多元函数微分学其他题型1综述.docx

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多元函数微分学其他题型1综述

其它题型（共200小题）

1、试研究函数

的连续性。

2、试讨论函数

的连续性。

3、试讨论函数

的连续性。

4、试研究函数

的连续性。

5、试讨论函数

在点（0，0）处的连续性。

6、试讨论函数

在点（0，0）处的连续性。

7、试讨论函数

在点（0，0）处的连续性。

8、讨论函数

在点（0，0）处的连续性。

9、试研究函数

在点（0，0）处的连续性。

10、求曲线

在点

处的切线与

轴倾角。

11、求曲线

与点

处的切线与

轴正向的倾角。

12、求曲面

在平面

的交线在点

处的切线与

轴正向倾角。

13、设

，问

与

是否存在？

若存在，求其值。

14、设

，其中

在点（0，0）的邻域内连续，欲使

存在，问

应满足什么条件？

15、研究函数

在点（0，0）处的全微分是否存在？

16、讨论：

函数

在点（0，0）处是否可微？

17、设

，试研究（0，0）处的全微分是否存在？

18、讨论函数

在点（0，0）处的连续性，可导性和可微性。

19、函数

在点（0，0）的两个偏导数是否存在？

在点（0，0）是否可微？

为什么？

20、已知

可微，求

使

。

21、设

，其中

可导，且当

时，

，试确定

，并求

。

22、已知

，方程组

有两对不同的解

，问

应满足什么关系？

23、设

具有一阶连续偏导数，而

，试以

为新的自变量，变换方程：

。

24、设

具有连续偏导数，作变量替换

，试变换方程：

。

25、设

，其中

是具有连续导数的函数，试消去

，建立

所满足的一个一阶偏微分方程。

26、设

，试讨论在点（0,0）处的两个偏导数

是否存在？

如存在求出导数值。

27、设

，其中

具有连续的导数，试用求偏导数的方法，消去函数

，建立

的二阶导数所满足的方程。

28、设

，其中

具有一阶连续导数，试消去函数

，建立

的各二阶导数间所满足的一个方程（其中

，且均不为0）

29、设可微的二元函数

，在极坐标系下

，试求此二元函数。

30、设可微的二元函数

，在极坐标系下可表示为

，试求

。

31、设可微的二元函数

，在极坐标系下可表示为

，试求

。

32、设

满足关系

，其中

和

均有连续导数，试求使等式

成立的函数

。

33、设

均很小，试用全微分推出

的近似公式。

34、设

均很小，试用全微分推出

的近似公式。

35、当

均很小时，用全微分推出

的近似公式。

36、设

均足够小，用全微分推出

的近似公式。

37、设

均很小，用全微分推出

的近似公式。

38、设

均很小，用全微分推出

的近似公式，其中m，n为常数。

39、设

均很小，用全微分推出

的近似公式。

40、设

均很小，用全微分推出

的近似公式。

41、设

均足够小，用全微分推出

的近似公式。

42、设

均足够小，用全微分推出

的近似公式。

43、设

的绝对值均足够小，用全微分推出

的近似公式。

44、设

均很小，用全微分推出

的近似公式。

45、设

均很小，用全微分推出

的近似公式。

46、设

均很小，用全微分推出

的近似公式。

47、设

均很小，用全微分推出

的近似公式。

48、一直角三角形的两直角边分别由3米，4米改变为3.01米和3.97米，利用全微分计算该三角形斜边长的改变量。

49、一边长为1米的正方形，相邻两边长分别增加1厘米和2厘米变为长方形，利用全微分求其对角线改变量的近似值，（已知

）。

50、一扇形的中心角

，半径R=20厘米，若中心角增加

，半径减少0.1厘米，试用全微分求此扇形面积改变量的近似值。

（

取3.1416，答案保留两位小数）。

51、测量矩形相邻两边的相对误差均为

，利用全微分估计由此产生矩形面积的相对误差的近似值。

52、设有一高为20厘米，底半径为4厘米的圆柱形零件，加热后，高增加0.1厘米，底半径增加0.02厘米。

试用全微分估计此零件加热后体积的增加量。

（

取3.1416，答案保留2位小数）。

53、设矩形的宽为6米，长为8米，若宽增加3毫米，而长减少4毫米，试用全微分估计矩形对角线的变化量。

54、已知边长x=6米与y=8米的矩形，如果边长x增加5厘米，而y减少10厘米，则这个矩形的对角线的长度近似变化多少？

55、一长方体的长，宽，高分别由1米，2米，3米增加到1.01米，2.01米和3.02米，利用全微分计算该长方体体积改变量的近似值。

56、一圆锥形工件，加热后底半径由10厘米增加到10.01厘米，高由12厘米增加到12.01厘米，用全微分计算该工件体积改变量的近似值（

取3.1416，答案保留两位小数）。

57、一圆柱体底半径由1米增加到1.01米，高由2米增加到2.02米，用全微分求此圆柱体体积变化量的近似值。

（

取3.1416，答案保留两位小数）。

58、一圆柱体的半径由20厘米增加到20.05厘米，高度由100厘米减少到99厘米，用全微分求此圆柱体体积变化量的近似值（

取3.1416，答案保留两位小数）。

59、当圆台变形时，它的上底半径

由20厘米增大到20.1厘米，下底半径

由35厘米增大到35.14厘米，高

由50厘米减少到49.5厘米，试用全微分求圆台体积改变量的近似值（

取3.1416，答案保留两位小数）。

60、测得一物体的体积为（3.06

0.01）立方厘米，质量为（18.36

0.01）克。

利用全微分求由此计算物体的密度所产生绝对误差的近似值。

（答案保留三位小数）。

