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高中数学知识清单高中数学知识清单理科数学知识清单第一章第一章集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语1.1集合及其运算集合及其运算1集合的基本概念
(2)集合中元素的三个特性:
_,_,_.(3)集合常用的表示方法:
_和_2常用数集的符号数集正整数集自然数集整数集有理数集实数集复数集符号
(2)集合与集合之间的关系:
表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同_AB子集A中任意一个元素均为B中的元素_或_真子集A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素_或_空集空集是任何集合的子集,是任何_的真子集A,B(B)结论:
集合a1,a2,an的子集有_个,非空子集有_个,非空真子集有_个4两个集合A与B之间的运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示若全集为U,则集合A的补集记为_Venn图表示(阴影部分)1.2命题及其关系、充分条件与必要条件命题及其关系、充分条件与必要条件
(2)在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,我们称这两个命题为_(3)在两个命题中,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,这样的两个命题称为_(4)在两个命题中,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,这样的两个命题称为_(5)一般地,设“若p,则q”为原命题,那么_就叫做原命题的逆命题;_就叫做原命题的否命题;_就叫做原命题的逆否命题2四种命题的相互关系
(2)真假关系两个命题互为逆否命题,它们具有_的真假性,即等价;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性_3充分条件和必要条件
(1)如果pq,则称p是q的_,q是p的_
(2)如果_,且_,那么称p是q的充分必要条件,简称p是q的_,记作_(3)如果pq,但qp,那么称p是q的_条件(4)如果_,但_,那么称p是q的必要不充分条件(5)如果_,且_,那么称p是q的既不充分也不必要条件1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词2全称量词“所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做_,通常用符号“_”表示含有全称量词的命题称为_,全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为:
xM,p(x)3存在量词“存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做_,通常用符号“_”表示含有存在量词的命题称为_,特称命题“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”可用符号简记为:
x0M,p(x0)注:
特称命题也称存在性命题4含有一个量词的命题的否定命题命题的否定xM,p(x)x0M,p(x0)因此,全称命题的否定是_命题;特称命题的否定是_命题5命题pq,pq,p的真假判断(真值表)注:
“pq”“pq”“p”统称为复合命题,构成复合命题的p命题,q命题称为简单命题pqpqpqp真真真假假真假假第二章第二章函数的概念、基本初等函数函数的概念、基本初等函数()及函数的应用及函数的应用2.1函数及其表示函数及其表示1函数的概念一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有_f(x)和它对应,那么就称f:
AB为从集合A到集合B的一个_,记作yf(x),xA,其中,x叫做_,x的取值范围A叫做函数的_;与x的值相对应的y值叫做_,其集合f(x)|xA叫做函数的_3构成函数的三要素
(1)函数的三要素是:
_,_,_.
