普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国1卷试题与答案.docx
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普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国1卷试题与答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如
需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。
1i
z2i|z|1.设,则
1i
1
A.B.C.1D.2
0
2
220
2.已知集合,则
AxxxeRA
A.B.
x1x2x1x2
x|x1x|x2x|x1x|x2C.D.
3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该
地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,
得到如下饼图:
建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
San3S3S2S4a12a5
4.记为等差数列的前项和.若,,则
nn
121010A.B.C.
D.12
32
fxxaxaxf(x)yf(x)(0,0)
5.设函数()
(1).若为奇函数,则曲线在点处的
切线方程为
yxyxy2x
2
A.B.C.
yxD.
△ABCADBCEADEB6.在中,为边上的中线,为的中点,则
3113
A.B.C.
ABACABAC
4444
31
ABAC
44
D.
13
ABAC
44
M
7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点在正视图上的对应
ANBMN点为,圆柱表面上的点在左视图上的对应点为,则在此圆柱侧面上,从到
的路径中,最短路径的长度为
A.17B.C.3
225
D.2
2
8.设抛物线C:
y
2=4x的焦点为F,过点(–2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,
3
则=
FMFN
A.5B.6C.7
D.8
xx
e,0,
f(x)g(x)f(x)xa
9.已知函数.若g(x)存在2个零点,则a的
lnx,x0,
取值范围是
A.[–1,0)B.[0,+∞)C.[–1,+∞)
D.[1,+∞)
10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆
的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.ABC的三边所围成的
△
区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自
Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则
A.p1=p2B.p1=p3
C.p2=p3D.p1=p2+p3
2
x
21y
11.已知双曲线C:
,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条
3
渐近线的交点分别为M、N.若△为直角三角形,则|MN|=
OMN
3
A.B.3C.23D.4
2
12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所
得截面面积的最大值为
332332
A.B.C.D.
434
3
2
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
x2y20
xyxy
10
13.若,满足约束条件,则z3x2y的最大值为_____________.
y0
SannS2a1S6
14.记为数列的前项和.若,则_____________.
nnn
15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法
共有_____________种.(用数字填写答案)
fx2sinxsin2xfx
16.已知函数,则的最小值是_____________.
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,
每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
60分。
17.(12分)
ABCDADC90A45AB2BD5在平面四边形中,,,,.
cosADB
(1)求;
DC22BC
(2)若,求.
18.(12分)
ABCDE,FAD,BCDF△DFC如图,四边形为正方形,分别为的中点,以为折痕把
CPPFBF折起,使点到达点的位置,且.
(1)证明:
平面平面;
PEFABFD
DPABFD
(2)求与平面所成角的正弦值.
19.(12分)
2
x
2
C:
y1FFlCA,BM设椭圆的右焦点为,过的直线与交于两点,点的坐标
2
(2,0)为.
(1)当与轴垂直时,求直线的方程;
lxAM
(2)设O为坐标原点,证明:
OMAOMB.
20.(12分)
某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,
如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再
根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为
p(0p1)
,且各件产品是否为不合格品相互独立.学科&网
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点.
f(p)f(p)
0
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以
(1)中确定的作为
pp
0
的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件
不合格品支付25元的赔偿费用.
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为,
X
EX求;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作
检验?
21.(12分)
1
f(x)xalnx已知函数.
x
f(x)
(1)讨论的单调性;
fxfx
12
(2)若存在两个极值点x1,x2,证明:
a2.
f(x)
xx
12
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第
一题计分。
22.[选修4—4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,曲线的方程为.以坐标原点为极点,轴正半轴
xOyC1yk|x|2x
22cos30为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
C
2
(1)求的直角坐标方程;
C
2
CC2C1
(2)若与有且仅有三个公共点,求的方程.
1
23.[选修4—5:
不等式选讲](10分)
已知.
f(x)|x1||ax1|
af(x)1
1
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若时不等式成立,求的取值范围.
x(0,1)f(x)xa
参考答案:
123456789101112
CBABDABDCABA
633313.614.15.1616.
2
17.(12分)
BDAB
ABD
解:
(1)在△中,由正弦定理得.
sinAsinADB
522
由题设知,,所以ADB.
sin
sin45sinADB5
223
由题设知,,所以.
ADB90cosADB1
255
2
(2)由题设及
(1)知,cosBDCsinADB.
5
BCD
在中,由余弦定理得
△
2222cos
BCBDDCBDDCBDC
2582522
2
5
25
.
BC5所以.
18.(12分)
解:
(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF.
又BF平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)作PH⊥EF,垂足为H.由
(1)得,PH⊥平面ABFD.
HF|BF|
以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直
角坐标系H-xyz.
由
(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=.又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.
3
33
可得PH,EH.
