同济大学第六版高等数学上册课后答案全集.docx
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同济大学第六版高等数学上册课后答案全集
高等数学第六版上册课后习题答案
第一章
习题1-1
1.设A=(-∞,-5)∪(5,+∞),B=[-10,3),写出A∪B,A∩B,AB及A\(AB)的表达式.
解A∪B=(-∞,3)∪(5,+∞),
A∩B=[-10,-5),
AB=(-∞,-10)∪(5,+∞),
A\(AB)=[-10,-5).
2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律:
(A∩B)C=AC∪BC.
证明因为
x∈(A∩B)C?
x?
A∩B?
x?
A或x?
B?
x∈AC或x∈BC?
x∈AC∪BC,
所以(A∩B)C=AC∪BC.
3.设映射f:
X→Y,A?
X,B?
X.证明
(1)f(A∪B)=f(A)∪f(B);
(2)f(A∩B)?
f(A)∩f(B).
证明因为
y∈f(A∪B)?
?
x∈A∪B,使f(x)=y
?
(因为x∈A或x∈B)y∈f(A)或y∈f(B)
?
y∈f(A)∪f(B),
所以f(A∪B)=f(A)∪f(B).
(2)因为
y∈f(A∩B)?
?
x∈A∩B,使f(x)=y?
(因为x∈A且x∈B)y∈f(A)且y∈f(B)?
y∈f(A)∩f(B),
所以f(A∩B)?
f(A)∩f(B).
4.设映射f:
X→Y,若存在一个映射g:
Y→X,使gοf=IX,f
g
ο=IY,其中IX、
IY分别是X、Y上的恒等映射,即对于每一个x∈X,有IXx=x;对于每一个y∈Y,有IYy=y.证明:
f是双射,且g是f的逆映射:
g=f-1.
证明因为对于任意的y∈Y,有x=g(y)∈X,且f(x)=f[g(y)]=Iyy=y,即Y中任意元
素都是X中某元素的像,所以f为X到Y的满射.
又因为对于任意的x1≠x2,必有f(x1)≠f(x2),否则若f(x1)=f(x2)?
g[f(x1)]=g[f(x2)]
?
x1=x2.
因此f既是单射,又是满射,即f是双射.
对于映射g:
Y→X,因为对每个y∈Y,有g(y)=x∈X,且满足f(x)=f[g(y)]=Iyy=y,按逆映射的定义,g是f的逆映射.
5.设映射f:
X→Y,A?
X.证明:
(1)f-1(f(A))?
A;
(2)当f是单射时,有f-1(f(A))=A.
证明
(1)因为x∈A?
f(x)=y∈f(A)?
f-1(y)=x∈f-1(f(A)),
所以f-1(f(A))?
A.
(2)由
(1)知f-1(f(A))?
A.
另一方面,对于任意的x∈f-1(f(A))?
存在y∈f(A),使f-1(y)=x?
f(x)=y.因为y∈f(A)且f是单射,所以x∈A.这就证明了f-1(f(A))?
A.因此f-1(f(A))=A.
求下列函数的自然定义域:
(1)y=3x+2;
解由3x+2≥0得x>-
2
.函数的定义域为
3
[-
2
+∞).
(2)y
1
=1-x2
;
解由1-x2≠0得x≠±1.函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞).
(3)y
1
-
=x
1-x2;
解由x≠0且1-x2≥0得函数的定义域D=[-1,0)∪(0,1].
(4)y=
1
4-x2
;
解由4-x2>0得|x|<2.函数的定义域为(-2,2).
(5)=sinx;
y
解由x≥0得函数的定义D=[0,+∞).
y=tan(x+1);
解由
x+1≠π(k=0,±1,±2,?
?
?
)得函数的定义域为≠+-1(k=0,±1,±2,?
?
2
π
π
k
x
?
).
(6)y=arcsin(x-3);
解由|x-3|≤1得函数的定义域D=[2,4].