(2)两个函数相等:
如果两个函数的_相同,并且_完全一致,则称这两个函数相等5映射的概念一般地,设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于A中的_元素x,在集合B中都有_元素y与之对应,那么就称对应f:
AB为从集合A到集合B的一个映射6映射与函数的关系
(1)联系:
映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的;函数是一种特殊的_2.2函数的单调性与最大函数的单调性与最大(小小)值值1函数的单调性
(1)增函数与减函数一般地,设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的_自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是_如果对于定义域I内某个区间D上的_自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是_2函数的最值
(1)最大值一般地,设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
对于任意的xI,都有_;存在x0I,使得_那么,我们称M是函数yf(x)的最大值
(2)最小值一般地,设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数m满足:
对于任意的xI,都有_;存在x0I,使得_那么我们称m是函数yf(x)的最小值2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性1奇、偶函数的概念
(1)偶函数一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有_,那么函数f(x)就叫做偶函数
(2)奇函数一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有_,那么函数f(x)就叫做奇函数2奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于_对称;奇函数的图象关于对称3具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于_,即定义域关于_是一个函数具有奇偶性的_条件4周期函数的概念
(1)周期、周期函数对于函数f(x),如果存在一个_T,使得当x取定义域内的_值时,都有_,那么函数f(x)就叫做周期函数T叫做这个函数的周期
(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期5函数奇偶性与单调性之间的关系
(1)若函数f(x)为奇函数,在a,b上为增(减)函数,则f(x)在b,a上应为_;
(2)若函数f(x)为偶函数,在a,b上为增(减)函数,则f(x)在b,a上应为_6奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇奇_,偶偶_,奇奇_,偶偶_,奇偶_.7函数的对称性如果函数f(x),xD,满足xD,恒有f(ax)f(bx),那么函数的图象有对称轴;如果函数f(x),xD,满足xD,恒有f(ax)f(bx),那么函数的图象有对称中心2.4二次函数二次函数1二次函数解析式的三种形式
(1)一般式:
f(x)(a0);
(2)顶点式:
f(x)(a0);(3)零点式:
f(x)(a0)2二次函数的图象与性质对称轴:
x;顶点坐标:
;开口方向:
a0时,开口,a0时,开口;值域:
a0时,y,a0时,y;单调性:
a0时,f(x)在_上是减函数,在_上是增函数;a0时,f(x)在上是_,在上是
(2)二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系二次函数f(x)ax2bxc(a0)的零点(图象与x轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax2bxc0的,也是一元二次不等式ax2bxc0(或ax2bxc0)解集的3二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值它只能在区间的或二次函数的处取得,可分别求值再比较大小,最后确定最值2.5基本初等函数基本初等函数()
(一)指数函数1根式
(1)n次方根:
如果xna,那么x叫做a的,其中n1,且nN*.当n为奇数时,正数的n次方根是一个数,负数的n次方根是一个数,这时a的n次方根用符号表示当n为偶数时,正数的n次方根有个,这两个数互为这时,正数a的正的n次方根用符号表示,负的n次方根用符号表示正的n次方根与负的n次方根可以合并写成负数没有偶次方根0的n(nN*)次方根是,记作
(2)根式:
式子叫做根式,这里n叫做,a叫做(3)根式的性质:
n为奇数时,;n为偶数时,.2幂的有关概念及性质
(1)正整数指数幂:
an(nN*).
(2)零指数幂:
a0.这里a0.(3)负整数指数幂:
an(a0,nN*)(4)正分数指数幂:
a(a0,m,nN*,且n1)(5)负分数指数幂:
a(a0,m,nN*,且n1)(6)0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂(7)有理指数幂的运算性质3指数函数的图象及性质定义一般地,函数yax(a0,且a1)叫做指数函数图象a10a1定义域_值域_性质过定点_在R上是_在R上是_
(二)对数函数1对数
