七圆内接四边形 圆得内接四边形定理: 圆得内接四边形得对角互补,外角等于它得内对角。 即: 在⊙O中,∵四边形ABCD就是内接四边形 ∴∠C+∠BAD=180°B+∠D=180° ∠DAE=∠C 八切线得性质与判定定理 (1)判定定理: 过半径外端且垂直于半径得直线就是切线 两个条件: 过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即: ∵MN⊥OA且MN过半径OA外端 ∴MN就是⊙O得切线 (2)性质定理: 切线垂直于过切点得半径(如上图) 推论1: 过圆心垂直于切线得直线必过切点 推论2: 过切点垂直于切线得直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理: 即: 过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件 ∵MN就是切线 ∴MN⊥OA 切线长定理: 从圆外一点引圆得两条切线,它们得切线长相等,这点与圆心得连线平分两条切线得夹角。 即: ∵PA、PB就是得两条切线 ∴PA=PB PO平分∠BPA 九圆内正多边形得计
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