曾量子力学练习题答案.docx
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曾量子力学练习题答案
曾量子力学练习题答案
【篇一:
量子力学曾谨言第八章第九章习题详解】
表象中,求?
?
x的本征态[1]在?
(解)设泡利算符?
,?
x,的共同本征函数组是:
x1?
sz?
和x
2
?
1
2
2
?
sz?
(1)
?
x的本征函数,但它们构成一个完整或者简单地记作?
和?
,因为这两个波函数并不是?
?
x的本征函数可表系,所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示(叠加原理),?
示:
?
?
c1?
?
c2?
(2)
?
x的本征值?
,则?
?
x的本征方程式是:
c1,c2待定常数,又设?
?
x?
?
?
?
(3)?
将
(2)代入(3):
?
x?
c1?
?
c2?
?
?
?
?
c1?
?
c2?
?
(4)?
?
z表象基矢的运算法则是:
?
x对?
根据本章问题6(p.264),?
?
x?
?
?
?
x?
?
?
?
?
?
x的本征矢
(2)是归一花的,将(5)代入(4)此外又假设?
:
c1?
?
c1?
?
?
c1?
?
?
c2?
比较?
?
的系数(这二者线性不相关),再加的归一化条件,有:
?
c1?
?
c2?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(6a)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(6b)?
c2?
?
c1
?
c2?
c2?
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(6c)
2?
1
2
前二式得?
?
1,即?
?
1,或?
?
?
1
当时?
?
1,代入(6a)得c1?
c2,再代入(6c),得:
c1?
12
ei?
c2?
12
ei?
?
是任意的相位因子。
当时?
?
?
1,代入(6a)得
c1?
?
c2
代入(6c),得:
c1?
12
ei?
c2?
?
12
ei?
?
x的本征函数:
最后得?
x1?
ei?
2ei?
2
(?
?
?
)对应本征值1
x2?
(?
?
?
)对应本征值-1
?
x?
?
2共同表象中,采用sz作自变量时,既是坐标表以上是利用寻常的波函数表示法,但在?
象,同时又是角动量表象。
可用矩阵表示算符和本征矢。
?
c1?
?
1?
?
0?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
c?
(7)
01?
2?
?
?
?
?
?
x的矩阵已证明是?
?
01?
?
x?
?
?
?
10?
?
?
x的矩阵式本征方程式是:
因此?
?
?
c1?
?
01?
?
c1?
(8)?
?
?
?
?
?
?
cc?
01?
?
2?
?
2?
?
x本征矢的矩阵形式是:
其余步骤与坐标表象的方法相同,?
ei?
?
1?
ei?
?
1?
x1?
?
1?
x2?
?
?
1?
2?
?
2?
?
?
?
?
[2]在?
z表象中,求?
?
n的本征态,n(sin?
cos?
sin?
sin?
cos?
)是(?
?
)
方向的单位矢。
?
?
(解)方法类似前题,设?
?
n算符的本征矢是:
x?
c1?
?
c2?
(1)
它的本征值是?
。
又将题给的算符展开:
?
x?
sin?
y?
co?
?
z
(2)?
?
n?
sin?
co?
s?
?
sin?
?
s?
?
y?
cos?
?
?
z?
?
c1?
?
c2?
?
?
?
?
c1?
?
c2?
?
(3)?
sin?
sin?
?
?
?
写出本征方程式:
?
?
sin?
cos?
?
x
?
z?
?
2的共同本征矢?
,?
,运算法则是?
x,?
?
y对?
根据问题(6)的结论,?
?
x?
?
?
?
x?
?
?
,?
?
y?
?
i?
,?
,?
?
z?
?
?
,?
?
z?
?
?
?
(4)?
y?
?
i?
,?
?
将这些代入(3),集项后,对此两边?
,?
的系数:
?
?
cos?
c1?
(sin?
cos?
?
isin?
sin?
)?
?
c1
(5)
?
(sin?
cos?
?
isin?
sin?
)?
cos?
c2?
?
c2
?
