二次函数几何定义题.docx
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二次函数几何定义题.docx
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二次函数几何定义题
抛物线的几何定义问题
我们已经知道二次函数的图像是抛物线,一种特别的曲线,其本身还具有这样的性质:
抛物
线上的任意一点到平面中某个定点和某条定直线的距离始终相等•这个点称为抛物线的焦点,这条直线称为抛物线的准线,本文将讨论一些与抛物线的焦点和准线相关的问题.
焦点和准线属于高中内容,高中内容下放也是中考中所常见的.
我们知道,二次函数的图像是抛物线,它也可以这样定义:
若一个动点M(x,y)到定点A(0,卫)
的距离与它到定直线yE的距离相等,则动点M形成的图形就叫抛物线x22py(p0)•
(1)已知动点M(x,y)到定点A(0,4)的距离与到定直线y4的距离相等,请写出动点M
形成的抛物线的解析式.
(2)若点D的坐标是(1,8),在
(1)中求得的抛物线上是否存在点P,使得PAPD最短?
若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
y=-二
A(0,4)
A(0,4)
y=-4
y=-4
备用图
【分析】
(1)由题意得:
MA
2
过点M作MB丄直线y=-4,垂足记为
B点,贝UMB=y
4|y4,
2
两边平方,化简得:
y—.
16
2
故M点形成的抛物线的解析式为y1.
16
y=-4
(2)过P点做PQ丄直线y=-4,贝UPA=PQ,故求PA+PD最短,即求PQ+PD最短.
过点D作直线y=-4的垂线,与抛物线交点即为P点,垂足为Q,此时PQ+PD最短,
PA+PQ=PD+PQ=DQ=8,为最小值,
此时P点坐标为1,丄.
16
(2018•湘潭中考)
如图,点P为抛物线y—x2上一动点.
4
(1)若抛物线y—x2是由抛物线y—(x2)21通过图像平移得到的,请写出平移的过程;
44
(2)若直线I经过y轴上一点N,且平行于x轴,点N的坐标为(0,1),过点P作PMI
于M.
1问题探究:
如图一,在对称轴上是否存在一定点F,使得PMPF恒成立?
若存在,
求出点F的坐标:
若不存在,请说明理由.
2问题解决:
如图二,若点Q的坐标为(1,5),求QPPF的最小值.
【分析】
(1)向右平移2个单位,向上平移1个单位;
(2)①直线I即为抛物线的准线,所求F点为焦点.
考虑特殊位置,当P点在顶点时,可得F点坐标为(0,1)或(0,-1)(舍掉),以下证明P在抛物线任意位置,均满足PF=PM:
12
设P点坐标为m,-m
4
2
2
则
PF.
m02
1
2.
m1
J
12-m1
2m21,
1
4
V
4
4
又
PM
-m21
12
-m1
1
m1,
4
4
4
•••PF=PM,
•••当F点坐标为(0,1)时,PM=PF恒成立.
②由①可得PQ+PF=PQ+PM,
过点Q作QM丄x轴,与x轴交点即为M点,与抛物线交点为P点,
此时PQ+PM=QM=6,故QP+PF的最小值为6.
(2019自贡删减)
如图,已知直线AB与抛物线C:
yax22xc相交于点A(1,0)和点B(2,3)两点.
(1)求抛物线C函数表达式;
(2)在抛物线C的对称轴上是否存在定点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于
17
到直线y—的距离?
若存在,求出定点F的坐标;若不存在,请说明理由.
4
【分析】
(1)函数解析式:
y
x2*
2x3
(2)问题已经很明显了,
17
—是抛物线准线,我们要求的F是焦点.
4
易求抛物线对称轴为直线
x=1,不妨取特殊位置得到结果,再证明.
当点p在抛物线顶点时,
P点坐标为(1,4),此时点P到直线y
171
-的距离为-,
44
故此时点P到点F的距离也为!
,满足条件的F点坐标有1,15
4'
考虑到吧在直线y147上,故需舍去,
F点可能的坐标只有1,15,
4
的距离.
