初中质数与合数.docx
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初中质数与合数.docx
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初中质数与合数初中质数与合数初中数学竞赛辅导资料(3)质数合数一、内容提要1正整数的一种分类:
质数的定义:
如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数(质数也称素数)。
合数的定义:
一个正整数除了能被1和本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正整数叫做合数。
2根椐质数定义可知1质数只有1和本身两个正约数,2质数中只有一个偶数2如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2,如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2,3任何合数都可以分解为几个质数的积。
能写成几个质数的积的正整数就是合数。
二、例题例1两个质数的和等于奇数a(a5)。
求这两个数解:
两个质数的和等于奇数必有一个是2所求的两个质数是2和a2。
例2己知两个整数的积等于质数m,求这两个数解:
质数m只含两个正约数1和m,又
(1)(m)=m所求的两个整数是1和m或者1和m.例3己知三个质数a,b,c它们的积等于30求适合条件的a,b,c的值解:
分解质因数:
30235适合条件的值共有:
应注意上述六组值的书写排列顺序,本题如果改为4个质数a,b,c,d它们的积等于210,即abcd=2357那么适合条件的a,b,c,d值共有24组,试把它写出来。
例4试写出4个連续正整数,使它们个个都是合数。
解:
(本题答案不是唯一的)设N是不大于5的所有质数的积,即N235那么N2,N3,N4,N5就是适合条件的四个合数即32,33,34,35就是所求的一组数。
本题可推广到n个。
令N等于不大于n+1的所有质数的积,那么N2,N3,N4,N(n+1)就是所求的合数。
三、练习1,小于100的质数共_个,它们是_2,己知质数P与奇数Q的和是11,则P,Q3,己知两个素数的差是41,那么它们分别是4,如果两个自然数的积等于19,那么这两个数是如果两个整数的积等于73,那么它们是如果两个质数的积等于15,则它们是5,两个质数x和y,己知xy=91,那么x=_,y=_,或x=_,y=_.6,三个质数a,b,c它们的积等于1990.那么7,能整除311513的最小质数是8,己知两个质数A和B适合等式AB99,ABM。
求M及的值9,试写出6个連续正整数,使它们个个都是合数。
10,具备什么条件的最简正分数可化为有限小数?
11,求适合下列三个条件的最小整数:
1大于1没有小于10的质因数不是质数12,某质数加上6或减去6都仍是质数,且这三个质数均在30到50之间,那么这个质数是13,一个质数加上10或减去14都仍是质数,这个质数是。
练习题参考答案1.25个2.2,93.2,434.1,19;1,73或1,735略6.190025199有6组7.28.略9.令N2357210,所求合数为N2,N3,10.分母只含2和5的质因数11.111112.3713.3初中数学竞赛专题选讲倍数约数一、内容提要1两个整数A和B(B0),如果B能整除A(记作BA),那么A叫做B的倍数,B叫做A的约数。
例如315,15是3的倍数,3是15的约数。
2因为0除以非0的任何数都得0,所以0被非0整数整除。
0是任何非0整数的倍数,非0整数都是0的约数。
如0是7的倍数,7是0的约数。
3整数A(A0)的倍数有无数多个,并且以互为相反数成对出现,0,A,2A,都是A的倍数,例如5的倍数有5,10,。
4整数A(A0)的约数是有限个的,并且也是以互为相反数成对出现的,其中必包括1和A。
例如6的约数是1,2,3,6。
5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数,几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6公约数只有1的两个正整数叫做互质数(例如15与28互质)。
7在有余数的除法中,被除数除数商数余数若用字母表示可记作:
ABQR,当A,B,Q,R都是整数且B0时,AR能被B整除例如23372则232能被3整除。
二、例题例1写出下列各正整数的正约数,并统计其个数,从中总结出规律加以应用:
2,22,23,24,3,32,33,34,23,223,2232。
解:
列表如下正整数正约数个数计正整数正约数个数计正整数正约数个数计21,2231,32231,2,3,64221,2,43321,3,3232231,2,3,4,6,126231,2,4,84331,3,32,33422321,2,3,4,6,9,12,18,369241,2,4,8,165341,3,32,33,345其规律是:
设Aambn(a,b是质数,m,n是正整数)那么合数A的正约数的个是(m+1)(n+1)例如求360的正约数的个数解:
分解质因数:
36023325,360的正约数的个数是(31)(21)(11)24(个)例2用分解质因数的方法求24,90最大公约数和最小公倍数解:
24233,902325最大公约数是23,记作(24,90)6最小公倍数是23325360,记作24,90=360例3己知32,44除以正整数N有相同的余数2,求N解:
322,442都能被N整除,N是30,42的公约数(30,42)6,而6的正约数有1,2,3,6经检验1和2不合题意,N6,3例4一个数被10余9,被9除余8,被8除余7,求适合条件的最小正整数分析:
依题意如果所求的数加上1,则能同时被10,9,8整除,所以所求的数是10,9,8的最小公倍数减去1。
解:
10,9,8=360,所以所求的数是359三、练习1,12的正约数有_,16的所有约数是_2,分解质因数300_,300的正约数的个数是_3,用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。
4,一个三位数能被7,9,11整除,这个三位数是_5,能同时被3,5,11整除的最小四位数是_最大三位数是_6,己知14和23各除以正整数A有相同的余数2,则A_7,写出能被2整除,且有约数5,又是3的倍数的所有两位数。
答_8,一个长方形的房间长1.35丈,宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满,问正方形最大边长可以是几寸?