(cos?
?
?
)c1?
sin?
e?
i?
?
c2?
0
或?
(6)i?
?
sin?
e?
c1?
(cos?
?
?
)c2?
0
(6)具有非平凡解(平凡解c1?
0,c2?
0)条件是久期方程式为零,即
co?
s?
?
sin?
e?
i?
2
?
?
1(7)它的解?
0i?
sin?
e?
co?
s?
?
?
?
1时,代入(6)得:
c2?
tg
?
2
ei?
?
c1(8)
(1)的归一化条件是:
c1将(8)代入(9),得:
c1?
e
i(?
?
?
)
2
?
c2
2
?
1
cos
?
2
c2?
esin
i?
?
2
归一化本征函数是:
?
?
?
?
?
1?
e?
i?
?
e?
i?
co?
?
si?
?
(10)
?
2
2?
?
?
?
1时,c1,c2的关系是:
c2?
?
ctg
?
2
e?
i?
?
c1
归一化本征函数是:
?
?
?
?
?
2?
ei?
?
?
e?
i?
sin?
?
cos?
?
(11)
?
2
2?
?
是任意的相位因子。
本题用矩阵方程式求解:
运用矩阵算符:
?
01?
?
0?
i?
?
10?
?
y?
?
?
z?
?
?
x?
?
?
?
,?
?
,?
?
(12)
10i00?
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
cos?
?
?
n?
?
i?
?
sin?
e
本征方程式是:
sin?
e?
i?
?
?
(13)
?
cos?
?
?
co?
ssin?
e?
i?
?
?
c2?
?
c2?
?
?
?
?
?
?
?
?
(14)i?
?
e?
co?
s?
?
c2?
?
c2?
?
sin?
?
?
?
n的本征矢是:
?
?
i(?
?
?
)?
?
?
i(?
?
?
)?
coesine?
?
?
?
221?
?
(15)2?
?
?
i?
?
?
i?
?
?
sie?
?
?
cose?
22?
?
?
?
补白:
本征矢包含一个不定的相位因式e,由于?
可以取任意值,因此?
1,?
2的形
式是多式多样的,但(15)这种表示法是有普遍意义的。
2
[3]在自旋态下?
1(sz)?
?
?
,求?
sx和?
sy
2
i?
?
1?
?
0?
2
22
?
x(解)?
sx是s的均方偏差
22
?
sx?
sx?
(sx)222?
sy?
y是,s的均方偏差222
?
sy?
sy?
(sy)
?
2
?
?
1(sz)?
s?
1(sz)
422
2
x
?
2
?
?
1(sz)?
s?
?
1(sz)s
422
2
x
2x
?
?
x?
1(sz)?
?
1(sz)?
1(sz)sx?
?
1(sz)s
2?
2
222?
?
?
1(sz)?
1(sz)?
0
?
22
2
?
2
?
x,s?
y对称,因而因此?
s?
在?
1(sz)态下,s
42
2
x
?
2
?
s?
4
2y
[4]求在下列状态下?
j2和?
jz的可能测值。
(1)?
1?
?
1(sz)?
11(?
?
)
(1)
2
(2)?
2?
?
1?
2?
(s)?
(?
?
)?
?
(s)?
(?
?
)?
?
(2)1z101z11
?
?
22?
?
1?
?
(s)?
(?
?
)?
2?
(s)?
(?
?
)?
1z1?
1?
(3)1z10
?
3?
22?
?
1
2
(3)?
3?
(4)?
4?
?
(sz)?
1?
1(?
?
)(4)
(解)依8.2总角动量理论,若电子的轨道运动的态用量子数?
l,m?
表示,在考虑到自
?
2,?
旋的情形下,若用(lj2,?
jz)共同表象,则电子的态可有四种;若l?
m,有以下二态:
?
l?
m?
1?
?
l,m(?
?
)?
?
12l?
1?
(5)j?
l?
?
(?
?
sz)?
?
2?
l?
m?
?
(?
?
)l,m?
1?
?
?
2l?
