高等数学应用题.docx
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高等数学应用题
第一章函数极限连续
问题1.上岸点的问题
有一个士兵P,在一个半径为R的圆形游泳池(图1—1)
内游泳,当他位于点(
)时,听到紧急集
合号,于是得马上赶回位于A=(2R,0)处的营房去,设该士
兵水中游泳的速度为
,陆地上跑步的速度为
,求赶回营房
所需的时间t与上岸点M位置的函数关系。
图1-1
解:
这里需要求的是时间t与上岸点M位置的函数关系,所以一定要先把上岸点M的位置数字化,根据本题特点可设
其中
为M的周向坐标(即极坐标系中的极角),于是本题就成为了求函数关系
的问题。
由对称性,我们可只讨论在上半圆周上岸的情况,即先确定函数
的定义域为
。
该士兵在水中游泳所花的时间为
而在陆地上跑步所需的时间,则要视上岸点位置的两种不同的情况要分别进行讨论:
1当
时,有
;
2当
时,要先跑一段圆弧
,再跑一段且线段
,所以
。
综上所述,可得
问题2外币兑换中的损失
某人从美国到加拿大去度假,他把美元兑换成加拿大元时,币面数值增加12%,回国后他发现把加拿大元兑换成美元时,币面数值减少12%。
把这两个函数表示出来,并证明这两个函数不互为反函数,即经过这么一来一回的兑换后,他亏损了一些钱。
解:
设
为将x美元兑换成的加拿大元数,
为将x加拿大元兑换成的美元数,则
而
故
,
不互为反函数。
思考题:
设一美国人准备到加拿大去度假,他把1000美元兑换成加拿大元,但因未能去成,于是又将加拿大元兑换成了美元,问题亏损了多少钱?
(14.4美元)
问题3黄山旅游问题
一个旅游者,某日早上7点钟离开安徽黄山脚下的旅馆,沿着一条上山的路,在当天下午7点钟走到黄山顶上的旅馆。
第二天早上7点钟,他从山顶沿原路下山,在当天下午7点钟回到黄山脚下的旅馆。
试证明在这条路上存在这样一个点,旅游者在两天的同一时刻都经过此点。
证明:
设两个旅馆之间的路程为L,以
表示在时刻
该旅游者离开山脚下的旅馆的路程,则可知
是区间
上的连续函数,且有
,
。
以
表示该旅游者在第二天下山时在与前一天相同时刻尚未走完的路程,则可知
是区间
上的连续函数,且有
,
。
于是原问题可转化为:
证明存在
,使
。
作辅助函数
,则
在区间
上连续,且有
,
根据闭区间上连续函数的零值定理可知,一定存在
,使
。
就得到了所需要证明的结论。
问题4利润与销量之间的函数关系
收音机每台售价90元,成本为60元。
厂家为鼓励销售商大量采购,军队凡是订购量超过100台以上的,每多订购一台,售价就降低1分(例如,某商行订购了300台,订购量比100台多200台,于是每台就降价0.01
200=2(元),商行可以按88元/台的价格购进300台),但最低价为75元/台。
1)把每台的实际售价p表示为订购量x的函数;
2)把利润P表示成订购量x的函数;
3)当一商行订购了1000台时,厂家可获利多少?
解:
1)当
时售价为90元/台。
现在计算订购量x是多少台时售价降为75元/台,
90-75=15,15
0.01=1500
所以,当订购量超过1500+100台时,每台售价为75元。
当订购量在100~1600时,售价为90-(x-100)*0.01,因而实际售价p与订购量之间的函数关系为
2)每台利润是实际售价p与成本之差
P=(p-60)x
3)由1)先计算出p=90-(1000-100)*0.01=81。
再有2)可知
P=(81-60)*1000=21000(元)
问题5Fibonacci数列与黄金分割问题
“有小兔一对,若第二个月它们成年,第三个月生下小兔一对,以后每月生产一对小兔,以后亦每月生产小兔一对。
假定每产一对小兔必为一雌一雄,且均无死亡,试问一年后共有小兔几对?