22
33333
H(0,0,0),P(0,0,),D(1,,0),DP(1,,),HP(0,0,)
则为平面
22222
ABFD的法向量.
3
HPDP3
4
设DP与平面ABFD所成角为,则sin||.
|HP||DP|34
3
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
4
19.(12分)
解:
(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1.
22
由已知可得,点A的坐标为(1,)或(1,).
22
22
所以AM的方程为或.
yx2yx2
22
OMAOMB0
(2)当l与x轴重合时,.
OMAOMB当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以.
当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为yk(x1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),
yy
12
x12,x22kk
则,直线MA,MB的斜率之和为.
MAMB
x12x2
2
由y1kxk,y2kx2k得
1
kk
MAMB
2kxx3k(xx)4k
1212
(
x2)(x2)
12
.
2
x
21将yk(x1)代入y得
2
2222
(2k1)x4kx2k20
.
22
4k2k2
所以,xx,xx.
122122
2k12k1
333
4k4k12k8k4k
则2kxx3k(xx)4k0.
1222
1
2k1
kkOMAOMB
从而0,故MA,MB的倾斜角互补,所以.
MAMB
OMAOMB综上,.
20.(12分)
2218
解:
(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)Cp(1p).因此
20
218217217
f(p)C[2p(1p)18p(1p)]2Cp(1p)(110p)
2020
.
令f(p)0,得p0.1.当p(0,0.1)时,f(p)0;当p(0.1,1)时,f(p)0.
所以fp的最大值点为p00.1.
()
(2)由
(1)知,p0.1.
YY:
B(180,0.1)
(i)令表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知,
X20225YX4025Y
,即.
所以EXE(4025Y)4025EY490.
(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于,故应该对余下的产品作检验.
EX400
21.(12分)
2
1axax1
解:
(1)的定义域为,f(x)1.
f(x)(0,)
22
xxx
a2f(x)0a2x1f(x)0f(x)(0,)(i)若,则,当且仅当,时,所以在
单调递减.
2424aaaa
(ii)若a2,令f(x)0得,x或x.
22
2424aaaa
x(0,)U(,)f(x)0当时,;
22
2424aaaa
当时,.所以在
x(,)f(x)0f(x)
22
2424
aaaa
(0,),(,)
22
2424
aaaa
单调递减,在单调递
(,)
22
增.
fxa2
(2)由
(1)知,()存在两个极值点当且仅当.
210
由于的两个极值点x1,x2满足,所以,不妨设,则
fxxax
()x1x21x1x2
x21
.由于
f(x)f(x)1lnxlnxlnxlnx2lnx
1212122
1a2a2a
1
xxxxxxxxx
12121212
2
x
2
,
f(x)f(x)1
12
所以a2等价于x2lnx0.
22
xxx
122
1
设函数g(x)x2lnx,由
(1)知,g(x)在(0,)单调递减,又g
(1)0,从
x
而当x(1,)时,g(x)0.
1f(x)f(x)
12
所以x2lnx0,即a2.
22
xxx
212
22.[选修4—4:
坐标系与参数方程](10分)
22
解:
(1)由xcos,ysin得C2的直角坐标方程为.
(x1)y4
(2)由
(1)知C是圆心为A(1,0),半径为2的圆.学&科网
2
CB(0,2)yyly由题设知,是过点且关于轴对称的两条射线.记轴右边的射线为,
11
lBC2C1C2l1轴左边的射线为.由于在圆的外面,故与有且仅有三个公共点等价于与
2
Cl2C2l2C2l1C2
只有一个公共点且与有两个公共点,或与只有一个公共点且与有两2
个公共点.
|k2|
2
lC2Al12
当与只有一个公共点时,到所在直线的距离为,所以,故
1
2
k14
kk0
或.
3
4
Ck0l1C2kl1C2
经检验,当时,与没有公共点;当时,与只有一个公共点,
2
3
l
2
与有两个公共点.
|k2|
2
lC2Al22
当与只有一个公共点时,到所在直线的距离为,所以,故
2
2
k1
4
k
或.
3
4
k0l1C2kl2C2
经检验,当时,与没有公共点;当时,与没有公共点.
3
4
综上,所求的方程为.
Cy|x|2
1
3
k0
23.[选修4—5:
不等式选讲](10分)
2,x1,
解:
(1)当a1时,f(x)|x1||x1|,即f(x)2x,1x1,
1
f(x)1{x|x}
故不等式的解集为.
2
2,x1.
(2)当x(0,1)时|x1||ax1|x成立等价于当x(0,1)时|ax1|1成立.
a0x(0,1)|ax1|1若,则当时;
22
a0|ax1|10a2
0x1
若,的解集为,所以,故.
aa
a(0,2]综上,的取值范围为.
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