概率论与数理统计常见问题解答.docx

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概率论与数理统计常见问题解答概率论与数理统计常见问题解答概率论与数理统计常见问题解答1.概率论研究的对象是什么？

现实生活中有两类现象。

必然现象：

一定条件下，结果是肯定的。

如：

一定大气压下，水加温到100：

沸腾随机现象：

一定条件下，结果不肯定的。

如：

实弹射击，打一发子弹：

可能中或不中概率论是研究随机现象规律性的一门学科。

2.随机现象有规律性吗？

有。

例如：

两人打枪。

甲是神枪手，乙是普通射手。

如果打一发子弹，甲可能打中也可能打不中，乙也可能打中也可能打不中，看不出什么规律。

如果两人比赛，各打10组，每组100发子弹，结果是：

12345678910甲979598921009692949196乙50524756455444434847我们可以看出规律性：

甲可说几乎每发必中，乙只有大约一半的可能性打中。

这种规律性称为统计规律性。

在大量试验中才显示出来，不是个别试验显示的特性。

3.随机现象的规律性如何指导实践？

例如：

农业生产上选择品种，如果当地发生旱灾的可能性大，水灾的可能性小，就应选择耐旱的品种，反之则应选择耐涝的品种。

在统计学中，以“小概率事件”判断原理来进行假设检验，例如：

厂方声称，产品的废品率为5%，随机检查，发现“5个产品有2个次品”。

这时，应当拒绝“废品率为5%”。

为什么？

因为“5个产品有2个次品”是小概率事件（用概率的方法可计算），在一次试验中一般不可能发生，现在居然发生了，应怀疑原假设。

可能性小的事并不等于不发生例如：

地震。

某地某日发生大地震的可能性是非常小的，但就整个地球来说，一年总要发生几次大地震。

例1：

甲、乙两位棋手棋艺相当。

他们在一项奖金为1000元的比赛相遇。

比赛为五局三胜制。

已经进行了三局的比赛，结果为甲二胜一负。

现因故要停止比赛，问应该如何分配这1000元比赛奖金才算公平？

奖金分配方法：

平均分，对甲欠公平，按一定的比例分配，甲拿大头，乙拿小头，甲拿2/3，乙拿1/3，合理吗？

例2：

在第43届世界乒乓球锦标赛中，中国队与瑞典队争夺冠亚军，当时瑞典队上场队员只有瓦尔德内尔、佩尔松和卡尔松，其中卡尔松怕削球手，于是中国队排出了以下阵容：

王涛马文革丁松马文革王涛决策时已经估计到瑞典队有两种可能的选择：

或以卡尔松打第三单打去碰削球手丁松或以佩尔森打第三单打，以便卡尔松避开丁松最后，中国队战胜瑞典队（3：

2），夺回了阔别六年之久的斯韦思林杯。

请根据下面两种数据，计算中国队获胜的概率。

第一种瑞典瓦佩卡瓦佩中国王马丁马王瑞典获胜的概率0.550.450.400.550.45第二种瑞典瓦卡佩瓦卡中国王马丁马王瑞典获胜的概率0.550.40.50.550.404.什么是随机事件？

随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。

应该注意的是，事件的结果是相应于一定条件而言的。

因此，要弄清某一随机事件，就必须明确何为事件发生的条件，何为在此条件下产生的结果。

例如，某人作试验向上抛掷一枚质地均匀的硬币,质地均匀的硬币是条件，在此条件下，硬币落地时正面向上（或反面向上）则是结果；例如，某气象台每天中午观察风速，则时间、地点是条件，观察到的风速是结果。

5.如何理解随机试验这一概念？

凡是对现象的观察或为此而进行的实验，都称之为试验。

一个试验如果满足下述条件，则被称之为随机试验：

（1）试验可以在相同的情形下重复进行；

（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。

例如，从盛有3个排球、2个足球的筐子里任取一球就是一次随机试验，取出的是排球则是试验的结果。

6.频率与概率之间有何关系？

随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，当试验次数很多时，它具有一定的稳定性，即稳定在某一常数附近，而偏离的它可能性很小。

为了说明这种规律，我们把这个常数称为这个随机事件的概率。

它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，而频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率。