”
解:
这是意大利数学家斐波那契(Fibonacci,L)在1202年所著“算法之书”(又译《算盘书》(Liberabaci))中的一个题目。
他是这样解答的:
若用“○”、“△”分别表示一对未成年和成年的兔子(简称仔兔和成兔),则根据题设有:
从上图可知,六月份共有兔子13对;还可看出,从三月份开始,每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和。
按这规律可写出数列:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233可见一年后共有兔子233对。
这是一个有限项数列,按上述规律写出的无限项数列就叫做Fibonacci数列,其中的每一项称为Fibonacci数。
若设F0=1,F1=1,F2=2,F3=3,F4=5,F5=8,F6=13,…
则此数列应有下面的递推关系:
Fn+2=Fn+1+Fn(n=0,1,2,…)
这个关系可用数学归纳法来证明,其中的通项
是由法国数学家比内(Binet)求出的。
与Fibonacci数列紧密相关的一个重要极限是
(1)
或者
(2)
下面我们先来说明
(2)式的含义并证明之(至于
(1)式的含义见后面的说明)。
记
,则(
-1)×100%就是第(n+1)月相对于第n月的兔子对数增长率(n=0,1,2,…),例如:
……
若
存在,则(
-1)表示许多年后兔子对数的月增长率(同时也是成兔对数及仔兔对数在许多年后的月增长率——因为成兔对数、仔兔对数各自从今年1月、2月开始算起,也是Fibonacci数列)。
存在的证明及求法如下:
证:
用数学归纳法容易证明:
数列{
}是单调增加的;数列{
}是单调减少的。
又,对一切
成立。
即数列{
}、{
}是有界的。
根据“单调有界数列必有极限”的准则,知数列{
}、{
}的极限存在,分别记为
与b*,即
,
分别对
及
的两边取极限,得
与
两式相减,得
由此得
,即
。
若不然,则有
而由
,得
这是不可能的(因为
)因此
存在,记作b,即
对
的两边取极限,得
解此方程,得
,因为
,故
即
从而
可见许多年以后兔子总对数,成兔对数及仔兔对数均以每月61.8%的速率增长。
问题6巧分蛋糕
妹妹小英过生日,妈妈给做了一块边界形状任意的蛋糕(如图所示)。
哥哥小明见了也想吃,小英指着蛋糕上一点对哥哥说,你能过这点切一刀,使切下的两块蛋糕面积相等,便把其中的一块送给你。
小明苦想了半天,终于用刚刚学过的高等数学知识初步解决了这个问题。
你知道他用的是什么办法吗?
分析:
问题归结为如下一道几何证明题。
已知平面上一条没有交叉点的封闭曲线(无论什么形状),P是曲线所围图形上任一点。
求证:
一定存在一条过P的直线。
将这图形的面积二等分。
P
证明:
1.过P点认作一直线l,将曲线所围图形分为两部分,其面积分别为S1和S2。
若
S1=S2(此情况很难办到),则l即为所求;若S1
S2,则不妨设S1>S2(此时l与x轴的正向的夹角记为
,见图1-2
(2)),下面对此情况证明之。
2.以P点为旋转中心,将l按逆时针方向旋转,面积S1和S2就连续地依赖角
变
化,记为
、
,并设
。
如图1-2(3)所示。
3.函数
在
上连续,且在端点异号:
(旋转1800后的情况如1-2(4))根据零点定理,必存在一点
,使
,即使
。
过P作直线,使之与x轴正向的夹角为
,该直线即为所求。
注:
实际上小明只证明了这样的直线一定存在,究竟如何找到角
还有待研究,留给大家思考!
问题7
第二章导数与微分
问题1人在月球上能跳多高
某人身高2米,在地面上可跳过与其身高相同的高度。
假设他以同样的初速度在月球上跳,请问能跳多高?