(1)对数:
如果axN(a0,且a1),那么x叫做以a为底N的_,记作x_.其中a叫做对数的_,N叫做_
(2)两类重要的对数常用对数:
以_为底的对数叫做常用对数,并把log10N记作_;自然对数:
以_为底的对数称为自然对数,并把logeN记作_注:
(i)无理数e2.71828;(ii)负数和零没有对数;(iii)loga1_,logaa_.(3)对数与指数之间的关系当a0,a1时,axN_xlogaN.(4)对数运算的性质如果a0,且a1,M0,N0,那么:
loga(MN)_;loga_;logaMn_;一般地,logamMn_;(5)换底公式及对数恒等式对数恒等式:
_;换底公式:
logaN_,特别地,logab_.2对数函数的图象及性质定义一般地,函数ylogax(a0,且a1)叫做对数函数图象a10a1定义域_值域_性质过定点_在(0,)上是_在(0,)上是_3.对数函数与指数函数的关系对数函数ylogax(a0,且a1)与指数函数yax(a0且a1)互为反函数;它们的图象关于直线_对称(三)幂函数1幂函数的定义一般地,函数_叫做幂函数,其中x是自变量,是常数2几个常用的幂函数的图象与性质定义幂函数yx(R)图象00性质
(1)图象过点_图象过点_
(2)在第一象限内,函数值随x的增大而增大,即在(0,)上是_在第一象限内,函数值随x的增大而减小,即在(0,)上是_(3)在第一象限内,当1时,图象下凸;当01时,图象上凸在第一象限内,图象都下凸(4)形如yx或yx(m,n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断:
当m,n都为奇数时,幂函数在定义域上为奇函数;当m为奇数,n为偶数时,幂函数在定义域上为非奇非偶函数;当m为偶数,n为奇数时,幂函数在定义域上为偶函数.2.6函数与方程函数与方程1函数的零点
(1)定义:
对于函数yf(x),我们把使_的实数x叫做函数yf(x)的零点
(2)函数有零点的几个等价关系:
方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴_函数yf(x)_2函数的零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有_,那么,函数yf(x)在区间_内有零点,即存在c_,使得_,这个c也就是方程f(x)0的根2.7函数的图象函数的图象2图象变换的四种形式
(1)平移变换水平平移:
yf(x)的图象向左平移a(a0)个单位长度,得到_的图象;yf(xa)(a0)的图象可由yf(x)的图象向_平移a个单位长度而得到竖直平移:
yf(x)的图象向上平移b(b0)个单位长度,得到_的图象;yf(x)b(b0)的图象可由yf(x)的图象向_平移b个单位长度而得到总之,对于平移变换,记忆口诀为“左加右减,上加下减”
(2)对称变换yf(x),yf(x),yf(x)三个函数的图象与yf(x)的图象分别关于_、_、_对称;若对定义域内的一切x均有f(mx)f(mx),则yf(x)的图象关于直线_对称(3)伸缩变换要得到yAf(x)(A0)的图象,可将yf(x)的图象上每点的纵坐标伸(A1时)或缩(A0)的图象,可将yf(x)的图象上每点的横坐标伸(a1时)到原来的_(4)翻折变换y|f(x)|的图象作法:
作出yf(x)的图象,将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,上方的部分不变;yf(|x|)的图象作法:
作出yf(x)在y轴右边的图象,以y轴为对称轴将其翻折到左边得yf(|x|)在y轴左边的图象,右边的部分不变第三章第三章导导数数3.1导数的概念及运算导数的概念及运算1导数的概念
(1)定义如果函数yf(x)的自变量x在x0处有增量x,那么函数y相应地有增量yf(x0x)f(x0),比值就叫函数yf(x)从x0到x0x之间的平均变化率,即.如果当x0时,有极限,我们就说函数yf(x)在点x0处_,并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数,记作_或y|xx0,即f(x0)
(2)导函数当x变化时,f(x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数(简称导数)yf(x)的导函数有时也记作y,即f(x)y.2导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线yf(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率也就是说,曲线yf(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率是相应的切线方程为3基本初等函数的导数公式
(1)c(c为常数),(x)(Q*);
(2)(sinx)_,(cosx)_;(3)(lnx),(logax);(4)(ex)_,(ax).4导数运算法则
(1)f(x)g(x)_.
(2)f(x)g(x)_;当g(x)c(c为常数)时,即cf(x)_.(3)(g(x)0)3.2导数的应用导数的应用(一一)1函数的单调性与导数在某个区间(a,b)内,如果f(x)0,那么函数yf(x)在这个区间内单调递增;如果f(x)0);若f(x)是奇函数,则f(x)dx_(其中a0)5定积分在物理中的简单应用
(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V(t),速度方向不变)在时间区间a,b上所经过的路程S_.