例如，一根棒在一定条件下具有长度这一特性，而我们通常用某次测量的结果作为其长度。

7.如何理解“互斥问题”互斥事件是对两个事件而言的。

若有A、B两个事件，当事件A发生时事件B就不发生；当事件B发生时事件A就不发生（也就是说，事件A、B不可能同时发生），我们就把这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也有人把它们叫做不相容事件。

8.互斥与等可能的区别是什么？

互斥事件和等可能事件是迥然不同的两个概念。

在一次试验中，由于某种对称性条件使得若干个随机事件中每一事件发生的可能性是完全相同的，则称这些事件为等可能事件。

在数目上它可为2个或多个。

而互斥事件仅指不可能同时发生的两个事件。

例如：

掷一个均匀骰子，出现1或2与出现2或3这两个事件是等可能的，但它们不是互斥事件。

9.互斥和对立的关系如何？

互斥事件和对立事件都是就两个事件而言的。

互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件。

因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说,互斥是对立的必要但不充分的条件。

例如：

出现1点和出现2点是互斥的，但不是对立的，因为有可能1点和2点都不出现。

又如：

掷一个硬币，出现正面和出现反面是对立的。

应用公式P（A+B）=P（A）+P（B）解决问题时，首先要注意前提：

A、B两事件必须互斥。

因为一般地，P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）10.如何灵活运用公式？

求某个事件的概率时，常遇到求“至少.”或“至多.”等事件概率的问题。

若从正面考察这些事件，它们往往是诸多事件的和或积，求解时很繁琐。

但“至少.”、“至多.”这些事件的对立事件往往比较简单，且其概率也很容易求出。

此时，不妨来一个逆向思考，先求其对立事件的概率，然后再求原来事件的概率。

这就需要运用公式了。

11.如何理解“独立事件”？

在实际生活中，我们常常注意到事件之间的联系。

例如：

“昨天晚上没休息好”和“今天考试成绩差”是有联系的。

虽然没休息好不一定导致成绩不好，但增大了成绩不好的可能性。

又如：

“某人买彩票没中奖”和“某人听见乌鸦叫”这两个事件，可以认为是互不相关的，因为某人是否听见乌鸦叫，并不影响他中奖的可能性。

“两个事件互不影响”抽象为数学模型，就得到“独立事件”的数学概念，但我们还要注意两者之间的差别。

前一句话，是日常生活用语，是不准确的，如果用它来代替“独立事件”的概念，就会产生错误。

例如：

“广州下雨”和“北京在同一天下雨”这两个事件，一般均看作独立的。

又如掷一个均匀的骰子，“出现偶数点”和“出现1或2”这两个事件是互相独立的，但如果骰子不是均匀的，那么这两个事件就不一定互相独立的。

所以，判定两个事件是否相互独立，一定要按定义，即根据条件是否成立来决定。

有一个例子，说明A、B、C三个事件中任意两个事件互相独立，但它们总体并不相互独立。

例：

同时抛掷两个均匀的硬币A=第一个硬币出现正面B=第二个硬币出现反面C=两个硬币同时出现正面，或同时出现反面，则，但，可见A、B、C两两互相独立，但三个事件总体并不互相独立。

这个例子正确说明，我们对“两个事件互不影响”的直观概念和“全体相互独立事件”的数学概念是有一定差别的。

12.“互斥”与“相互独立”的有什么区别？

“互斥事件”与“相互独立事件”是两个不同的概念，二者不能混淆。

两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。

它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同的。

若A、B互斥，且，则它们不可能互相独立，因为A发生的条件下，B不可能发生，即，所以A、B不是互相独立。

教你一招应用公式解决实际问题时，首先要注意公式应用的前提：

这n个事件是相互独立的.13.如何认识独立重复试验？

进行一系列试验，在每次试验中事件A或者发生、或者不发生。

假设每次试验的结果与其它各次试验的结果无关，即事件A的概率P（A）在整个系列试验中保持不变，这样的一系列试验叫独立重复试验。

重复是指在多次试验中，每次P（A）=p保持不变.独立是指每次试验的结果互不影响，若以Ci记为第i次试验的结果A或（i=1,2,.,n）,则独立指14.如何正确看待小概率事件？