接下来证明,P在抛物线任意位置,均满足PF等于P到直线y
17
设P点坐标为m,n
,过P点作PQ丄直线y17,垂足记为Q点,
4
则PQ=n17,又
4
PF
15
4
•••点P在抛物线上,
2m
2
15
4
2
15
4nn—
4
2
17
n—
4
17
4
即PF=PQ,
所以当F点坐标为
1罟时,点P在抛物线任意位置,均满足
PF等于P到直线
17
y一的距离.
(2018•宜宾删减)
在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1),如图,直线
1
y-x与抛物线交于A、B两点,直线I为y1.
4
(1)求抛物线的解析式;
(2)知Fxo,yo为平面内一定点,M(m,n)为抛物线上一动点,且点M到直线I的距离与
点M到点F的距离总是相等,求定点F的坐标.
【分析】
(1)抛物线:
y丄x22;
4
(2)不难猜测直线I是抛物线的准线,所求F点为抛物线焦点.
当M点在顶点位置时,M点到直线I的距离为1,故此时F点应为(2,1).
下证明M在抛物线任意位置,均有点M到直线I的距离与点M到点F的距离相等.
证明同上题,设点坐标表示出这两个距离,即可得相等.
自行证明.
(2018张家界)
如图,已知二次函数yax21(a0,a为实数)的图像过点A2,2),一次函数
ykxb(k0,k、b为实数)的图像I经过点B(0,2).
(1)求a值并写出二次函数表达式;
(2)求b值;
(3)设直线I与二次函数图像交于M,N两点,过M作MC垂直x轴于点C,试证明:
MBMC;
(4)在(3)的条件下,请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系,并说明理由.
C
则MB=
2
0
化简得MB
12
-m
4
2
1
12m
4
12—
12彳
-m10
-m1
4
4
又MC
一m21,
4
•••MB=MC.
(4)相切
过点N作ND丄x轴交x轴于点D,由(3)可得NB=ND,取MN中点P,过点P作PQ丄x轴于点Q,
111
则PQ-DNCM-BNBM-MN,
222
1
若以MN为直径作圆,则P点为圆心,又PQ-MN,
2
•••以MN为直径的圆与x轴相切.
112
C1)a一,二次函数表达式:
y—X1;
44
(2)b=2;
(3)由问题可推测B点即抛物线焦点,x轴是抛物线准线.
12
设M点坐标为m,—m1,
4
2
1:
m12
4
(2015•永州)
1
已知抛物线yax2bxc的顶点为(1,0),与y轴的交点坐标为0,--R(1,1)是
抛物线对称轴I上的一点.
(1)求抛物线yax2bxc的解析式;
(2)若P是抛物线上的一个动点(如图一),求证:
点P到R的距离与点P到直线y1的距离恒相等;
(3)设直线PR与抛物线的另一交点为Q,E为线段PQ的中点,过点P、E、Q分别作直线y1的垂线.垂足分别为M、F、N(如图二).求证:
PFQF.
x=1
x=1
*y
图1
(1)解析式:
(2)这个证明跟前面一样一样的,表示出两个距离,就能得到相等了.
设P点坐标为
m,lm12
2
2
1
2
12
则PR
Jm1
m1
1
-m11,
V
4
4
12
1
2
PM
-m1
1
-m
1
1,
4
4
•••PR=PM.
(3)这个问题呢,我们换个说法:
如图,在直角梯形
ABCD中,AD//BC,/A=90。
,且CD=AD+BC,E点为AB边
中点,连接EC、ED,求证:
EC丄ED.
C
考虑到E点为AB边中点,倍长中线.延长DE与CB的延长线交于点F,
易证△AEDBEF,•AD=BF,
•CF=CB+BF=CB+AD=CD,易证△CED心CEF(SSS),
•••/CED=90°,•CE丄DE.
对于本题,就同理可证PF丄QF了吧.
l于R,CS
于S,连接FR、
(2015•资阳删减)
已知直线ykxb(k0)过点F(0,1),与抛物线ylx2相交于B、C两点.