(2)在变力FF(x)的作用下,物体沿力F的方向作直线运动,并且由xa运动到xb(ab),则力F对物体所作的功W_.(3)在变力FF(x)的作用下,物体沿与力F的方向成角的方向作直线运动,并且由xa运动到xb(ab),则力F对物体所作的功W_.第四章第四章三角函数三角函数4.1弧度制及任意角的三角函数弧度制及任意角的三角函数
(2)象限角是第一象限角可表示为;是第二象限角可表示为;是第三象限角可表示为;是第四象限角可表示为(3)非象限角终边在x轴非负半轴上的角的集合可记作|2k,kZ;终边在x轴非正半轴上的角的集合可记作_;终边在y轴非负半轴上的角的集合可记作_;终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作_;终边在x轴上的角的集合可记作_;终边在y轴上的角的集合可记作;终边在坐标轴上的角的集合可记作(4)终边相同的角所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合S_.2弧度制
(1)把长度等于_的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad表示,读作弧度,l是半径为r的圆的圆心角所对弧的长
(2)弧度与角度的换算:
360_rad,180_rad,1rad0.01745rad,反过来1rad57.305718.(3)若圆心角用弧度制表示,则弧长公式l_;扇形面积公式S扇3任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数的定义设是一个任意角,它的终边上任意一点P(x,y)与原点的距离为r(r0),则sin,cos,tan(x0)(3)三角函数值在各象限的符号sincostan4三角函数线如图,角的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线,垂足为M,过点A(1,0)作单位圆的切线,设它与的终边(当为第一、四象限角时)或其反向延长线(当为第二、三象限角时)相交于点T.根据三角函数的定义,有OMx_,MPy_,AT_.像OM,MP,AT这种被看作带有方向的线段,叫做有向线段,这三条与单位圆有关的有向线段MP,OM,AT,分别叫做角的_、_、_,统称为三角函数线5特殊角的三角函数值角030456090120135150180270360角的弧度数sincostansin15,sin75,tan152,tan7524.2同角三角函数的基本关系及诱导公式同角三角函数的基本关系及诱导公式1同角三角函数的基本关系
(1)由三角函数的定义,同角三角函数间有以下两个等式:
_;2三角函数的诱导公式
(1)诱导公式的内容:
x函数sinxcosxtanx24.3三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质1“五点法”作图
(1)在确定正弦函数ysinx在0,2上的图象形状时,起关键作用的五个点是,
(2)在确定余弦函数ycosx在0,2上的图象形状时,起关键作用的五个点是,3三角函数的图象和性质函数性质ysinxycosxytanx定义域___图象值域__R对称性对称轴:
_;对称中心:
_对称轴:
_;对称中心:
_无对称轴;对称中心:
_最小正周期___单调性单调增区间单调增区间单调增区间_;单调减区间__;单调减区间__奇偶性___4.4三角函数图象的变换三角函数图象的变换2.图象变换(0)路径:
先向左(0)或向右(0)或向右(0,即a2b2_c2;若C为钝角,则cosC0时,a与a的方向_;当b_;
(2)传递性:
ab,bc_;(3)不等式加等量:
abac_bc;(4)不等式乘正量:
ab,c0_;不等式乘负量:
ab,cb,cd_;(6)异向不等式相减:
ab,cb0,cd0_;(8)异向不等式相除:
ab0,0cb,ab0_;(10)不等式的乘方:
ab0_;(11)不等式的开方:
ab0_.注:
1.(5)(6)说明,同向不等式可相加,但不可相减,而异向不等式可相减;2.(7)(8)说明,都是正数的同向不等式可相乘,但不可相除,而都是正数的异向不等式可相除.7.2一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法1.解不等式的有关理论
(1)若两个不等式的解集相同,则称它们是;
(2)一个不等式变形为另一个不等式时,若两个不等式是同解不等式,这种变形称为不等式的;(3)解不等式变形时应进行同解变形;解不等式的结果,一般用集合表示.2.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后,都可以化为axb(a0)的形式.当a0时,解集为;当a0时,解集为.若关于x的不等式axb的解集是R,则实数a,b满足的条件是.3.一元二次不等式及其解法
(1)我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为_不等式.
