高考数学理二轮试题第10章《抛物线及其性质》含答案.docx
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高考数学理二轮试题第10章《抛物线及其性质》含答案
精品题库试题
理数
1.(2014山东青岛高三第一次模拟考试,10)如图,从点
发出的光线,沿平行于抛物线
的对称轴方向射向此抛物线上的点
,经抛物线反射后,穿过焦点射向抛物线上的点
,再经抛物线反射后射向直线
上的点
,经直线反射后又回到点
,则
等于( )
A.
B.
C.
D.
1. B
1.由题意可得抛物线的轴为
轴,
,所以
所在的直线方程为
,
在抛物线方程
中,令
可得
,即
从而可得
,
,
因为经抛物线反射后射向直线
上的点
,经直线反射后又回到点
,
所以直线
的方程为
,
故选B.
2.(2014安徽合肥高三第二次质量检测,4)下列双曲线中,有一个焦点在抛物线
准线上的是( )
A.
B.
C.
D.
2. D
2. 因为抛物线
的焦点坐标为
,准线方程为
,所以双曲线的焦点在
轴
上,双曲线
的焦点在
轴且为
满足条件.故选D.
3.(2014贵州贵阳高三适应性监测考试,10)在平面直角坐标系
中,抛物线
:
的焦点为
,
是抛物线
上的点,若
的外接圆与抛物线
的准线相切,且该圆面积
,则
( )
A.2 B.4 C.6 D.8
3.B
3.因为
的中垂线
过外接圆圆心,所以此直线与准线
的距离即为外接圆半径,故
=
,故
.
4.(2014北京东城高三第二学期教学检测,7)已知抛物线
:
的焦点与双曲线
:
的右焦点的连线交
于第一象限的点
若
在点
处的切线平行于
的一条渐近线,则
( )
A.
B.
C.
D.
4.D
4. 由已知可得抛物线的焦点
,双曲线的右焦点为
,两个点连线的直线方程为
。
设该直线与抛物线于
,则
在
处的切线的斜率为
,由题意知
,所以
,所以
,代入直线方程可解得
5.(2014山东潍坊高三3月模拟考试数学(理)试题,10)如图,已知直线l:
y=k(x+1)(k>0)与抛物线C:
y2=4x相交于A、B两点,且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N,若|AM|=2|BN|,则k的值是( )
(A)
(B)
(C)
(D) 2
5. C
5. 设点
,则由抛物线的定义可得
,整理得
①.
联立直线与抛物线方程得
,根据根与系数的关系,可得
,与①联立得
,
,所以点
,其斜率为
.
6.(2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题,10)给定圆
:
及抛物线
:
过圆心
作直线
此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为
如果线段
的长按此顺序构成一个等差数列,则直线
的斜率为( )
A.
B.
C.
D.
6. C
6. 圆P的圆心P(1,0),抛物线的焦点坐标为(1,0).由圆P与抛物线的位置关系可得,点A和点D在抛物线上,点B和点C在圆上,因为直线l过圆心,可得BC=2,又因为
的长按此顺序构成一个等差数列可得
,设点
,根据抛物线的定义可知
,可得
.显然直线l的斜率存在,设直线方程为
,联立直线与抛物线方程可得
,解得
.
7.(2014吉林实验中学高三年级第一次模拟,11)中心在原点,焦点在
轴上的双曲线
的离心率为2,直线
与双曲线
交于
两点,线段
中点
在第一象限,并且在抛物线
上,且
到抛物线焦点的距离为
,则直线
的斜率为( )
A.
B.
C.
D.
7. C
7. 根据题意可设双曲线的方程为
.根据抛物线的定义可得点M(
),设点
,则
、
,两式相减得
,因为
,则得
,即直线l的斜率为
.
8.(2014吉林实验中学高三年级第一次模拟,9)若抛物线
的焦点是F,准线是
,点M(4,4)是抛物线上一点,则经过点F、M且与
相切的圆共有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
8. C
8. 焦点F的坐标为(1,0),准线为x=-1,由圆与
相切可设圆的方程为:
,则由题意可得
①、
②两式联立得
,代入到①中消b得关于a的一元二次方程,此方程有两个实数根,由此可得此圆共有2个.
9.(2014重庆五区高三第一次学生调研抽测,8)设
为抛物线
的焦点,
为该抛物线上三点,若
,则
的值为 ( )
A.
B.
C.
D.12
9. B
9. 由
得
.
所以
.选B.