61、用方向导数的定义讨论函数

在

点沿任意方向的方向导数是否存在？

62、函数

在点（0，0）沿任意方向的方向导数是否存在？

63、函数

在（x，y）点处沿哪个方向的方向导数值最大，并求此方向导数的值。

64、函数

在（2，0）点沿哪个方向的方向导数值最大，并求此方向导数的值。

65、函数

在（0，1）点处沿哪个方向的方向导数值最大，并求此最大方向导数的值。

66、函数

在（0，0）点处沿哪个方向的方向导数最大，并求此方向导数的值。

67、函数

在（1，1）点处沿哪个方向的方向导数值最大，并求此最大方向导数的值。

68、求函数

在点（1，1）处沿单位矢量

方向的方向导数，并求

分别取什么值时，沿

方向的方向导数最大，最小或等于零。

69、函数

在（

，4）点处沿哪个方向的方向导数值最大，沿哪个方向的方向导数值最小，并分别求这两个方向导数的值。

70、函数

在（1，1）点处分别沿哪个方向的方向导数值最大，最小，并求这两个方向导数的值。

71、函数

在点（1，2，－1）处沿哪个方向的方向导数值最大，并求此最大方向导数的值。

72、设

可微，且

，求

沿

方向的方向导数，并讨论

取什么方向时，该方向导数的值最大。

73、函数

在点（1，1，1）处沿哪个方向的方向导数值最大，并求此最大方向导数的值。

74、求曲线

在对应于

点处的切线方程和法平面方程。

75、求曲线

在对应于

点处的切线方程和法平面方程。

76、求曲线

在对应于

点处的切线方程和法平面方程。

77、求曲线

在点

处的切线方程和法平面方程。

78、求曲线

在点

处的切线方程和法平面方程。

79、设

都是可微函数，求曲线

在对应于

点处的切线方程和法平面方程。

80、求曲线

在对应于

点处的切线方程和法平面方程。

81、求曲线

在对应于

点处的切线方程和法平面方程。

82、求曲线

在点

处的切线方程和法平面方程。

83、求曲线

在点

处的切线方程和法平面方程。

84、求曲线

在对应于

点处的切线方程和法平面方程。

85、求曲线

在对应于

点处的切线方程和法平面方程。

（

）

86、求曲线

在点

处的切线方程和法平面方程。

（

是正的常数）

87、求曲线

在对应于

点处的切线方程和法平面方程。

88、求曲线

在对应于

点处的切线方程和法平面方程。

（其中

）

89、求曲线

在对应于

点处的切线方程和法平面方程。

（其中

）

90、求曲线

在对应于

点处的切线方程和法平面方程。

91、求曲线

在对应于

点处的切线方程和法平面方程。

92、求曲线

在点

处的切线方程和法平面方程。

93、求曲线

在对应于

点处的切线方程和法平面方程。

（其中

）

94、设函数

都是可微函数，求曲线

在对应于

点处的切线方程和法平面方程。

95、求曲线

在对应于

点处的切线方程。

96、求曲线

在点

处的切线及法平面方程。

97、求曲线

在对应于

点处的切线及法平面方程。

98、求曲线

在对应于

点处的切线及法平面方程。

99、求曲线

在对应于

点处的切线及法平面方程。

100、求曲线

在点

处的切线及法平面方程。

101、求曲线

在点

处的切线及法平面方程。

102、求曲线

在对应于

点处的切线及法平面方程。

（

是正的常数）

103、求曲线

在点

处的切线及法平面方程。

（其中

）

104、求曲线

在点

处的切线及法平面方程。

105、求曲线

在点

处的切线及法平面方程。

106、求曲线

在点

处的切线及法平面方程。

107、求曲线

在点

处的切线及法平面方程。

108、求曲线

在点

处的切线方程。

109、求曲线

在点

处的切线及法平面方程。

110、求曲线

在点

处的切线及法平面方程。

111、求曲线

在点

处的切线及法平面方程。

112、求曲线

在点

处的切线及法平面方程。

113、求曲线

在点

处的切线及法平面方程。

114、求曲线

在点

处的切线及法平面方程。

115、求曲线

在点

处的切线及法平面方程。

116、求曲线

在点

处的切线及法平面方程。

117、求曲线

在点

处的切线及法平面方程。

（其中

）

118、求曲线

在点

处的切线及法平面方程。

119、求曲线

上的点，使曲线在该点处的切线垂直于平面

。

120、求曲线

上的点，使曲线在该点处的法平面平行于平面

，并写出曲线在该点处的切线方程。

121、求曲线

上的点，使曲线在该点处的切线平行于平面

。

122、求曲线

上的点，使曲线在该点处的切线平行于平面

。

123、在柱面

上求一曲线，使该曲线经过点

，且在任一点处的切向量与

轴的夹角等于与

轴的夹角。

124、求曲线

上的点，使曲线在该点的切线平行于平面

，并写出曲线在该点的法平面方程。

125、设函数

均具有一阶连续偏导数，且

，而

，求曲线

在点

处的切线方程。

126、设函数

对各变元具有一阶连续偏导数，求曲线

在点

处的切线和法平面方程。

127、求曲线

在点

处的切线

，求曲线

在点

处的切线

。

证明

与

是异面直线，并求它们之间的距离。

128、求曲面

在点

处的切平面和法线方程。

129、求旋转抛物面

在点

处的切平面和法线方程。

130、求圆锥曲面

在点

处的切平面和法线方程。

131、求曲面

在点

处的切平面和法线方程。

132、求曲面

在点

处的切平面和法线方程。

133、求曲面

在点

处的切平面和法线方程。

134、求曲面

在点

处的切平面和法线方程。

135、求曲面

在点

处的切平面和法线方程。

136、求曲面

在