4
(1)如图1,当点C的横坐标为1时,求直线BC的解析式;
(2)如图2,设B(m,n)(m<0),过点E(0,-1)的直线I//x轴,BR
(1)由题意得点C坐标为1,1,故直线BC解析式为
4
(2)△RFS是直角三角形.
不妨把问题单独拿出来看:
E是CD边一点且满足DA=DE,
如图,在直角梯形ABCD中,AD//BC,/A=90
CB=CE,连接
AE、BE,求证:
AE丄BE.
180,
•/DA=DE
•/CB=CE
AEB
DEA
90
2,
CEB
90
1
2
1
1
1
90
90-
90
1
180
2
2
2
•••AE丄BE.
类似可证明本题中的△
RFS是直角三角形.
21
已知抛物线yax1-经过点A(0,1),AB//x轴交抛物线于B,M为线段AB的中
2
点,点P为抛物线上任意一点,点P的纵坐标为n.
(1)直接写出a;线段PM的长为.(用n的代数式表示)
(2)P不为抛物线的顶点.
如图1,作PN丄x轴于N,C为x轴上一点,当△MPNABC时,求n的值;
如图2,延长PM交抛物线于Q,请证明:
—
1
QM
x
(1)a—,线段PM的长=n;
2
虽然题目并没有说M点是什么,但根据图中所画,大胆猜测:
以下检验PM=PN是否恒成立:
—21
设P点坐标为m,—m1-,又M点坐标为(1,1),
22
•2
1
1
…PM,m1
—
m1
V
2
2
12
又PN=1m1
1
2
2
•••对于抛物线上的任意点
P均满足
所以PM的长=PN=n.
PM=PN,猜想成立.
f2
1
1
1
1
1
一m1
一
m1
—
V2
2
2
2
(2)对于△PMN来说,PM=PN,即△PMN是等腰三角形,
若厶MPNABC,则△ABC必须是等腰三角形,且AB=BC.
考虑到AB=2,且点C在x轴上,不难求得
C点坐标为23,0或23,0,
F右图不是很准,意思是这个意思.
当C点坐标为23,0时,/ABC=150°,•••/MPN=15C°,
•••直线PM与x轴夹角为60°,即kPM矗,
可得直线PM解析式为y•3x-31,
与抛物线联立方程:
丄x1213x11,
22
解得:
X131,x233,
将x,31代入直线解析式可得P点纵坐标为423,
故n的值为423.
当C点坐标为2.3,0,/ABC=30°,则/MPN=30
•••/PMN=/PNM=75
•••/PMA=60
可得直线PM解析式为
与抛物线联立方程:
解得P点纵坐标为
2.3+4,n的值为23+4.
x
(3)分别过P、M、Q作x轴的垂线,垂足分别记为
qE2
G,
易证△EDMECF,
MD
FC
ED
EC
易证△CDMCEG,
MD
GE
CD
CE
综上,n的值为4
C、D、
PC
连接EM并延长与CP延长线交于点F,连接CM并延长与EQ延长线交于点
易证△MPFMQE,可设PF=PM=PC=a,•CF=2a,
易证△MQGMPC,可设QG=QM=QE=b,•EG=2b,
MD
MD
ED
CD彳
1,
2a
2b
EC
CE
11
亦1
1
2,
即-
2
ab
PM
QM
【补充】一般地,
112
PCQEMD
【总结】结论1:
对于抛物线yax2,焦点坐标为0,丄,准线为直线y—.
4a4a
看前面的例子,不难发现,焦点一般会用字母F表示•而且二次项系数很多时候是1,只是
4为了焦点坐标便于计算.
2
至于形如yax2bxc的抛物线可化为顶点式yaxhk,然后通过由yax2平移
来确定焦点和准线.
结论2:
如下图,
证明:
设NPF
1
1
PFNQFM
90-
90-
90,
2
2
FM丄FN.
结论3:
取PQ中点E,作EH丄x轴交x轴于H点,贝UPH丄QH.
证明:
倍长中线证两次全等.
结论4:
记MN与y轴交于点G,则
1
1
2
2
14,即
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- 二次 函数 几何 定义