又,为了能在月球上跳过2米,他需要多大的初速度?
o
解:
在地面上跳高,就是克服地球引力把身体“抛”到高处。
这里跳过了2米,是指把人体的重心提高到了2米。
粗略地讲,人
体的重心约在身高的一半偏上一点处,故,若把人体当作质点来看,
则可视跳高为以初速
把位于(身高
)处的一质点铅直上抛。
为
了求出所跳高度与时间t的函数关系,建立如图所示的坐标系。
由
及
得
(1)
由
及
得
(2)
在月球上跳高的情况与此类似,不同的只是这里的g由月面上的重力加速度gm所代替,若记月球上的速度与位置函数分别为vm、xm(因题设初速相同,故仍记月球上的初速为v0),则有
(3)
(4)
由(4)式知,为求此人在月球上能跳多高,需分别求出初速
及跳到最高处所需时间。
现初速
与地球上的相同,故可由
(1)、
(2)式求之:
因跳到最高处时
,故
,于是
。
又,此人在地球上跳了2米高,故有
由此得
(5)
(于是此人在地面上跳到2米高所用时间为
)
再求在月面上以初速
跳到最高处所用的时间tm:
由(3)式及
,得
,即
,由此可得
将(5)、(6)两式代入(4)式,便有
即,在月球上能跳过的高度约为7.3078米。
用与上面完全类似的推导可以得出,在月球上跳2米高所需初速为
(见(5)式),所用时间为
。
比较t=0.45s与t=1.13s不难看出,同样是跳2米高,在月球上所需时间比在地面上要慢一个因子0.4(
),这个结论具有普遍性,可用下面的地月定理来证明。
地月定理:
设
是“地面上的运动”,则
(7)
是在“月面上的运动”,这里
证:
对(7)式两端求导,则有
再对t求导,且利用
得
因此,
满足月面运动方程。
证毕。
公式(7)揭示了地、月两种运动之间的内在联系:
地面运动改变到月面运动时,时间变慢了一个因子0.4.据此原理,如果我们想看看模拟的月面运动,只需用正常速度的0.4倍放映地面运动的电影即可。
注:
地面运动系指一质点在接近地面处,在重力影响下,且仅有重力作用的垂直运动。
月面运动的概念与此类似,不再重述。
问题2油层在海面上的扩散问题
从一艘破裂的油轮中渗漏出去的油,在海面上逐渐形成油层。
设在扩散的过程中,其形状一直是一个厚度均匀的圆柱体,其体积也始终保持不变。
已知其厚度h的减少率与h3成正比,试证明其半径r的增加率与r3成反比。
证明:
在等式
两边同时对t求导,由于
和V都是常数,所以有
将题意条件
代入上式子,可得
再将
代入上式,又可得
这就是得到了所需要证明的结论。
问题3人影移动的速率
某人高1.8米,在水平路面上以每秒1.6米的速率走向一街灯,若此街灯在路面上方5米,当此人与灯的水平距离为4米时,人影端点移动的速率为多少?
解:
这是一个相关变化率的问题,一般地,设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数,而变量x与y间存在某种关系,从而变化率
与
间也存在一定关系,这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。
D
如果我们有几何学或物理学等方面的知识,得到x与y间的一个函数关系y=f(t),且f(t)可导,那么由复合函数的求导法则,有
这说明变化率
可以通过变化率
得到。
对于所给问题,如图所示,以DE和BC分别表示
人高和灯高,以DB=x和AB=y分别表示人和人影端点到灯的水平距离。
因为△ADE∽△ABC,所以
从而
,即
于是
又依题
,故
即人影端点移动的速率为2.5m/s。
思考题:
有一圆锥形容器,高度为10m,底半径4m,今以每分钟5m3的速度把水注入该容器,求当水深5m时,水面上升的速度。
其中,
(1)圆锥的顶点朝上;
(2)圆锥的顶点朝下。
(答案:
均为
)
问题4拉船靠岸问题
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