1?
?
?
l?
m
?
l,m(?
?
)?
?
?
12l?
1?
(6)j?
l?
?
(?
?
sz)?
?
2?
l?
m?
1?
?
(?
?
)l,m?
1?
?
?
2l?
1?
若l?
m,有以下的二态:
?
?
l,l(?
?
)?
1
j?
l?
?
(?
?
sz)?
?
?
(7)
02?
?
j?
l?
0?
?
1
?
(?
?
sz)?
?
?
(8)
?
(?
?
)2?
l,?
l?
【篇二:
量子力学习题集及答案】
xt>一、填空题
1.2.
设电子能量为4。
索末菲的量子化条件为(pdq?
nh),应用这量子化条件求得一维谐振子的能级en?
。
3.
德布罗意假说的正确性,在1927年为戴维孙和革末所做的(电)子衍
?
?
射实验所证实,德布罗意关系(公式)为(e?
?
?
)和(p?
?
k。
?
?
?
r?
=(三维空间自由粒子的归一化波函数为?
p
p?
r1?
e),3/2
(2?
?
)
i?
?
?
4.
?
5.
?
?
?
?
?
?
?
r?
d?
?
(?
(p?
?
p))。
?
?
?
pp?
?
r?
p?
r?
1*?
?
?
(r)?
(r)d?
?
e),?
?
p?
p?
(2?
?
)3/2
?
i?
?
?
?
?
?
?
?
(r)?
动量算符的归一化本征态?
p(?
?
(?
(p?
?
p))。
6.
t=0时体系的状态为?
?
x,0?
?
?
0?
x?
?
2?
2?
x?
,其中?
n?
x?
为一维线性谐振子的定态波函数,则?
?
x,t?
?
(?
0(x)e
i
?
?
t2
?
2?
2(x)e
5i?
?
t2
2
)。
7
.按照量子力学理论,微观粒子的几率密度w=),几率流密度=
i?
。
?
*?
?
?
?
?
?
*)
2?
?
2?
?
?
的设?
(r)描写粒子的状态,(r)是(),在?
(r)中f
?
?
dx?
*?
dx)平均值为=(?
*f。
(
8.
?
?
?
?
9.
波函数?
和c?
是描写(同一)状态,?
ei?
中的ei?
称为(相因子),
ei?
不影响波函数?
i?
?
1)。
10.11.
定态是指(能量具有确定值)的状态,束缚态是指(无穷远处波函数为
零)的状态。
ee
?
(x,t)?
?
1(x)exp(?
i1t)?
?
2(x)exp(?
i2t)是定态的条件是
?
?
(e1?
e2),这时几率密度和()都与时间无关。
(粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象)称为隧道效应。
(无穷远处波函数为零)的状态称为束缚态,其能量一般为(分立)谱。
3.t=0时体系的状态为?
?
x,0?
?
?
0?
x?
?
?
3?
x?
,其中?
n?
x?
为一维线性谐振
12.13.14.
15.
?
?
3(x)e子的定态波函数,则?
?
x,t?
?
(0(x)e。
粒子处在0?
x?
a的一维无限深势阱中,第一激发态的能量为
i?
?
t2
?
7i?
t2
2?
2?
2?
2
x)()
。
2
a?
a
16.基态是指(能量最低)的状态,写出一维线性谐振子的基态波函数:
(n0e?
?
22
x/2
)。
17.
3
一维线性谐振子的第一激发态的能量为(?
?
)、第一激发态的波函数
2
为(n12?
xe?
?
18.19.20.21.22.
22
x/2
)。
(对应于同一本征值的本征函数的数目)称为简并度,不考虑电子自旋
时,氢原子的第n个能级的简并度为(n2)。
一维无限深势阱第n个能级的简并度为
(1),不考虑电子自旋时,氢原
2
子的第n个能级的简并度为(n)。
一维线性谐振子第n个能级的简并度为
(1),考虑电子自旋以后,氢原
2
子的第n个能级的简并度为(2n)。
氢原子的状态为r32(r)y21(?
