全国三卷理科数学高考真题及答案.docx
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全国三卷理科数学高考真题及答案全国三卷理科数学高考真题及答案2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一.选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合S=SxP(x2)(x3)0,Txx0,则SIT=(A)2,3(B)(-,2U3,+)(C)3,+)(D)(0,2U3,+)
(2)若z=1+2i,则4izz1(A)1(B)-1(C)i(D)-i(3)已知向量uuvBA12(,)22,uuuvBC31(,),22则ABC=(A)300(B)450(C)600(D)1200(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A点表示十月的平均最高气温约为150C,B点表示四月的平均最低气温约为50C。
下面叙述不正确的是(A)各月的平均最低气温都在00C以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均气温高于200C的月份有5个(5)若tan34,则2cos2sin2(A)6425(B)4825(C)1(D)1625431(6)已知3a2,4b4,3c25,则(A)bac(B)abc(C)bca(D)cab(7)执行下图的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=(A)3(B)4(C)5(D)61(8)在ABC中,B=,BC边上的高等于413BC,则cosA=(A)31010(B)1010(C)10-(D)10-31010(9)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为(A)18365(B)54185(C)90(D)81(10)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球,若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是(A)4(B)92(C)6(D)323(11)已知O为坐标原点,F是椭圆C:
22xy221(ab0)ab的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为(A)13(B)12(C)23(D)34(12)定义“规范01数列”an如下:
an共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k2m,aaa1,2,k中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有(A)18个(B)16个(C)14个(D)12个二、填空题:
本大题共3小题,每小题5分(13)若x,y满足约束条件错误!
未找到引用源。
则z=x+y的最大值为_.(14)函数错误!
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的图像可由函数错误!
未找到引用源。
的图像至少向右平移_个单位长度得到。
(15)已知f(x)为偶函数,当错误!
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时,错误!
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,则曲线y=f(x),在带你(1,-3)处的切线方程是_。
(16)已知直线错误!
未找到引用源。
与圆错误!
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交于A,B两点,过A,B分别做l的垂线2与x轴交于C,D两点,若错误!
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,则错误!
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_.三.解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)已知数列错误!
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的前n项和错误!
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,错误!
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,其中错误!
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0(I)证明错误!
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是等比数列,并求其通项公式31(II)若S5错误!
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,求32(18)(本小题满分12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:
亿吨)的折线图(I)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明(II)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。
(19)(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA地面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(I)证明MN平面PAB;(II)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.(20)(本小题满分12分)已知抛物线C:
22yx的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(I)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ;(II)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.(21)(本小题满分12分)设函数f(x)=acos2x+(a-1)(cosx+1),其中a0,记错误!
未找到引用源。
的最大值为A.()求f(x);()求A;()证明错误!
未找到引用源。
2A.3请考生在22、23、24题中任选一题作答。
作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲如图,O中AB的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.(I)若PFB=2PCD,求PCD的大小;(II)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OGCD.23.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为1xy3cossin(为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin()224.(I)写出C的普通方程和C2的直角坐标方程;1(II)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.24.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲已知函数f(x)|2xa|a(I)当a=2时,求不等式f(x)6的解集;(II)设函数g(x)|2x1|,当xR时,f(x)+g(x)3,求a的取值范围.4绝密启封并使用完毕前试题类型:
新课标2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学正式答案第卷一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)D
(2)C(3)A(4)D(5)A(6)A(7)B(8)C(9)B(10)B(11)A(12)C【11】【12】解:
由题意可知,“规范01数列”有偶数项2m项,且所含0与1的个数相等,首项为0,末项为1,若m=4,说明数列有8项,满足条件的数列有:
0,0,0,0,1,1,1,1;0,0,0,1,0,1,1,1;0,0,0,1,1,0,1,1;0,0,0,1,1,1,0,1;0,0,1,0,0,1,1,1;0,0,1,0,1,0,1,1;0,0,1,0,1,1,0,1;0,0,1,1,0,1,0,1;0,0,1,1,0,0,1,1;0,1,0,0,0,1,1,1;0,1,0,0,1,0,1,1;0,1,0,0,1,1,0,1;0,1,0,1,0,0,1,1;0,1,0,1,0,1,0,1共14个5故选:
C第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第(13)题第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第(22)题第(24)题未选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:
本大题共3小题,每小题5分(13)32(14)3(15)y2x1(16)4三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(17)(本小题满分12分)解:
()由题意得a1S1a,故1,111a,a10.11由Sn1an,Sn11an1得an1an1an,即an1
(1)an.由a10,0得an0,所1因此an是首项为,公比为的等比数列,于是111n1a()n11()由()得1(),由1得2512即2解得1(18)(本小题满分12分)6解:
()由折线图这数据和附注中参考数据得7722t4,(tit)28,(yiy)0.55,i1i1777(tit)(yy)tyty40.1749.322.89,iiiii1i1i12.89r0.99.0.5522.646因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.7(tt)(yy)ii9.322.899.33?