若用整数寸作国边长,有哪几种规格的正方形瓷砖适合?
9,一条长阶梯,如果每步跨2阶,那么最后剩1阶,如果每步跨3阶,那么最后剩2阶,如果每步跨4阶,那么最后剩3阶,如果每步跨5阶,那么最后剩4阶,如果每步跨6阶,那么最后剩5阶,只有每步跨7阶,才能正好走完不剩一阶,这阶梯最少有几阶?
练习参考答案1.1,2,3,4,6,12;1,2,3,6,9,182.22352;183.25;22534.6935.3,5,11165,1155;9906.A3即求142与232的公约数7.30,60,908.(135,105)15,正约数有1,3,5,159.119。
2,3,4,5,660,6021119初一奥数专题解析:
构造一元一次方程解题初一奥数专题解析:
构造一元一次方程解题2009-07-0113:
45来源:
互联网作者:
佚名打印评论【初一】构造一元一次方程解题2设a,b,c为实数,且a+a=0,ab=ab,c-c=0,求代数式b-ab-c-ba-c的值3若m0,n0,mn,且xmx-n=mn,求x的取值范围4设(3x-1)7=a7x7a6x6+a1xa0,试求a0+a2a4a6的值6解方程2x+1+x-3=68解不等式x3-x-1210x,y,z均是非负实数,且满足:
x3y2z=3,3x3y+z=4,求u=3x-2y4z的最大值与最小值11求x4-2x3x2+2x-1除以x2+x1的商式和余式19任意改变某三位数数码顺序所得之数与原数之和能否为999?
说明理由20设有一张8行、8列的方格纸,随便把其中32个方格涂上黑色,剩下的32个方格涂上白色下面对涂了色的方格纸施行“操作”,每次操作是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸?
21如果正整数p和p+2都是大于3的素数,求证:
6(p1)2因为a=-a,所以a0,又因为ab=ab,所以b0,因为c=c,所以c0所以ab0,c-b0,a-c0所以原式=-b(ab)-(c-b)-(a-c)=b3因为m0,n0,所以m=-m,n=n所以mn可变为mn0当x+m0时,x+m=xm;当x-n0时,x-n=n-x故当-mxn时,xmx-n=xm-xn=mn4分别令x=1,x=-1,代入已知等式中,得a0+a2a4a6=-81285整理得x=-6y,代入得(k-5)y=0当k=5时,y有无穷多解,所以原方程组有无穷多组解;当k5时,y=0,代入得(1-k)x=1k,因为x=-6y=0,所以1k=0,所以k=-1故k=5或k=-1时原方程组有解x3时,有2(x1)-(x-3)=6,所以x=1;当x3时,有,所以应舍去7由x-y=2得x-y=2,或x-y=-2,所以由前一个方程组得2+yy=4当y-2时,-(y+2)-y=4,所以y=-3,x=-1;当-2y0时,(y1)-y=4,无解;当y0时,(2y)+y=4,所以y=1,x=3同理,可由后一个方程组解得所以解为解得x-3;解得-3x-2或0x1;解得x1所以原不等式解为x-2或x09令a99991111,则于是显然有a1,所以A-B0,即AB10由已知可解出y和z因为y,z为非负实数,所以有u=3x-2y+4z11.所以商式为x2-3x+3,余式为2x-412小柱的路线是由三条线段组成的折线(如图197所示)我们用“对称”的办法将小柱的这条折线的路线转化成两点之间的一段“连线”(它是线段)设甲村关于北山坡(将山坡看成一条直线)的对称点是甲;乙村关于南山坡的对称点是乙,连接甲乙,设甲乙所连得的线段分别与北山坡和南山坡的交点是A,B,则从甲AB乙的路线的选择是最好的选择(即路线最短)显然,路线甲AB乙的长度恰好等于线段甲乙的长度而从甲村到乙村的其他任何路线,利用上面的对称方法,都可以化成一条连接甲与乙之间的折线它们的长度都大于线段甲乙所以,从甲AB乙的路程最短b1=9,a+a1=9,于是a+b+ca1b1+c1=99+9,即2(a十bc)=27,矛盾!