(8)y=3-x+arcta
1
;
nx
解由3-x≥0且x≠0得函数的定义域D=(-∞,0)∪(0,3).
(9)y=ln(x+1);
解由x+1>0得函数的定义域D=(-1,+∞).
1
(10)y=ex.
解由x≠0得函数的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞).
6.下列各题中,函数f(x)和g(x)是否相同?
为什么?
(1)f(x)=lgx2,g(x)=2lgx;
(2)f(x)=x,g(x)=x2;
(3)f(x)=
3
x4-x3,g(x)=x3x-1.
(4)f(x)=1,g(x)=sec2x-tan2x.
解
(1)不同.因为定义域不同.
(2)不同.因为对应法则不同,x<0时,g(x)=-x.(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.
?
sin
|
)=?
?
7.设?
(x
?
?
0
x||x|<3
π
π
π
4
|x|≥3
求?
(6),?
(),?
(-),?
(-2),并作出函数y=?
(x)
π
4
π
的图形.
解?
(6)=|sin6|
π
π
=2?
(4
1
π)=|sinπ|=
4
2
2
?
(-π)=|sin(-π)|=
4
4
2
2
?
(-
=0.
试证下列函数在指定区间内的单调性:
(1)y=
x
1-x
(-∞,1);
(2)y=x+lnx,(0,+∞).
证明
(1)对于任意的x1,x2∈(-∞,1),有1-x1>0,1-x2>0.因为当x1 所以函数y= y1-y2= x 1-x x1x2x1-x2 - 1-x2=(1-x1)(1-x2) <0, 1-x1 在区间(-∞,1)内是单调增加的. (2)对于任意的x1,x2∈(0,+∞),当x1 y1-y2=(x1+lnx1)-(x+lnx2)=(x1-x2)+ln 2 x1 x2 <0, 所以函数y=x+lnx在区间(0,+∞)内是单调增加的. 8.设f(x)为定义在(-l,l)内的奇函数,若f(x)在(0,l)内单调增加,证明f(x)在(-l,0)内也单调增加. 证明对于? x1,x2∈(-l,0)且x1 因为f(x)在(0,l)内单调增加且为奇函数,所以 f(-x2) 这就证明了对于? x1,x2∈(-l,0),有f(x1) 11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l,l)上的,证明: (1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数; (2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数. 证明 (1)设F(x)=f(x)+g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数,则 F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x), 所以F(x)为偶函数,即两个偶函数的和是偶函数. 如果f(x)和g(x)都是奇函数,则 F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x), 所以F(x)为奇函数,即两个奇函数的和是奇函数. (2)设F(x)=f(x)? g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数,则 F(-x)=f(-x)? g(-x)=f(x)? g(x)=F(x), 所以F(x)为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数. 如果f(x)和g(x)都是奇函数,则 F(-x)=f(-x)? g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)? g(x)=F(x), 所以F(x)为偶函数,即两个奇函数的积是偶函数. 如果f(x)是偶函数,而g(x)是奇函数,则 F(-x)=f(-x)? g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)? g(x)=-F(x), 所以F(x)为奇函数,即偶函数与奇函数的积是奇函数. 12.下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非奇函数又非偶函数? (1)y=x2(1-x2); (2)y=3x2-x3; (3)y 1- =1+ x2 x2 ; (4)y=x(x-1)(x+1);(5)y=sinx-cosx+1; (6)y= ax+a- 2 x . 