()由1.331i1y及()得b0.103,77282(tt)ii1a?
ybt1.3310.10340.92.所以,y关于t的回归方程为:
y?
0.920.10t.将2016年对应的t9代入回归方程得:
y?
0.920.1091.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.(19)(本小题满分12分)2解:
()由已知得AM2,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN/BC,AD31TNBC2.2又AD/BC,故TN平行且等于AM,四边形AMNT为平行四边形,于是MN/AT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN/平面PAB.()取BC的中点E,连结AE,由ABAC得AEBC,从而AEAD,且2BC222AEABBEAB()5.2以A为坐标原点,AE的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,由题意知,5P(0,0,4),M(0,2,0),C(5,2,0),N(,1,2),255PM(0,2,4),PN(,1,2),AN(,1,2).22设n(x,y,z)为平面PMN的法向量,则nnPMPN0,即02x524zxy02z,可取n(0,2,1),07于是|cos|nAN|85n,AN|.25|n|AN|1(20)解:
由题设F,0).设l1:
ya,l2:
yb,则ab0,且(22ab2ab111A(,0),B(,b),P(,a),Q(,b),R(,).222222记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x(ab)yab0.3分()由于F在线段AB上,故1ab0.记AR的斜率为k,FQ的斜率为k2,则1abab1abkbk.12221aaabaa所以ARFQ.5分()设l与x轴的交点为D(x,0),1则ab111SABFbaFDbax,SPQF.12222由题设可得12ab1bax,所以x10(舍去),x11.122设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由2ykABk可得(x1)DEabx1.ab而y22xx,所以y1
(1).2x当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y1.12分(21)(本小题满分12分)8解:
()fxaxax()2sin2
(1)sin()2sin2
(1)sin()当a1时,|f(x)|asin2x(a1)(cosx1)|a2(a1)3a2f(0)因此,A3a2,4分当0a1时,将f(x)变形为f(x)2acos2x(a1)cosx1令2g(t)2at(a1)t1,则A是|g(t)|在1,1上的最大值,g
(1)a,g
(1)3a2,且当a时,g(t)取得极小值,极小值为g221a(a1)a6a1()14a8a8a令1a114a解得1a(舍去),31a5()当1a时,g(t)在(1,1)内无极值点,|g
(1)|a,|g
(1)|23a,|g
(1)|g
(1)|,所以5A23a()当15a1时,由g
(1)g
(1)2(1a)0,知1ag
(1)g
(1)g()4a1a(1a)(17a)|g()|g
(1)|04a8a,所以21aa6a1A|g()|4a8a23a,0a综上,2a6a11A,a1,9分8a53a2,a1()由()得|f(x)|2asin2x(a1)sinx|2a|a1|.01a时,5|f(x)|1a24a2(23a)2A.a1时,Aa1388a41所以|f(x)|1a2A.当a1时,|f(x)|3a16a42A,所以|f(x)|2A.请考生在22、23、24题中任选一题作答。
作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
如果多做,则按所做的第一题计分。
25.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲解:
()连结PB,BC,则BFDPBABPD,PCDPCBBCD.9因为APBP,所以PBAPCB,又BPDBCD,所以BFDPCD.又PFDBFD180,PFB2PCD,所以3PCD180,因此PCD60.()因为PCDBFD,所以PCDEFD180,由此知C,D,F,E四点共圆,其圆心既在CE的垂直平分线上,又在DF的垂直平分线上,故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心,所以G在CD的垂直平分线上,因此OGCD.26.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程解:
()C的普通方程为2x2113y,C2的直角坐标方程为xy40.,5分()由题意,可设点P的直角坐标为(3cos,sin),因为C是直线,所以|PQ|的最小值,2即为P到C的距离d()的最小值,2|3cossin4|d()2|sin()2|.,8分23当且仅当2k(kZ)时,d()取得最小值,最小值为2,此时P的直角坐标为631(,)22.,10分27.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲解:
()当a2时,f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26,得1x3.因此,f(x)6的解集为x|1x3.,5分()当xR时,f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a,当1x时等号成立,2所以当xR时,f(x)g(x)3等价于|1a|a3.,7分当a1时,等价于1aa3,无解.10当a1时,等价于a1a3,解得a2.所以a的取值范围是2,).,10分11
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