6.函数图象的推导应注意哪些?
探寻函数图象与解析式之间的对应关系的方法:
(1)知图选式:
①从图象的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域;②从图象的变化趋势,观察函数的单调性;③从图象的对称性方面,观察函数的奇偶性;④从图象的循环往复,观察函数的周期性.
(2)知式选图:
①从函数的定义域,判断图象左右的位置,从函数的值域,判断图象的上下位置;②从函数的单调性,判断图象的变化趋势;③从函数的奇偶性,判断图象的对称性;④从函数的周期性,判断图象的循环往复.
7.确定函数零点的常用方法有哪些?
函数零点个数的判断方法:
(1)直接法:
令f(x)=0,则方程解的个数为函数零点的个数.
(2)零点存在性定理:
利用该定理不仅要求曲线f(x)在[a,b]上是连续的,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合:
对于给定的函数不能直接求解或画出图象,常会通过分解转化为两个函数的图象,然后通过数形结合,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
二、导数
1.如何利用导数的方法研究函数的单调性?
利用导数研究函数的单调性有什么应用?
在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0(f'(x)<0),那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增(单调递减).
利用导数研究函数单调性的应用:
(1)利用导数判断函数的图象.
(2)利用导数解不等式.(3)求参数的取值范围:
①y=f(x)在(a,b)上单调,则(a,b)是相应单调区间的子集.②若函数单调递增,则f'(x)≥0;若函数单调递减,则f'(x)≤0.
2.如何判断函数的极值?
如何确定函数的最值?
当f'(x0)=0时,若在x0附近左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.
将函数y=f(x)在[a,b]上的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
3.利用导数可以解决哪些不等式问题?
(1)利用导数证明不等式:
证明f(x)(2)利用导数解决不等式的“恒成立”与“存在性”问题:
①f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔I是f(x)>g(x)的解集的子集⇔[f(x)-g(x)]min>0(x∈I);
②∃x∈I,使f(x)>g(x)成立⇔I与f(x)>g(x)的解集的交集不是空集⇔[f(x)-g(x)]max>0(x∈I);
③对∀x1,x2∈I,f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min;
④对∀x1∈I,∃x2∈I,f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min.
函数是一条主线,贯穿于整个高中数学,导数是重要的解题工具,是解决函数问题的利器,因此,函数与导数在高考数学中的地位不言而喻.本专题内容也是高考中重要的考点之一,从近年高考的命题情况来看,本专题在高考分值中占20%左右,试题的易、中、难比例相当,选择题、填空题和解答题均有考查.
一、选择题和填空题的命题特点
(一)考查函数图象的判断及简单应用.试题难度中档,综合考查函数的解析式、定义域、值域及单调性、奇偶性等性质的综合.
1.(2018·全国Ⅱ卷·理T3改编)函数f(x)=
的图象大致为( ).
解析▶ ∵f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=
=-f(x),∴f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除A;又当x>0时,5x>1>5-x,∴f(x)>0,排除D;f
(2)>1,排除C.故选B.
答案▶ B
2.(2017·全国Ⅰ卷·文T8改编)函数y=
的部分图象大致为( ).
解析▶ 因为函数为奇函数,所以其图象关于原点对称,所以选项C,D错误;
又当x=0时,y=0,所以选项B错误.故选A.
答案▶ A
(二)考查函数的基本性质及简单应用.试题难度中档,综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性及图象的推理能力等.
3.(2018·全国Ⅱ卷·理T11改编)已知f(x)是定义域为R的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f
(1)=2,则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(2018)=( ).
A.-2018B.0C.2D.50
解析▶ ∵f(x)是奇函数,且f(1-x)=f(1+x),
∴f(1-x)=f(1+x)=-f(x-1),f(0)=0,
∴f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
即函数f(x)是周期为4的周期函数.
∵f
(1)=2,
∴f
(2)=f(0)=0,f(3)=-f
(1)=-2,f(4)=f(0)=0,
∴f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,
∴f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(2018)=504[f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)]+f(2017)+f(2018)=f
(1)+f
(2)=2+0=2.故选C.
答案▶ C
(三)考查基本初等函数的性质及应用.试题难度较大,综合考查基本初等函数的性质与图象.
4.(2018·全国Ⅲ卷·文T16改编)已知函数f(x)=log2(
-x)+2,f(a)=3,则f(-a)= .
解析▶ 因为f(x)log=2(
-x)+2,
所以f(x)+f(-x)=log2(
-x)+2+log2[
-(-x)]+2=log2(1+x2-x2)+4=4.
因为f(a)=3,所以f(-a)=4-f(a)=4-3=1.
答案▶ 1
5.(2018·全国Ⅰ卷·文T13改编)已知函数f(x)=log3(x2+a),若f
(2)=1,则a= .
解析▶ ∵f
(2)=1,log∴3(4+a)=1,∴4+a=3,∴a=-1.
答案▶ -1
6.(2017·全国Ⅱ卷·文T8改编)函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递减区间是( ).
A.(-1,1]B.[1,3)
C.(-∞,1]D.[1,+∞)
解析▶ 令t=-x2+2x+3,由t>0,求得-1故函数的定义域为(-1,3),且y=lnt,
故本题为求函数t=-x2+2x+3在定义域内的单调递减区间.