解 (1)因为f(-x)=(-x)2[1-(-x)2]=x2(1-x2)=f(x),所以f(x)是偶函数. (2)由f(-x)=3(-x)2-(-x)3=3x2+x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数. 1-(-x)21-x2 (3)因为f(-x)= 1+(-x)2 = 1+x2 =f(x),所以f(x)是偶函数. (4)因为f(-x)=(-x)(-x-1)(-x+1)=-x(x+1)(x-1)=-f(x),所以f(x)是奇函数. (5)由f(-x)=sin(-x)-cos(-x)+1=-sinx-cosx+1可见f(x)既非奇函数又非偶函数. (-x)-(-x)-xx a a a a + + (6)因为f(-x)===f(x),所以f(x)是偶函数. 2 2 13.下列各函数中哪些是周期函数? 对于周期函数,指出其周期: (1)y=cos(x-2); 解是周期函数,周期为l=2π. (2)y=cos4x; 解是周期函数,周期为l (3)y=1+sinπx; =π. 解是周期函数,周期为l=2. (4)y=xcosx; 解不是周期函数. (5)y=sin2x. 解是周期函数,周期为l=π. 14.求下列函数的反函数: y=3x+1; 解由y=3x+1得x=y3-1,所以y=3x+1的反函数为y=x3-1. 1-x; (1)y= 解由y= 1+x 1-x1-y1-x1-x. 得x= 的反函数为y= 1+x+x1+x 1+y,所以y=1 (2)y 解由y ax+b(ad-bc≠0); =cx+d ax+b得x=-dy+bax+b-dx+b. =cx+dcy-a 所以y =cx+d 的反函数为y= cx-a (4)y=2sin3x; 解由y=2sin3x得x=3arcsi 1 n2 y 所以y=2sin3x的反函数为y=1arcsix. 3n2 (5)y=1+ln(x+2); 解由y=1+ln(x+2)得x=ey-1-2,所以y=1+ln(x+2)的反函数为y=ex-1-2. (6) 2x y=2x+1. 解由 2x =1 log2 2x y y=2x+1得x-y,所以y=2x+1的反函数为 y=log x 21- x. 15.设函数f(x)在数集X上有定义,试证: 函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界. 证明先证必要性.设函数f(x)在X上有界,则存在正数M,使|f(x)|≤M,即 -M≤f(x)≤M.这就证明了f(x)在X上有下界-M和上界M. 再证充分性.设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2,即K1≤f(x)≤K2.取 M=max{|K1|,|K2|},则-M≤K1≤f(x)≤K2≤M, 即|f(x)|≤M. 这就证明了f(x)在X上有界. 在下列各题中,求由所给函数复合而成的函数,并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值: (1)y=u2,u=sinx,x1= π, 6 x2= π; 解y=sin2x,y1=sin2 π 6= (2)2 1 1 =4 y2=sin2π=( 3 2 )2 2 3 . =4 (2)y=sinu,u=2x,x1= π, 8 x2= π; 解y=sin2x, y1=sin(2? 8)=sinπ π 4= 2 2 y=sin(2? )=sin=1. 2 4 2 π π (3)y=u,u=1+x2,x1=1,x2=2; 解y=1+x2,y2,y5. 1 12 + = 2 12 2= + = 1= (4)y=eu,u=x2,x1=0,x2=1; 解y=ex2,y=e=1,y=e=e. 2 0 1 2 1 2 (5)y=u2,u=ex,x1=1,x2=-1. 解y=e2x,y1=e2? 1=e2,y2=e2? (-1)=e-2. 16.设f(x)的定义域D=[0,1],求下列各函数的定义域: (1)f(x2); 解由0≤x2≤1得|x|≤1,所以函数f(x2)的定义域为[-1,1]. (2)f(sinx); 解由0≤sinx≤1得2nπ≤x≤(2n+1)π(n=0,±1,±2? ? ? ),所以函数f(sinx)的定义域 为 [2nπ,(2n+1)π](n=0,±1,±2? ? ? ). (3)f(x+a)(a>0); 解由0≤x+a≤1得-a≤x≤1-a,所以函数f(x+a)的定义域为[-a,1-a]. (4)f(x+a)+f(x-a)(a>0). ≤1时,a≤x≤1-a;当a>1时,无解.因此 解由0≤x+a≤1且0≤x-a≤1得:
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