?
),角动量平方是2、角动量z分量。
?
的定义是:
对于两任意函数?
和?
等式厄密算符f
?
?
dx?
(f?
?
)*?
dx)成立。
(?
?
*f?
23.24.
25.26.
27.28.
力学量算符的本征值必为(实数),力学量算符的属于两个不同本征值的本征态必(相互正交)。
力学量算符的属于(不同本征值)的本征函数必相互(正交)。
量子力学中,力学量算符都是(厄米)算符,力学量算符的本征函数组成(完全)系。
?
z=算符在其自身表象中的矩阵为(对角)矩阵,例如在?
z表象中?
?
10?
(?
。
?
0?
1?
?
)
?
?
?
]=0,?
存在组成?
,g?
,g?
2,l?
的如果[f则f(完全)系的共同本征态,l
z
共同本征态是(ylm(?
?
))。
?
存在有组成(完全)系的共同本征态,则[f?
]=(0)?
,g?
,g如果f,
?
2,l?
的共同本征态是(y(?
?
))l。
lmz
29.30.31.32.
对易子[
dx
?
l?
]?
(?
i?
l?
),[l。
e]?
xyxz
dx
?
l?
]?
(i?
l?
)?
y]?
?
x]?
[x,p,[x,p,[l。
xyz
d?
x
?
y]?
?
x]?
()。
[y,p,[y,p。
e]?
?
xdx
,x和px的测不准关系是[
?
2(?
x?
?
p?
)。
4
____
2
____
2x
33.在一维情况下,若粒子处于状态?
(x,t)中,则在动量表象中的波函数为
?
?
c(p,t)?
(?
?
(x,t)e
?
?
i?
px?
dx)。
34.
35.
36.37.38.39.40.
?
的本征态?
(x)的迭加态?
(x)?
3?
(x)?
4?
(x)一维线性谐振子处在hn24
55
?
表象中一维线性谐振子的波函数为?
?
=(中,则在h
-4/5,0,…))。
斯特恩—革拉赫证实电子具有(自旋)角动量,它在任何方向上投影只
?
?
能取两个值()和(?
)。
22
?
?
?
?
?
?
?
x?
?
y?
?
?
y?
?
x=(2i?
?
z)?
,s?
s=。
?
2,l?
]=(0)?
x?
?
y?
?
?
y?
?
x=()?
,[l。
z
?
cos?
?
?
?
s在sz表象中,粒子处在自旋态?
?
?
中,=(。
cos2?
)z?
sin?
?
2?
?
?
cos?
?
在?
z表象中,粒子处在自旋态?
?
?
。
?
sin?
?
?
中,?
x=?
?
?
?
01?
2?
1?
?
?
?
?
?
s?
?
,则在状态中,=()。
x?
?
?
?
2?
1?
2?
10?
2
41.全同性原理的内容是:
(在全同粒子组成的体系中,两全同粒子相互代换
不引起物理状态的改变)。
42.泡里原理的内容是:
(不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态)。
43.描写电子体系的波函数只能是(反对称)波函数,而电子体系的自
旋波函数则可以是(对称)或者(反对称)的。
44.电子是(费密)子,服从(费密-狄拉克)统计,描写电子体系的波
函数只能是(反对称)波函数。
45.描写玻色子体系的波函数只能是(对称)波函数,而玻色子体系的自旋
波函数则可以是(对称)或者(反对称)的。
46.描写费密子体系的波函数只能是(反对称)波函数,而费密子体系的自
旋波函数则可以是(对称)或者(反对称)的。
47.光子是(玻色)子,服从(玻色-爱因斯坦)统计,描写光子体系的
波函数只能是(对称)波函数。
――――――――――――――――――――――――――――――
在sz表象中,sx?
二、计算、证明题
?
0,0?
x?
a
1.粒子在一维势场u(x)?
?
中运动,试从薛定谔方程出发求出
?
?
x?
a,x?
0?
粒子的定态能级和归一化波函数.
解:
当x?