利用二次函数的性质求得t=-(x-1)2+4在定义域内的单调递减区间为[1,3),故选B.
答案▶ B
(四)考查函数零点的判断及应用,同时考查函数与方程的思想、转化思想及数形结合思想,试题难度较大.
7.(2017·全国Ⅲ卷·理T11改编)已知函数f(x)=x2-4x+a(10x-2+10-x+2)有唯一零点,则a=( ).
A.4B.3C.2D.-2
解析▶ 函数f(x)有唯一零点等价于方程4x-x2=a(10x-2+10-x+2)有唯一解,
等价于函数y=4x-x2的图象与y=a(10x-2+10-x+2)的图象只有一个交点.
当a=0时,f(x)=x2-4x,此时函数有两个零点,矛盾;
当a<0时,由于y=4x-x2在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,且y=a(10x-2+10-x+2)在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,所以函数y=4x-x2的图象的最高点为A(2,4),y=a(10x-2+10-x+2)的图象的最高点为B(2,2a),由于2a<0<4,所以此时函数y=4x-x2的图象与y=a(10x-2+10-x+2)的图象不可能只有1个交点,矛盾;
当a>0时,由于y=4x-x2在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,且y=a(10x-2+10-x+2)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以函数y=4x-x2的图象的最高点为A(2,4),y=a(10x-2+10-x+2)的图象的最低点为B(2,2a),由题意可知点A与点B重合时满足条件,即2a=4,解得a=2,符合条件.故选C.
答案▶ C
(五)考查导数的几何意义及简单的导数计算.导数的几何意义一直是高考的热点和重点,试题综合考查导数的计算及直线方程的知识,难度较小.
8.(2018·全国Ⅰ卷·理T5改编)设函数f(x)=x3+(a+1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 .
解析▶ 因为函数f(x)是奇函数,所以a+1=0,解得a=-1,所以f(x)=x3-x,f'(x)=3x2-1,所以f'(0)=-1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=-x.
答案▶ y=-x
二、解答题的命题特点
在全国卷中,函数与导数的综合试题一般为第21题,是全卷的压轴题.试题难度较大,综合性强,主要考查函数单调性的判断,函数零点个数的判断,极(最)值的应用,恒成立问题,不等式的证明等.
1.(2018·全国Ⅰ卷·文T21改编)已知函数f(x)=aex+lnx+1.
(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;
(2)证明:
当a≤-
时,f(x)≤0.
解析▶
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=eax+
.
由题设知,f'
(2)=0,所以a=-
.
从而f(x)=-
ex+lnx+1,
则f'(x)=-
ex+
.
当00;当x>2时,f'(x)<0.
所以f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减.
(2)当a≤-
时,f(x)≤-
+lnx+1.
设g(x)=-
+lnx+1,则g'(x)=-
+
.
当00;当x>1时,g'(x)<0.
所以x=1是g(x)的最大值点.
故当x>0时,g(x)≤g
(1)=0.
因此,当a≤-
时,f(x)≤0.
2.(2017·全国Ⅰ卷·文T21改编)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x,其中参数a≤0.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.
解析▶
(1)f'(x)=e22x-eax-a2=(e2x+a)e(x-a).
①若a=0,则f(x)=e2x,其在R上单调递增.
②若a<0,则由f'(x)=0,得x=ln
.
当x∈
时,f'(x)<0;当x∈
时,f'(x)>0.
故f(x)在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)①当a=0时,f(x)=e2x≥0恒成立.
②若a<0,则由
(1)得,当x=ln
时,f(x)取得最小值,最小值为f
=a2
故当且仅当a2
≥0,即a≥-2
时,f(x)≥0.
综上,a的取值范围是[-2
0].
1.识别函数图象的常用方法:
(1)直接法:
直接求出函数的解析式并画出其图象.
(2)特例排除法,例如,根据已知函数的图象或已知函数的解析式,取特殊点,判断各选项的图象是否经过该特殊点.(3)性质(单调性、奇偶性、过定点等)验证法.(4)较复杂函数的图象,常借助导数这一工具,先对原函数进行求导,再利用导数判断函数的单调性、极值或最值,从而对选项进行筛选.
2.函数性质综合问题的常见类型及解题策略:
(1)单调性与奇偶性结合.解决此类问题要注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.
(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.
3.对于函数零点(方程的根)的确定问题,高考常从以下几个方面进行考查:
(1)函数零点值大致所在区间的确定;
(2)零点个数的确定;(3)两个函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决此类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是方程两边对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解.
4.利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来转化,关键是求出切点的坐标.
5.利用导数研究函数的单调性:
(1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求f'(x)>0,f'(x)<0的解集,求单调区间应遵循定义域优先的原则;
(2)含参函数的单调性要分类讨论,通过确定导数的符号判断函数的单调性;(3)注意两种表述“函数f(x)在(a,b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a,b)”的区别.
6.利用导数研究函数极值、最值的方法:
(1)若求极值,则先求方程f'(x)=0的根,再检查f'(x)在方程根的左右函数值的符号;
(2)若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f'(x)=0根的大小或存在情况来求解;(3)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.