小概率事件是指发生的概率很小（比如小于1%，当然，对不同的实际问题有不同的要求）的事件。

对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均要做很多次才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。

不过应注意两点：

一是这里的几乎不可能发生，是针对一次试验来说的，因为如果一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小，但只要实验次数很多，而且试验是独立进行的，则这一事件的发生几乎是肯定的；二是当我们运用小概率事件几乎不可能发生的原理进行推断时，也有犯错误的可能。

15.摸球游戏中谁是真正的赢家在街头巷尾常见一类“摸球游戏”游戏是这样的：

一袋中装有16个大小、形状相同，光滑程度一致的玻璃球其中8个红色、8个白色游戏者从中一次摸出8个，8个球中当红白两种颜色出现以下比数时摸球者可得到相应的“奖励”或“处罚”：

ABCDE结果（比数）8:

07:

16:

25:

34:

4奖金（元）1010.50.2-2注：

表中“-2”表示受罚2元此游戏（实为赌博），从表面上看非常有吸引力，5种可能出现的结果,有4种可得奖,且最高奖达10元,而只有一种情况受罚,罚金只是2元因此就吸引了许多人特别是好奇的青少年参加,结果却是受罚的多，何以如此呢？

其实,这就是概率知识的具体应用：

现在是从16个球中任取8个,所有可能的取法为种,即基本事件总数有限,又因为是任意抽取,保证了等可能性,是典型的古典概型问题由古典概率计算公式,很容易得到上述5种结果其对应的概率分别是：

假设进行了1000次摸球试验，5种情况平均出现的次数分别为：

0、10、122、487、381次，经营游戏者预期可得1001100.51220.2487-2381=593.6（元）这个例子的结论可能会使我们大吃一惊，然而正是在这一惊之中获得了对古典概率更具体、更生动的知识16.如何理解随机变量？

研究随机现象时，我们通常只关心结果的某些数量方面。

例如，掷一个骰子，我们只关心向上一面的点数，而不关心骰子落在哪里。

在随机试验中，如果一个变量随着试验结果的不同而取不同的值，它就是随机变量，也可以说，随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数。

17.随机变量与普通函数有什么区别？

随机变量的定义域是样本空间，也就是说，当一个随机试验的结果确定时，随机变量的值也确定下来。

因此，如不与某次试验联系，就不能确定随机变量的值。

所谓随机变量，实际上是用变量对试验结果的一种刻画，是试验结果（即样本点）和实数之间的一个对应关系，不过在函数概念中，函数f（x）的自变量是实数x，而在随机变量的概念中，随机变量的自变量是试验结果（即样本点）。

随机变量的取值随试验结果而定。

18.离散与连续随机变量有什么区别离散型随机变量和连续型随机变量都是用来刻画随机试验所出现的结果的，但二者之间又有着重要的区别：

对于离散型随机变量而言，它所可能取的值为有限个或至多可列个；而连续型随机变量的取值则不然。

19.如何理解随机变量的函数？

一般地，若是随机变量，f（x）是x的函数，则f（）也是随机变量。

也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量。

20.如何理解“二项分布”？

二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位。

二项分布实际上是对n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率的阐述，或者说，当随机变量是n次独立重复试验中某事件恰好发生的次数时，其概率分布称作二项分布。

这里之所以把这种分布称作二项分布，是因为恰是二项展开式中的第k+1项的值。

21.二项分布的数学期望有什么特点？

设在一次试验中某事件发生的概率是p，是一次试验中此事件发生的次数，令q=1-p则P（=0）=q，P（=1）=p,从而E=0q+1p=p由此可知，在一次试验中该事件平均发生p次。