0,x?
a,u?
?
?
(0)?
0
22?
d?
?
?
e?
?
?
?
?
e?
.当0?
x?
a,h22?
dx
2?
ed22
令k?
得?
?
k?
?
022
?
dx
?
(x)?
c1sinkx?
c2coskx
?
?
(0)?
0,?
c2?
0,?
(r)?
c1sinkx?
?
(a)?
0,?
sinax?
0,ak?
n?
(n?
1,2,3,?
)
n?
n2?
2?
2
?
(x)?
csinx,en?
1
a2?
a2
a
2
(n?
1,2,?
)
?
nd?
?
1?
c1?
2
a
2.一粒子在一维势场u?
x?
?
1
?
?
2x2?
bx中运动,试求粒子的能级和归一化定态2
波函数(准确解)。
解:
22222
?
d1bb?
d12222?
?
?
?
?
?
(x?
)?
h?
?
?
x?
bx?
?
2?
dx222?
dx22?
?
22?
?
2
d2d2
令x?
?
x?
则2?
22
?
?
dxdx?
b
?
2d21b222
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2?
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2?
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x?
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?
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2d21b222?
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x?
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e?
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e?
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2?
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2
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x?
21
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),?
n(x?
)?
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x?
),en
21b2
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(n?
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en,
22?
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2
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2
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0,1,2,?
)
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2?
b?
?
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b
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x?
h(?
x?
),(n?
0,1,2,?
)n2?
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2?
2?
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?
?
?
?
3.一粒子在硬壁球形空腔中运动,势能为
?
0,r?
r0;
u?
r?
?
?
?
?
?
r?
r0.
试从薛定谔方程出发求粒子在s态中的能级和定态波函数(不必归一化)。
1d22
(rf)}{提示:
在s态中?
f?
2
rdr
解:
当r?
r0,u?
?
?
(r)?
0
222?
?
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e?
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e?
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当r?
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2?
rdr
2?
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得(r?
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k(r?
)?
022
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dr
?
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(c1coskr?
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c1?
0,?
(r)?
2sinkr
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0,?
si0k?
0,r0k?
n?
(n?
1,2,3,?
)en?
n2?
2?
22?
r0
2
?
n(r)?
c2n?
si,rr0
(n?
1,2,?
)
?
u0?
0?
当0?
x?
a?
?
u0
4.粒子在一维势场u?
x?
?
?
中运动,试从薛定
?
?
当x?
0,x?
a?
谔方程出发求出粒子的定态能级和归一化波函数。
解:
1.当x?
0,x?
a,u?
?
?
(0)?
0
22?
d?
?
?
e?
?
?
?
?
u0?
?
e?
.当0?
x?
a,h
2?
dx2
2(e?
u0)d22
令k?
得?
?
k?
?
022
?
dx
?
(x)?
c1sinkx?
c2coskx
?
?
(0)?
0,?
c2?
0,?
(r)?
c1sinkx?
?
(a)?
0,?
sinax?
0,ak?
n?
(n?
1,2,3,?
)
n?
n2?
2?
2
?
(x)?
csinx,en?
?
u,10
a2?
a2
a
2
(n?
1,2,?
)
?
nd?
?
1?
c1?
2
a
?
本征函数?
(x)的正交归一完全性,证明5.利用力学量算符fn
*?
本征值。
?
?
(x)dx?
?
c2式中,?
为f?
(x)f?
nnn?
n
解:
?
?
?
?
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fnnn
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?
?
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n
n
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c?
(x)dxc?
nn?
?
m?
m(x)fm
n
*?
?
(x)dx?
?
?
(x)f
**=?
?
cmcn?
n?
?
m(x)?
n(x)dxm
n
*=?
?
cmcn?
n?
mnm
n
?
?
?
ncn
n
2
?
有一组共同本征态?
,?
和g?
和6.求证:
如果算符f而且?
n组成完全系,则算符fn?
对易。
g
?
?
?
?
?
解:
设fnnn
?
?
?
?
?
gnnn
任一波函数?