(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解,一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的_.(3)若一元二次不等式经过同解变形后,化为一元二次不等式ax2bxc0(或ax2bxc0)(其中a0)的形式,其对应的方程ax2bxc0有两个不相等的实根x1,x2,且x1x2(此时b24ac0),则可根据“大于号取,小于号取”求解集.(4)一元二次不等式的解:
函数与不等式000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1,x2(x1x2)有两相等实根x1x2无实根ax2bxc0(a0)的解集Rax2bxc0(a0)的解集x|x1xx24.分式不等式解法
(1)化分式不等式为标准型.方法:
移项,通分,右边化为0,左边化为的形式.
(2)将分式不等式转化为整式不等式求解,如:
f(x)g(x)0;0f(x)g(x)0;007.3二元一次不等式二元一次不等式(组组)与简单的线性规划问题与简单的线性规划问题1.二元一次不等式表示的区域
(1)当B0时,AxByC0表示直线AxByC0的;AxByC0表示直线AxByC0的.
(2)当B0时,AxByC0表示直线AxByC0的;AxByC0表示直线AxByC0的.2.线性规划
(1)不等式组是一组对变量x,y的约束条件,由于这组约束条件都是关于x,y的一次不等式,所以又可称其为线性约束条件.ZAxBy是要求最大值或最小值的函数,我们把它称为.由于ZAxBy是关于x,y的一次解析式,所以又可叫做.另外注意:
线性约束条件除了用一次不等式表示外,也可用一次方程表示.
(2)一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的的问题,统称为线性规划问题.(3)满足线性约束条件的解(x,y)叫做,由所有可行解组成的集合叫做.其中,使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的.线性目标函数的最值常在可行域的边界上,且通常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解首先要看它是否在可行域内.(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤:
首先,要根据(即画出不等式组所表示的公共区域).设,画出直线l0.观察、分析、平移直线l0,从而找到最优解.最后求得目标函数的.(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路:
首先,应准确建立数学模型,即根据题意找出条件,确定函数.然后,用图解法求得数学模型的解,即,在可行域内求得使目标函数.7.4基本不等式及其应用基本不等式及其应用1.如果a0,b0,那么叫做这两个正数的算术平均数.2.如果a0,b0,那么叫做这两个正数的几何平均数.3.重要不等式:
a,bR,则a2b2(当且仅当ab时取等号).4.基本不等式:
a0,b0,则,当且仅当ab时等号成立,即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.5.求最小值:
a0,b0,当ab为定值时,ab,a2b2有,即ab,a2b2.6.求最大值:
a0,b0,当ab为定值时,ab有最大值,即,亦即;或a2b2为定值时,ab有最大值(a0,b0),即.7.拓展:
若a0,b0时,当且仅当ab时等号成立.第八章第八章立立体体几几何何8.1空间几何体的结构、三视图和直观图空间几何体的结构、三视图和直观图1.棱柱、棱锥、棱台的概念
(1)棱柱:
有两个面互相_,其余各面都是_,并且每相邻两个四边形的公共边都互相_,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.注:
棱柱又分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱;侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱;底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.
(2)棱锥:
有一个面是_,其余各面都是有一个公共顶点的_,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.注:
如果棱锥的底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上,则这个棱锥叫做正棱锥.(3)棱台:
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,叫做棱台.注:
由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.2.棱柱、棱锥、棱台的性质
(1)棱柱的性质侧棱都相等,侧面是_;两个底面与平行于底面的截面是_的多边形;过不相邻的两条侧棱的截面是_;直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是_.
(2)正棱锥的性质侧棱相等,侧面是全等的_;棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个_;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个_;侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个_;侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个_.(3)正棱台的性质侧面是全等的_;斜高相等;棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个_;棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个_;棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个_.3.圆柱、圆
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