我们有理由猜想，在n次独立重复试验中，该事件平均发生np次，即若B（n,p），则E=np，这就是的二项分布的期望的特点。

21.如何理解方差、标准差的意义？

随机变量方差的意义在于描述随机变量稳定与波动、集中与分散的状况。

标准差则体现随机变量取值与其期望值的偏差。

标准差是方差的平方根，在量纲上它与数学期望一致。

在实际问题中，若有两个随机变量1、2，且E1=E2或E1与E2比较接近时，我们常用D1与D2来比较这两个随机变量。

差值大的，则表明该随机变量的取值较为离散，反之则表明它较为集中。

同样，标准差的值较大，则表明该随机变量的取值与其期望值的偏差较大，反之，则表明此偏差较小。

22.为什么要了解数学期望？

现在社会上正流行各种彩票、奖卷等，那么对购买者和销售者最关心的是什么？

其实就是数学期望，这时数学期望可以被购买者视为平均获利，让我们来观察一个最简单例子：

例：

张三对李四说：

让我们打一个赌，如果你赢了，你得100元，如果我赢了，你付1元，请问李四会参加吗？

如果你是李四的话，你如果回答参加，那么未免操之过急了。

为什么？

其实你已经在思考这是一个什么样的赌局，换而言之，李四的获利期望是多少呢？

假设一，李四获利的概率为0，张三获胜的概率为1，则期望为100*0+

（1）*1=1（元）李四定付出1元。

这时即使李四获胜后得利1万元，甚至1百万，1亿。

期望仍为1，为什么，因为李四获胜概率为0。

假设二，李四获胜的概率为0.0001，张三获胜的概率为0.9999，则期望为1000.0001

（1）0.99990.9899（元）这时李四仍不应该参加。

而此时若获胜后得1万元，失利后付出1元。

则期望为100000.0001

（1）0.99990.0001（元）这时李四才建议参加。

但请你注意，这一期望值是在你多次参与（如赌局超过10万，甚至100万局）的一个活期望值，并不是说李四赌了23局就获利0.0001元，为什么？

因为李四获胜概率为0.0001（即万分之一），而23局中。

李四获胜一局的概率才约为0.0003，为什么？

因为。

上面的这个例子虽然简单，但很生动，对理解数学期望有很大的帮助，请同学们仔细体会。

以后当你在社会上碰到一些人推销、热买等所谓的“好事”时，请你多想想数学期望和概率。

23.为什么要学习数字特征？

本章的内容似乎数学味有些浓，其实只是计算定义稍多一些而已。

而学习的关键在于理解为什么要定义这些数字特征（如期望，方差，矩等）。

例如，当我们聊起一些人的特征时，你会说：

张三很好认，他的下巴偏左有一颗痣。

这时一颗痣就是这个人的形象特征。

有了这个特征，你很快就会认出张三了（不是吗？

），如鲁迅名著中的圆规，神话小说的二郎神（三只眼），在你的脑海中立即会有一个所对应的活生生的人。

所以数字特征并不可怕，它是我们采率统计方法的好帮手。

故而，当有一个人问你：

你们班的同学身高怎样？

时，你的一种回答方式是：

我们班上张三身高，李四身高，王五身高，如果你们班有100人，你可能要照此回答15-20分钟，真像给皇帝的奏折，翻了一页又一页，你可能觉得烦了。

对的，这就是因为你没有用好数字特征。

如果你采用另一种回答方式：

我们班上大概是1米7几吧，这个回答多么简洁形象。

你的回答采用了数学期望（平均值）的思想了。

事实上，你们班上可能有人1.83米，可能有人1.52米，有高有矮。

实际上，在现实生活中，我们经常会采用第2种方式回答。

它事实上是将班上的人的身高求和再除以100，所求得的平均值，而这个现象用数学语言来说，就是每个同学身高的表现概率是相等的，即百分之一，则数学期望为这时你如果回答中的1米7几就是上式计算的结果，也就是数字特征中的一个，那么它就是这个班同学身高的数学期望。

你说数字特征难学吗？

当然，如果提问者提出你们班上的同学身高请一一报告时，你就不得不采用第一种回答方式了。

24.为什么要学习中心极限定理?

本章的学习内容是人们长期以来关心的问题的问题，也就是当您多问几个为什么后的结果例如，广东省的高考成绩是采取标准分制的，这样使得招生录取工作每年可控制在相对稳定的范围内进行，那么您或者会问：

为什么可采取标准分制？

标准分如何产生?