可展开为?
?
?
cn?
n
n
【篇三:
量子力学试题附答案】
程名称量子力学适用时间试卷类别适用专业05级物理学1、2、3班本文档是我在淘宝0.8元购买的,求报销!
!
!
填空题中的1、2、4题,是量子力学基本知识,值得考。
1、玻尔原子模型的三个假设是()。
2、波函数的标准条件为()。
3、正交归一方程umund?
?
?
mn的狄拉克表示为()。
4、动量表象下的坐标算符表示形式()。
?
*
?
2和l?
的共同本征函数为()5、l。
z
选择题中2、4两题亦考察基本知识,可以考,不至于太难。
1、?
与?
对易,则两算符:
(1)有组成完全系的共同本征函数;
(2)没有组成完全系的共同本征函数;
(3)不能确定。
2、自由粒子能级的简并度为:
(1)1
(2)2(3)3(4)4
3、设线性谐振子处于?
(x)?
?
0(x)?
?
1(x)描述的状态时,则该态中能量的平均值为
(1)0;
(2)123275?
(3)?
;(4)5?
52
4、两个能量本征值相同的定态,它们的线性组合
(1)一定是定态;
(2)不是定态
(3)不能确定
5、对氢原子体系(不考虑自旋)在电偶极近似下,下列能够实现的跃迁是:
就题目来讲,简述题中1、2题有些熟悉,知道在书中哪里,可以考。
1、光电效应实验的规律
2、量子力学中态的叠加原理
3、希尔伯特空间
4、辏力场中,偶极跃迁的选择定则
第2题,厄米算符的这个证明熟悉
1、求证在l?
z的本征态下lx?
0。
?
是厄米算符,若f?
也是厄米算府。
?
和g?
g?
?
0,证明f?
g2、设f?
?
计算题中,第1、3题是典型计算,针对性强,求考!
!
!
下附试题答案!
!
!
五、计算题(40分)
?
2和l?
的共同表象中,算符l?
的矩阵分别为1.(15分)设已知在lzx
?
010?
?
?
?
lx?
?
101?
2?
?
?
010?
求它的本征值和归一化的本征函数。
02.(10分)设体系未受微扰时只有二个能级e10及e2,现在受到微扰h作用,微扰矩阵元为/
////h12?
h21?
a,h11?
h22?
b;a,b都是实数,用微扰公式计算能量到二级修正。
3.(15分)设氢原子处于
?
(r,?
?
)?
1r21(r)y10(?
?
)?
r31(r)y10(?
?
)r21(r)y1?
1(?
?
)2的状态上,求其能量、角动量平方及角动量z分量的可能取值与相应的取值概率,进而求出它们的平均值。
宝鸡文理学院试题参考答案与评分标准
课程名称量子力学适用时间试卷类别a适用专业05级物理学1、2、3班
1.定态假设,频率条件(或h?
?
en?
em),角动量量子化(或l?
n?
);
2.单值,有限,连续
4.i?
3.mn?
?
mn?
5.ylm(球谐函数)?
px
1、光电效应:
(1)?
?
?
0时,不能发射光电子…………………….……………..……..(2分)
(2)最大初动能与入射的光强度无关…………..…………………………(2分)
(3)驰豫时间很短…..……….……………………………..…………………(1分)
2、如果?
1和?
2是体系的可能状态,那么它们的线性叠加?
?
c1?
1?
c2?
2也是这个体系的一个
可能状态…..……….……………………………..…………………(5分)
3、量子力学中,厄米算符的本征函数{un}组成正交归一完全系,以{un}为基函数的空间叫希尔
伯特空间…………………………………..……………………..………………..……..…(5分)
4、辏力场中,偶极跃迁的选择定则:
(1)?
l?
l?
?
l?
?
1………………..……………..……..(2分)
(2)?
m?
m?
?
m?
0,?
1…………………………..…(3分)
1.角动量分量算符满足对易关系:
?
l?
?
l?
l?
?
?
il?
……………..……………………………………….
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