20答案是否定的设横行或竖列上包含k个黑色方格及8-k个白色方格,其中0k8当改变方格的颜色时,得到8-k个黑色方格及k个白色方格因此,操作一次后,黑色方格的数目“增加了”(8-k)-k=8-2k个,即增加了一个偶数于是无论如何操作,方格纸上黑色方格数目的奇偶性不变所以,从原有的32个黑色方格(偶数个),经过操作,最后总是偶数个黑色方格,不会得到恰有一个黑色方格的方格纸21大于3的质数p只能具有6k1,6k5的形式若p=6k1(k1),则p+2=3(2k1)不是质数,所以,p=6k5(k0)于是,p1=6k6,所以,6(p1)有个人在公路上散步,他看到每隔12分钟有一辆公交车从他后面开过来,而每隔4分钟有一辆公交车迎面开来,若车和人的车的速度都是均匀的,汽车总站每个多少分钟开一辆车出来?
问题补充:
要过程的最佳答案6分钟设人速度为a车速度为b汽车总站每x分钟开一辆车出来则每相临的两个公交之间距离为bx从身后来的车与人同向两车距离bx=12*b-12*a而迎面来的车与人相对,逆向所以bx=4*b+4*a两个式子相除得b=2a带入第一个式子2ax=24a-12a2ax=12a得到x=61、若2a=6b=3c,且ab+bc+ca=99,求2a2+12b2+92的值2、已知a,b,c,d属于正实数,a4+b4+c4+d4=4abcd,求证:
a=b=c=d3、已知14(a2+b2+c2+d2)=(a+2b+3c)2,求a:
b:
c4、已知三角形ABC的三边a,b,c满足a3+b3+c3=3abc,求证:
三角形ABC为等边三角形1、若2a=6b=3c,且ab+bc+ca=99,求2a2+12b2+92的值设2a=6b=3c=k则a=k/2,b=k/6,c=k/3,代入ab+bc+ca=99,得k2=36*9从而2a2+12b2+92=(36*9)(1/2+1/3)+81=270+81=3512、已知a,b,c,d属于正实数,a4+b4+c4+d4=4abcd,求证:
a=b=c=da4+b4+c4+d4-4abcd=a4-2(ab)2+b4+c4-2(cd)2+d4+2(ab)2-4abcd+2(cd)2=(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0a2=b2,c2=d2,ab=cda=b=c=d3、已知14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2,求a:
b:
c14(a2+b2+c2)-(a+2b+3c)2=14(a2+b2+c2)-(a2+4b2+9c2+4ab+12bc+6ca)=4a2-4ab+b2+9b2-12bc+4c2+c2-6ca+9a2=(2a-b)2+(3b-2c)2+(c-3a)2=0b=2a,c=3aa:
b:
c=1:
2:
34、已知三角形ABC的三边a,b,c满足a3+b3+c3=3abc,求证:
三角形ABC为等边三角形a3+b3+c3-3abc=(1/2)(a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2-常考到,须记住!
=0因为a+b+c0所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0从而a=b=c因此三角形ABC为等边三角形初一奥数考什么啊?
30分标签:
奥数课本奥数班开学会考回答:
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1699提问时间:
2005-08-1413:
32我现在学的是新课标,马上就要读初二了。
学校在初二开学就会考一次奥数,选择年级前50名,组成奥数班。
翻了许多奥数书,有的课本上没有学,所以,我不知道会考什么内容。
帮帮我!
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