10.(2014湖北八市高三下学期3月联考,9)己知抛物线
的焦点F恰好是双曲线
的右焦点,且两条曲线的交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为( )
A.
+1 B.2 C.
D.
-1
10. A
10. 由题意得抛物线上的点
在双曲线上,而
,所以点
在双曲线上,因此
又因为
,所以
.
11.(2014湖南株洲高三教学质量检测
(一),6)在同一坐标系中,离心率为
的椭圆与离心率为
的双曲线有相同的焦点
,椭圆与双曲线的一个交点与两焦点
的连线互相垂直,则
( )
(A)2 (B)3 (C)
(D)
11. A
11. 依题意,设焦距为
,椭圆长轴长
,双曲线实轴长
,令点
在上去先的右支上,
由椭圆的定义知
,①
由双曲线的定义知
,②
又
,
,
由①
②
得
,
,即
,故
.
12.(2014天津七校高三联考,6)以抛物线
的焦点为圆心,且与双曲线
的渐近线相切的圆的方程为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
12. D
12. 由双曲线方程知
,实轴长为6,离心率
,右焦点坐标
,即圆心的坐
标,渐近线方程为
,圆心到渐近线
的距离为
,即圆的半径为4,
故所求的圆的方程为
.
13.(2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测,8)已知抛物线
,过其焦点且斜率为
的直线交抛物线于
,
两点,若线段
的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为( )
A.
B.
C.
D.
13. C
13.设
,由于直线过焦点且斜率为
,则其方程为
,
联立方程组
,消去
得
,
,
.
故抛物线的准线方程为
.
14.(2014湖北黄冈高三期末考试)已知双曲线
的两条渐近线与抛物线
的准线分别交于
、
两点,
为坐标原点,
的面积为
,则双曲线的离心率
( )
A.
B.
C.
D.
14. C
14.双曲线的性质.
双曲线的渐近线方程为
,准线方程为
,又
,即
,
,解得
.
15.(2014北京东城高三12月教学质量调研)设F为抛物线
的焦点,
、
、
为该抛物线上三点,若
,则
的值为( )
(A)3 (B)4 (C)6 (D)9
15. C
15. 由题意可得
,点
时抛物线的焦点,也是三角形
的重心,故
,
,再由抛物线的定义可得
.
16.(2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则
=________.
16.1+
16.|OD|=
|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,
故C
F
又抛物线y2=2px(p>0)经过C、F两点,
从而有
即
∴b2=a2+2ab,∴
-2·
-1=0,
又
>1,
∴
=1+
.
17.(2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试,12)抛物线
+12y=0的准线方程是___________.
17. y=3
17. 抛物线的标准方程为:
,由此可以判断焦点在y轴上,且开口向下,且p=6,所以其准线方程为y=3.
18.(2014河北唐山高三第一次模拟考试,15)过抛物线
:
的焦点
作直线
交抛物线
于
、
两点,若
到抛物线的准线的距离为4,则
________________.
18.
18. 设
,由抛物线的性质:
,所以
,又
,
所以
,从而
.
19.(2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试,15)已知抛物线
到其焦点的距离为5,双曲线
的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线
垂直,则实数
_________.
19.
19.由已知可得
,从而
.因为
,所以
,从而渐近线的斜率为
,故
,得
.
20.(2014兰州高三第一次诊断考试,15)如图,过抛物线
的焦点F的直线
依次交抛物线及其准线于点A、B、C,
若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是 .
20.
20. 如图,分别过点
、
作准线的垂线,分别交准线于
、
,设
,则由已知得
,由抛物线的定义知
,故
,
在直角三角形
中,
,
,
,即
,
又
,
,即
,
故所求抛物线方程为
.
21.(2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C:
y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=
|PQ|.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.
21.查看解析
21.(Ⅰ)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=
.
所以|PQ|=
|QF|=
+x0=
+
.
由题设得
+
=
×
解得p=-2(舍去)或p=2.
所以C的方程为y2=4x.(5分)
(Ⅱ)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).
代入y2=4x得y2-4my-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.
故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=
|y1-y2|=4(m2+1).
又l'的斜率为-m,所以l'的方程为x=-
y+2m2+3.
将上式代入y2=4x,并整理得y2+
y-4(2m2+3)=0.
设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-
y3y4=-4(2m2+3).
故MN的中点为E
|MN|=
|y3-y4|
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- 抛物线及其性质 高考 学理 二轮 试题 10 抛物线 及其 性质 答案