，如果我告诉您：

我们假设全省的考生成绩服从正态分布，从而换算出每个人的标准分，那您可能马上接着问：

为什么考生成绩服从正态分布？

这其实就是中心极限定理所需要告诉大家的事实请您先看一看中心极限定理这一节，好吗？

25.如何理解方差、标准差的意义？

随机变量方差的意义在于描述随机变量稳定与波动、集中与分散的状况。

标准差则体现随机变量取值与其期望值的偏差。

标准差是方差的平方根，在量纲上它与数学期望一致。

在实际问题中，若有两个随机变量1、2，且E1=E2或E1与E2比较接近时，我们常用D1与D2来比较这两个随机变量。

差值大的，则表明该随机变量的取值较为离散，反之则表明它较为集中。

同样，标准差的值较大，则表明该随机变量的取值与其期望值的偏差较大，反之，则表明此偏差较小。

26.拥挤的水房（德莫弗拉普拉斯定理的例子）某校有学生5000人，有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向学校总务处提议增设水龙头。

学校总务处很重视学生意见，为此召开专门研究会，但在增设多少个水龙头上发生争执，于是希望您给学校总务处参谋参谋。

如果您经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1的时间要占用一个水龙头，现有水龙头数量为45个，请问：

1未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？

2需至少要装多少个水龙头，才能以95以上的概率保证不拥挤？

解：

1.同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数服从二项分布B（5000，0.01），则直接计算为直接计算相当麻烦，我们采用近似公式.已知n=5000,p=0.01，q=0.99，np=50.,故，从而怪不得同学们有不少的抱怨。

拥挤的概率竟达到0.7611。

2.欲求m，使得查标准正态分布函数表知.故需要装62个水龙头。

问题的变形：

1需至少安装多少个水龙头，才能以99%以上的概率保证不拥挤？

2若条件中已有水龙头数量改为55个，其余的条件不变,1,2两问题结果如何？

3若条件中的每个学生占用由1%提高到1.5%，其余的条件不变，则1，2两问题结果如何？

27.（第5章）戏院设座问题甲、乙两戏院在竞争500名观众，假设每个观众完全随意地选择一个戏院，且观众之间选择戏院是彼此独立的，问每个戏院至少应该设多少个座位才能保证观众因缺少座位而离开的概率小于5%?

解由于两个戏院的情况相同，故只需考虑甲戏院即可。

设甲戏院需设m个座位，定义，i=1,2,500依题意，若用x表示选择甲戏院的观众总数，则，问题化为求m使因为,由中心极限定理近似地故，查标准正态分布表知，从而解得，即每个戏院至少应该设269个座位。

注释：

此题可设计模拟试验：

假设两个戏院各有269个座位，每天同时各放一场电影，设每天有500人来看电影。

输入观察天数，输出因甲戏院缺座位而有观众离开的天数及其频率。

28.如何理解“简单随机抽样的公平性”？

所谓简单随机抽样的公平性，是指在简单随机抽样过程中，每个个体被抽取的概率都相等。

即若从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本，在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率都等于是。

简单随机抽样的特点是什么？

根据简单随机抽样的定义，可以看到有以下特点：

（1）它要求被抽取样本的总体的个体数有限。

这样，便于通过随机抽取的样本对总体进行分析。

（2）它是从总体中逐个地进行抽取。

这样，便于在抽样实践中进行操作。

（3）它是一种不放回抽样。

由于抽样实践中多采用不放用抽样，使其具有较广泛的实用性，而且由于所抽取的样本中没有被重复抽取的个体，便于进行有关的分析和计算。

（4）它是一种等概率抽样。

不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的概率相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的概率也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性。

29.频率分布与相应的总体分布有何关系？

频率分布是指样本的频率分布，总体分布是指与样本相应的总体取值的概率分布规律。

频率分布将随着样本容量的增大更加接近总体分布，当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时，频率分布直方图就会演变成一条光滑曲线-反映总体分布的概率密度曲线。

基于频率分布与相应的总体分布的关系，且通常我们并不知道一个总体的分布，因此，常常从总体中抽取一个样本，用样本的频率分布去估计相应的总体分布。

30.进行“假设检验”的步骤是什么？

就正态总体而言，进行假设检验可归结为如下三步：

（1）提出统计假设.统计假设里的变量服从正态分布.

（2）确定一次试验中的取值a是否落入范围（3）作出推断:

如果,则接受统计假设。

如果不成立,由于这是小概率事件,就拒绝统计假设。